圆的有关性质 闯关练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1圆的有关性质闯关练2025-2026学年

上学期初中数学人教版九年级上册

一、单选题

1.如图，A3是］。的直径，A3=8,点M在。上，ZMAB=20°,N是弧MB的中点，尸是直径A3

则.PMN周长的最小值为（

5C.6D.7

2.如图所示，等边VABC的顶点A在。。上，边AB、AC与。。分别交于点。、E,点F是劣弧DE

上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则/。的度数为（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

3.如图，AB,AC是。的两条弦，于点。，OELAC于点E,连结,OC.若/00£=130。,

则的度数为（）

C.1050D.130°

4.如图，四边形ABC。内接于＜。，点C是3。的中点，NA=5O。，则NCBZ）的度数为（）

D

5.如图，在平面直角坐标系中，C（0,4）,A（3,0）,A半径为2,P为A上任意一点，E是PC的

中点，则OE的最小值是（）

C.2

D.41

6.如图，点A在〈。上，BC为。的直径，AB=8,AC=6,。是45的中点，与A3相交于

7.如图，在VABC中，ZC=90°,AB=7,AC=4,以点C为圆心、C4为半径的圆交AB于点。,

求弦的长为（）

8.如图，四边形ABC。中，AB//CD,ZABC=60°,A£）=8C=CD=8,点Af是四边形ABCD内的一个

动点，满足/AMD=90。，则点M到直线BC的距离的最小值为（）

A.473-1B.3-72-2C.65/3-4D.2^-1

二、填空题

9.从圆内一点尸引两条弦A3与C。，则/APC与AC、度数间的关系是

10.如图，已知AB是。。的直径，点C,D在。。上，ZABC=35°,贝!]/£>=.

11.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，ZAOC=116°,则/ADC的角度是

12.如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点,

OO的半径为1,则AP+PB的最小值

fi

,w

13.如图，。。的半径是5,AABC是。。的内接三角形，过圆心0,分别作AB、BC、AC的垂线,

垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG=3,贝UEF为

三、解答题

14.如图，△ABC中，N8AC=45。，AC,交以AB为直径的半。。于，E.连接AE,BD,交点

为F.

(1)证明：AF=BC；

(2)当点f是8。中点时，求BE：EC值.

15.如图，四边形内接于。。，AB^AC,BDLAC,垂足为E.

⑴若/BAC=40。，则/AOC=0；ZDAC=

(2)求证：ZBAC^2ZDAC；

(3)若AB=10,CD=5,求8c的值.

16.如图，在VABC中，AC=6,AB=8,3C=10,点尸在边AC上运动，PE//BC,交A3于点E,

以4为半径的〔C交边AC于点。延长£?交＜C于点RGFVEF,交AC延长线于点G.

F

⑴求证：NG=NB.

(2)若PC=PQ,求G尸的长.

17.如图，圆内接四边形A3OC中，AB=AC=4,AD=5,E为C。的中点，AE交C。于点尸，M为

A。上一点，且AM=4.

A

(1)求证：NDBM=NDAF；

⑵求BZ%DC的值.

18.如图，在VABC中，NC=9C»o,A。是VABC的角平分线，以为直径的。交A3于点E,交

的延长线于点尸，连接班,8歹.

⑴求证：EF=BF.

(2)5gCD:BD=1:3,AC=242,求跖的长.

参考答案

题号12345678

答案CCBBBBBC

1.C

【分析】如图所示，作点N关于的对称点N',连接MN'交A3于尸，PMN周长为

PM+PN+MN=2+PM+PN,由对称性知JMN周长为=2+PM+PN=2+PM+PN',根据两点

之间线段最短可知周长的最小为2+MV,利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行

计算即可得到答案.

【详解】解：作点N关于AB的对称点N',则点N'在G。上，连接MN'交于尸，

PMN局长为PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根据两点之间线段最短可知,尸MN周长的最小为2+MN',

:点N是股8的中点，ZMAB=20°,

,MN=NB=BN'，

ZBAN'=W°,

：.ZMW=200+10°=30°,

ZMON'=60°,

.,.△MON'是正三角形，

/.OM=ON'=MN'=-AB=4,

2

,?MN=2,

“PMN周长的最小值为2+4=6,

故选：C.

【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对

称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键.

2.C

【分析】根据等边三角形的性质可得Z4=60。，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案.

