解答题 多模块综合考查（三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、导数、概率统计）（全国通.用）（原卷版）

6/15解答题多模块综合考查根据近几年的高考情况，解三角形、概率统计、立体几何、平面解析几何、导数等专题是高考中经常出现的解答题类型，在考试中经常出现相互交汇的情况，本专题通过对高考中经常出现的几种交汇类型进行总结。题型一：导数与三角函数相交汇1．（2025·河南·一模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）若，，证明：；（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.利用三角函数的性质，在利用导数解决问题时，构建相关的模型利用导数恒成立思想或能成立思想进行求解1．（2025·陕西榆林·一模）已知函数，．(1)证明：在上单调递减；(2)记的最小值为，最大值为，数列的前项积为．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）证明：．2．（2025·广东肇庆·一模）已知函数.(1)当，时，求证：；(2)当时，（ⅰ）求在上的所有极大值点之和；（ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系.题型二：导数与概率统计相交汇1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.（参考数据：）利用统计概率的相关性质列出式子利用导数的性质求出单调性，从而求出最值1．（2025·湖北武汉·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量.(1)若，求和；(2)若，且，求的最小值；(3)若，求证：且.题型三：导数与数列相交汇1．（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，；（2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知.（i）证明：；（ii）求，其中表示不超过的最大整数.根据数列的性质得到相关通项根据导数的性质对其进行分析，得到相关性质进行求解1．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”．(1)若，，证明：为有界数列；(2)设，对，均有，求实数的取值；(3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值．2．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．(1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和；(2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有；(3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质．(1)当，且数列具有性质时，①写出一个满足，项数为6的数列；②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等．(2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由．（参考数据：）题型四：导数与二项式相交汇1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若，求；(2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.（i）求，；（ii）若，，.证明：.1..求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．2.求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得结果．3.根据导数的性质对二项式进行分析题型五：数列与平面几何相交汇1．（2025·湖南永州·模拟预测）抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点.(1)求抛物线的方程；(2)求证：；(3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）.利用平面解析几何的性质列出相关式子：联立韦达定理找到相交点的关系列出相关式子2.利用数列的相关性质进行求解1．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．(1)求C的方程；(2)设数列的前n项和为，证明：；(3)求的面积．2．（2024·云南·模拟预测）如图，已知点列与满足，且，其中，．

(1)求；(2)求与的关系式；(3)证明：．题型六：统计概率与数列相交汇1．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立.(1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率；(2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值.①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式.②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，）③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同.根据统计概率的相关性质得到数列的通项公式进行熟练掌握马尔科夫链全概率公式是新高考考查内容，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位.若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：3.利用相关性质进行求解1．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品．(1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望；(2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值．①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值．②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值．2．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为．(1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病．（i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望；（ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望；(2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值.3.（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换.(1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；(2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）；(3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值.题型七：平面解析几何与导数相交汇1．（2025·湖南长沙·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为.(1)求的方程；(2)过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点.（i）证明:；（ii）若点是的外心，求面积的最大值.根据平面几何性质列出相关式子利用导数对其进行求解1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．

(1)证明曲线C的方程为；(2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点.①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值.②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由.题型八：数列与排列组合相结合1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．利用排列组合的性质得到相关式子和数列相结合进行求解1．（2025·浙江·三模）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处.(1)求粒子在第2秒末移动到点的概率；(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.（i）已知求以及；（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知证明：该粒子是常返的.题型九：导数与解三角形相交汇1．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且．(1)求角；(2)为边的中点，若，求的面积；(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．1．（2025·四川成都·三模）记斜的内角的对边分别为，已知，且.(1)求角；(2)为边的中点，若，求的面积；(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围.2．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A,B,C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.(1)求角的大小；(2)若且，求的取值范围.题型十：导数与平面向量相交汇1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，．(1)若曲线和有两个公共点，求a的取值范围；(2)已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E．（ⅰ）求E的方程；（ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值．题型十一：数列与三角函数相交汇1．（24-25高三上·山西·期末）已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；(2)若函数具有性质，求和的值；(3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式.1．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)证明：．(切线不等式)题型十二：立体几何与三角函数相交汇1．（2025·甘肃白银·三模）圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.(1)证明：平面；(2)若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围；(3)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值.1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②．(1)若，证明：；(2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值．1．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏.(1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望；(2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）.①证明数列，，，，是等比数列；②求活动参与者得到礼券的概率.2．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）甲有两辆自行车，且每天都去体育馆锻炼.若甲去体育馆时，只要不下雨且家里有自己的自行车，他就会骑自行车过去．若甲回家时，只要不下雨且体育馆有自己的自行车，他就会骑自行车回家.其他情况下均走路去体育馆或回家．假设甲每天去体育馆时，回家时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每次下雨与否互不影响．当前甲的自行车一辆在家里，一辆在体育馆．(1)设甲第一天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为，求的分布列与期望．(2)设甲连续天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为0，1的概率分别为，．①求；②证明：．3．（2025·辽宁·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积．(1)求概率的值；(2)求随机变量的概率分布及其数学期望．4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，将函数的所有正的零点从小到大排列组成数列.记表示不超过的最大整数，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)从数列的前项中，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为偶数的概率为.是否存在一个正整数，当时，恒有，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.(3)数列满足，且数列的前项和为，求证：.5．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.6．（2025·山东泰安·模拟预测）在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球次，白球出现次.假设每次摸出白球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率的估计值为.(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取个球，设摸出的球为白球的次数为，则.（注：表示当每次摸出白球的概率为时，摸出白球次数为的概率）（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值.(2)把（1）中“使得取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.7．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.8．（2025·上海·一模）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若时恒成立，求实数a的取值范围；(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．9．（2025·四川·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数，证明：当时，；(3)若对任意，恒成立，求的取值范围．10．（2025·陕西西安·模拟预测）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡123456平均过关时间（单位：秒）5078124121137352计算得到一些统计量的值为：，，其中，．(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程；(2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率．参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．11．（2025·浙江丽水·一模）已知函数，，（为自然对数的底数）．(1)当时，（i）求的单调递增区间；（ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和．(2)当时，求证：对任意的，恒成立．12．（2025·云南楚雄·模拟预测）在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为.(1)若，求和；(2)若最粗的甘蔗是第棵，求；(3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取）13．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数(1)过点作曲线的切线，求切线方程：(2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)已知函数，其中．求的拐点．14．（2025·辽宁·模拟预测）设单调不减的无界非负数列，定义数列为，这里表示集合中元素的个数，称为数列的伴随数列．(1)若数列满足，求数列的伴随数列（可以用表示不超过的最大整数）；(2)对任意的正整数，，证明下述关于伴随数列的基本性质：（i）；（ii）若为整数数列的伴随数列，则也为数列的伴随数列：(3)设函数在上连续，严格递增且无界，满足，且对任意正整数，都有，证明：数列与数列互为伴随数列，这里是的反函数；并利用上述结果，直接写出数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的通项公式．15．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中．(1)写出，，并求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每