中点模型巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

中点模型巩固练习（提优）

1.如图，在矩形44CQ中，E为C4延长线一点且4C=CE,F为力上的中点，求证：BFLFD.

【解答】见解析

【解析】如图，连接C尸.

•：AC=CE,尸为NE的中点，：,CF±AE,AZ/1FD+ZDFC=90",

•・•四边形力88是矩形，：.BC=AD,ABLCE,NABC=/BAD=90。,

在Rf△48E中，•・•/为IE的中点，：,BF=AF,:・/FBA=/FAB,

JNF4B+ZBAD=ZFBA+NABC,即ZFBC=ZFAD,

又,：AD=BC,FA=FB,：.AFBC^Z\FAD,:.NAFD=NBFC,

：.NBFD=NBFC+NDFC=/45。+NDFC=99",：.BFLFD.

2.如图，在梯形4AC。中，NB+NC=90",石尸是两底中点的连线，求证：BC-AD=2EF.

【解答】见解析

【解析】如图，过点、E作EM〃力B交BC于点、M,EN〃DC交NC于点N.

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:四功形/出是梯形，:.AD//BC,，四功形川?河£1和四动形。CNE为平行四边形，:.BM=AE,CN=

DE,

YE、”分别为力。、8C的中点，：.AE=ED,BF=CF,:.FM=FN,

YEM〃AB,EN//DC,:./EMN+NB,/ENM=/C,

又TN8+NC=90",:・NEMN+NENM=90。,即NMEN=90"，:・EF=%N,

：.EF=—[BC-(BM+NC)]=-(BCfD),g|JBC-AD=2EF.

22

3.如图，在△力6。中，NBAC=90",AB=AC,AD=CD,肝上BD于点E交BC于点F,求证：BF=

2FC.

【解答】见解析

【解析】如图，过点C作CN_L8D交8。的延长线于点N.

'：AELBD,：.ZAED=ZN,

*：AD=CD,ZADE=ZCDN,:.AADEWACDN(AAS),:,DE=DN,

BFBEADDE

OF工BD,CN工BD,:.AF//CN,：.

FC~NE'~CD~1)N，

VZZ?/iC=90",AE工BD,：./\ABES4DBA,即AB'=BE♦ED,

中考撤号

一班

同理可证/O'2=OE-3O,.AB^

.・访一丽'

/>zpBF=BE=BE

•：AB=AC=2AD.*.——=一,又,：DN=DE,：.

fDEI~FC=~NE=WE

,BF

2，:・BF=2FC.

FC

4.如图，在四边形48co中，£为力〃上的一点，△力。£和△8CE都是等边三角形，AB.BC、CD、DA

的中点分别为P、0、〃、N,试判断四边形PQMN的形状.

【解答】四边形PQMN为菱形

【解析】如图，连接4C、BD.

•••△4DE和△8CE都是等边三角形，AZJFC=120",NBED=120。,:./AEC=/BED,

又•：EA=ED,EC=EB,:•丛AEC”ADEB,：,AC=BD,

又丁尸、0、M、N分别是48、BC、CD、D4的中点，:.PN4LgBD,QM区*BD,

.•.PN2QM,・•・四边形P0MN是平行四边形，

MPN=1BD，MN=»C,:,MN=PN,・••四边形尸0MN是菱形.

5.如图，。是圆。外的一点，过夕点引两条割线尸49、PCO,点M、N分别是靠、丽的中点，连接"N

分别交力4、C。于点上、F.

（1）求证：△尸即是等腰三角形；

（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？

中考核等

*/0M=ON,ZOMN=ZONM.

又丁点M、N分别是靠、B的中点、，工NMGE=NNHF=90。，；・NMEG=NNFH,

VZMEG=ZPEF,ZNFH=ZPFE,/.ZPEF=ZPFE,:・PE=PF,即△P£r是等腰三角形；

6.半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿折叠，使折叠后半圆弧的中点”与圆心O重合，求图中阴

影部分面积？

M

O

【解答】挈一看

【解析】如图，连接OM交48于点C,连接04、OB.