【详解】解：VABC是等边三角形，

.-.ZA=60°,

ZDFE=180°-ZA=120°,

故选C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

3.B

【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得N8AC=50。，再根据圆周角定理得到/BOC=2/8AC,

进而可以得到答案.

【详解】解：,：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=9Q°,ZAEO=90°,

,：ZDOE=130°,

：.ZBAC=360°-90o-90o-130o=50°,

：.ZBOC=2ZBAC=lOO°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.

4.B

【分析】根据内接四边形的性质得出NC的度数，再由点C为弧BD的中点得出CD=BC,最后利用

等腰三角形的性质得出结果.

【详解】解：：四边形ABCD内接于。，ZA=50°,

/.ZC=18O°-5O°=13O°,

二•点C为BD中点，

/.CD=CB,

，/CDB=NCBD=(180°-130°)+2=25°,

故选B.

【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出NC

的度数和CD=BC.

5.B

【分析】如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH利用三角形的中位线定理可得EH=1,推

出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆.

【详解】解：如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH.

CE=EP,CH=AH,

O\AIX

EH=-PA=1,

2

•••点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，

C（0,4）,A（3,0）,

/.H（1.5,2）,

.•.OH=A/22+1.52=2.5>

.-.OE的最小值=OH-EH=2.5-l=1.5,

故选B.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

6.B

【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识.过

点尸作尸”L3C于H.首先证明=设==根据勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】解：如图，过点P作PHLBC于H.

-----

AD=BD，

3C是直径,

..ZBAC=90°,

:.PA±AC,

PHIBC,

:.PA=PH,

在Rt^PC4和RtAPCH中,

jPC=PC

[PA=PH，

「.RtPC4之RtPCH(HL),

:.AC=CH=6,

BC=7AB2+AC2=V82+62=10，

:.BH=4,

^PA=PH=x,贝|P5=8—九，

在RtAPBH中，PB2=PH2+BH2,

/.(8-x)2=x2+42,

解得x=3,

/.PA=3,

.\CP=y/p^+AC2="+62=3-75，

故选：B.

7.B

【分析】过C作CF，AB于F,根据垂径定理得出AD=2AF,根据勾股定理求BC,根据三角形面积

公式求出CF,根据勾股定理求出AF即可.

【详解】过C作CF±AB于F,

VCF±AB,CF过圆心C,

；.AD=2AF.

「△ABC中，/ACB是直角，AC=4,AB=7,

；•由勾股定理得：BC=7AB2-AC2=A/72-42=屈，

由三角形的面积公式得：ACxBC=ABxCF,即4义屈=7CF,

.・.CF=±/H,

7

在小AFC中，由勾股定理得：AF=7AC2-CF2=上当于=y,

32

AAD=2AF=—.

7

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF的长.

8.C

【分析】取AD的中点0,连接0M,过点“作交5C的延长线于跳过点0作。尸，3C于

F,交CD于G,则OM+MEN。尸，求出0”,0尸即可解决问题.

【详解】解：取AO的中点0,连接。M,过点M作世，交5C的延长线于E,过点。作

于代交C。于G,则OM+MENOb.

VZAMD=90°fAD=8,OA=ODf

：.0M=^AD=4f

9：AB//CD,

：.ZGCF=ZB=60°,

・・・NDGO=NCG/=30。，

VAZ)=BC,

：.ZDAB=ZB=60°,

：.ZADC=ZBCD=120°,

・•・ZDOG=30°=ZDGO,

：.DG=DO=4,

,.,C£)=8,

・•・CG=4,

・・・OG=2OZ>cos300=4G，GF=2石，0F=6如,

：.ME>OF-0M=66一4,

...当。，M,E共线时，ME的值最小，最小值为66-4.

故选：C.

【点睛】本题考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形、求线段最值

等，通过作辅助线得出OM+ME>OF是解题关键.

9.ZAPC=1（AC的度数+BO的度数）

【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的转化，圆周角的度数等于它所对的弧的度数.连2C,根

11

据三角形外角性质得到AAPC=NB+NC,而N3=万AC的度数，/C=$2。的度数，由此得到ZAPC

与AC、BO度数间的关系.

【详解】解：如图，连BC,

又-乙8=；AC的度数，=的度数，

.■.ZAPC=1（AC的度数+80的度数）.

10.55。/55度

【分析】由圆周角定理的推论可知，ZZ）=ZA,由于AB为直径，ZACB=90°,在△△ABC中，利用

互余关系求/A即可.

【详解】解：YAB为直径，

ZACB=9Q0,

：.ZA=900-ZABC=90°-35°=55°,

由圆周角定理可知，ZD=ZA=55°,

故答案为550.

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的判定与性质.关键是利用圆的直径判断直角三角形,

利用互余关系求/A,利用圆周角定理的推论求/D

11.58°

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【详解】：/八。（2和/人口（：都对42（：，

ZADC=-ZAOC=-xll6°=58°.

22

故答案为：58。.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

12.72

【详解】试题分析：首先找出点A关于MN对称的对称点A，，AP+BP的最小值就是AB的长度.

试题解析：如图，作点A关于MN的对称点A，，连接BA，交圆于P,则点P即是所求作的点，

：A是半圆上一个三等分点，

ZAON=ZA,ON=360°-2-3=60°,

又：点B是弧AN的中点，

，ZBON=^ZAON=1x60°="30°"

22

・•・ZArOB=ZArON+ZBON=60o+30°=90°

在Rt^A6B中，由勾股定理得：AB2=A，O2+BO2=1+I=2”

得：AB=,

所以：AP+BP的最小值是血.

考点：1.圆周角定理；2.垂径定理；3.轴对称-最短路线问题.

13.4

【详解】解：连结OA,如图下图所示

A

G

VOGXAC,

・・・AG=CG,

在Rt^AOG中，OG=3,OA=5,

AG=VOA2-OG2=V52-32=4，

又TOG垂直AC,

・・・AC=2AG=8,

VOE±AB,OF±BC,

AAE=BE,CF=BF,

・•・EF为△ABC的中位线，

.\EF=|ACM.

2

故答案是4.

14.⑴见解析

（2）t

【分析】（1）由圆周角定理推论可得乙4。8=乙4即=90。，根据等腰直角三角形的性质可得AO=

BD,根据/ZX4F+NAF£）=NBFE+NFEB=90。，且即可得出ND4尸=NPBE,则可

证明尸也△BDC,即可得出答案；

（2）设。尸=a,则。尸=2尸=a,可得AD=BZ）=2a,根据勾股定理可得AF

=ylAD2+DF2=7（2a）2+a2=s[5a,由（1）中结论可得AP=3C=扃，由尸=/8E尸=90。，

AV）Ap9R

NAFD=/BFE,可证明则一=—,可得2£=生°,由CE=2C-BE可得出

BEBF5

CE的长度，计算即可得出答案.

【详解】（1）证明：:AB是。。的直径，

・•・ZADB=ZAEB=90°,

9：ZBAC=45°,

：.ZBAC=ZDBA,

：.AD=BD,

'：ZDAF+ZAFD=NBFE+NFEB=9。。,ZAFD=ZBFE,

:・/DAF=/FBE,

在△AD尸和△30。中，

ZADF=ZBDC

<AD=BD,

ZDAF=/DBC

：.AADF^ABDC(ASA),

：.AF=BC；

(2)♦点尸是3。中点,

:.DF=BF,

设0/=〃，则=3/=〃，

•\AD=BD=2af

在R3AD/中，

222z

AF=ylAD+DF=yl(2a)+a=^5af

：.AF=BC=^a,

NADF=ZBEF=90°,ZAFD=ZBFE,

：.LADFsABEF,

.ADAF

••一,

BEBF

・2a_45a

BEa

：.BE=^-a,

5

：.CE=BC-BE=45a-^-a=^^a,

55

2」

.BE2

"'CE~3s/5-3,

-----a

5

【点睛】本题考查了圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质进行

求解是解题的关键.

15.(1)110；20；

⑵见解析；

⑶BC=4下

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求/AOC,根据圆周角定理和三角

形内角和定理即可求NZMC;

(2)根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；

(3)过A作于H,根据等腰三角形的性质得到Z8AH=NC4〃=gNC4B,

CH=BH,过C作CGLA。交的延长线于G,根据全等三角形的性质得到CG=CH,根据相似三

角形的性质得到空•=1,设BH=k,AH=2k,由勾股定理即可求解.