—M〜

1、、

//1、\

^4----------------------------兴

0

由题意可得0ML4B,且OC=MC=

在R/ZX/IOC中，・・・01=1,oc=1,...cos/.4OC=约-=^AC=VOA2-OC2=^

20A

：,ZAOC=6Q°,AB=2AC=y/^,AZAOB=2ZAOC=\20O

则S弓形儿”〃-S地形cSXACB—x

ouuz

2考率

S阴影=S半圆-2S^AMB=1TTX1—2^-;-

7.如图，在等腰梯形力8C。中，AB//CD,48C=60°,4C平分ND/1B,E、尸分别为对角线/C、DB

的中点，月.E/=4.求这个梯形的面积.

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【解答】48s

【解析】•・•四边形力4CQ是等腰梯形，

：.ZDAB=ZABC=^°,DC//AB,

：・NDCA=/CAB,

•・7C平分NZM8,

ZDAC=ZCAB=|ZD/15=305,NDCA=NDAC,

：.ZJC5=90°,AD=DC=BC,

：.AB=2BC=2CD,

设CD=a,则AB=2a,

•••在△OFC和△M£4中

(ZDCE=ZMAE

\CE=AE,

UDEC=LMEA

:•△DESAMEA(ASA),

：,DC=AM=a,DE=EM,

•:DF=BF,

：.EF=\BM=\(AB-AM),

V£F=4,

.*.4=|C2a-a),

4=8,

即BC=4D=Z)C=8,48=16,

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：,/BCN='300,

:・BN=¥BC=4,由勾股定理得：CN=4书,

，梯形的面积=:(QC+48)XGV=|x(8+16)X4$=48$.

8.如图，在对△/4C中，N力=90°,。为斜边BC中点，DELDF,求证：EF2=BE2+CF2.

【解析】证明：延长EO到G,使。G=Z)E,连接E产、FG、CG,如图所示:

(DF=DF

ZFDF=ZFDG=9O°,

[DG=DE

:.△EDFmXGDF(SAS),

:・EF=FG

又为斜边BC中点、

:.BD=DC

在必和△COG中,

中考核等

(BD=DC

\z.BDE=^.CDG,

[DE=DG

:ABDE咨ACDG(SAS)

:,BE=CG,/B=NBCG

：.AB//CG

AZGC/4=180u-N4=180“・90”=90”

在灯^厂口？中，由勾股定理得：

FG』。产+CG2=CFJBE?

：.EF2=FG2=BE^+CF2,

9.半径为2.5的。。中，直径,48的不同侧有定点C和动点P.已知8C：。=4：3,点尸在俞上运动,

过点。作。尸的垂线，与24的延长线交于点Q.

(1)当点P与点C关于48对称时，求C0的长；

(2)当点P运动到能的中点时，求C。的长；

(3)当点P运动到什么位置时，C0取到最大值？求此时C0的长.

【解答】⑴^⑵竿；⑶当PC过圆心O,即尸。取最大值5时，C0最大值为日.

D«50

【解析】(1)当点尸与点。关于48对称时，CP上＜B,设垂足为。.

•・78为。。的直径，

AZJC5=90°.

・・/8=5,又•：BC：0=4：3,

：・BC=4,4C=3.

又,•亨C・8C=必8・CO

/.CZ)=Y»尸C=W

在RtAACB和RtAPCQ中,

ZACB=ZPCQ=9Q°,ZCAB=ZCPQ,

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RtAACB^RtAPCQ

,AC_P£

，，BC=CQt

(2)当点P运动到弧48的中点时，过点8作8E_LPC于点E(如图).

•・•尸是弧48的中点,

；・NPCB=45°,CE=4£=争。=2”

又NCPB=NC4B

4

：.tanACPB=tan^CAB=-

而从(1)中得，C0=gpc=呼.

(3)点P在弧48上运动时，恒有。。=%卢=：尸C：

故PC最大时，C。取到最大值.

20

当PC过圆心O,即PC取最大值5时，C0最大值为7.

10.如图已知力8c。中，E为40的中点，CE的延长线交历1的延长线于点尸

(1)CD与FA相等吗？为什么？

(2)若使NF=N4W,々18CQ的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由.

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【解答】(1)见解析：(2)见解析

【解析】(1)CD=FA.

理由：•・•四边形力4C'。是平行四边形，

：.CD〃AB,

'：NO=/EAF,

•・•£为4。的中点，

即DE=AE,

，在ACDE和△心E中,

ZD=ZEAF

DE=AE,

乙CED=Z.FEA

:ZI汨aXFAE(ASA),

：，CD=FA.

(2)要使Z尸=26。凡需平行四边形/16C。的边K之