AH2

【详解】(1)9：AB=AC,N5AC=40。，

・•・ZABC=ZACB=70°,

•/四边形ABCD内接于。O,

AZADC=18Q0-ZABC=110°,

9：BD±AC,

：.ZAE£>=90°,

・•・ZADB=ZACB=10°,

：.ZDAC=180°-ZADB-ZAE£)=20°,

故答案为：HO；20

(2)证明：9：BDLAC,

：.ZAEB=ZBEC=90°,

：.ZACB=90°-NCBD,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=90°-NCBD,

ZBAC=180°-2/ABC=2/CBD,

•:/DAC=/CBD,

：.ZBAC=2ZDAC；

(3)过A作A〃_L3C于H,过。作CG_LAZ)交AZ)的延长线于G,

9：AB=AC,

：.ZBAH=ZCAH=-ZCAB,

2

CH=BH,

ZBAC=2ZDAC,

：.ZCAG=ZCAH,

：.ZG=ZAHC=90°,AC=AC,

AAGC^AAHC(A4S),

・・・CG=CH,

9：ZCDG=ZABC,

：.ACDG^AABHf

.CG_CD_51

**AH~ABW_2J

,BH_1

**AH-2*

设BH=k,AH=2k,

AB=y/BH2+AH2=限=10

k=2A/5，

:・BC=2k=475.

【点睛】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判

定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

16.(1)见解析

a24+16依

【分析】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，圆的基本性质：

(1)勾股定理逆定理，得到NA=90。，平行线的性质得到々=NA£P,三角形的外角，推出

NG=ZAEP,即可得到/G=/B；

CH4R

(2)连接CP,过点C作CH_LPP,根据tan/CP"=tan=tan/3G4,得到——=—,勾股

PHAC

定理求出PH的长，再根据勾股定理求出HF的长，进而求出尸E的长，再利用正切值，求出GF的长

即可.

【详解】(1)解：：AC=6,AB=8,3C=10,

BC2=AC2+AB2,

NA=90°,

GFLEF,

・•・ZF=90°=ZA,

,/ZAPF=Z.G+AF=ZAEP+AA,

：./G=ZAEP,

,:PE〃BC,

ZAEP=ZB

：.NG=N5；

(2)连接b,过点。作CHLP尸，贝!J：CF=CQ=4,

・.・CP=PQ9

：.CP=PQ=2,

•:PE〃BC,

：.ZACB=ZAPE,

,:Z.CPH=ZAPE=ZACB,

CHAB84

AtanZCPW=tanZBC4,即:

PH-AC-6-3

设C"=4x,PH=3x，则：PC7cH2”小=5X=2.

.

5

ozr

・•・CH=-,PH=-,

55

在Rt一CHF中，由勾股定理，得：FH=VCF2-CH2=

VtanZCPH=tanZBCA,

.GFABS4

，91PF~^C~6~3,

・心口424+16万

・・GF=—PF=-------------.

315

17.(1)证明见解析

(2)9

【分析】(1)设/D4E=a,AADC=p,根据圆周角定理得到/D4E=/EAC=a,ZADC=ZADB

=B，再利用圆内接四边形的性质得到/BDC+/BAC=180。，贝UNBAM=180-2a-2£,接着利用等

腰三角形的性质和三角形内角和得到/BMA=a+£,然后根据三角形外角性质得到NO8M=a,从而

得到结论；

(2)证明△BDMSAADR利用相似比得至IjBD-DF=5,再根据角平分线的性质得到丝="=3，

ACCF4

则。尸=?。尸，所以。尸于是可计算出庭＞。。=9.

49

【详解】(1)证明：设ND4E=a,/ADC=p,

IE为CD的中点,

：.ZDAE=ZEAC=a,

9

：AB=AC9

45=今。，

・•・ZADC=/ADB=B，

VZBZ)C+ZBAC=180°,

：.ZBAM=lS0-2a-2/3,

'：AB=AMf

：.ZBMA=^(180°-ZBAM)=a邛,

而ZBMA=/DBM+ZADB,

NDBM=a,

：.ZDBM=ZDAF；

(2)解：•：NDBM=NDAF,ZADC=ZADBf

•••△BDMSLADF,

,BDDM

-AD~^Ff

：.BD・DF=DM・DA=1x5=5,

TAE平分ND4C,

.ADDF5

*'AC-CF"4

4

：.CF=-DF,

99

..DC=DF+CF=-DFf

：.DF=