《概率论与数理统计》第二章习题解答

第二章随机变量及其分布

1、解：

设公司赔付金额为x,则X的可能值为；

投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002

投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010

投保一年内没有死亡：（），概率为L0.0002-0.0010=0.9988

所以X的分布律为：

2050

0.00

0002.0010.9988

2、一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以X表示取

出的三只球中的最大号码、写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3,4,5,分布律为

2

尸（X=3）=P（一球为3号,两球为1,2号）=IxC11

1°

P（X=4）=P（一球为4号,再在1,2,3中任取两球）=上暮=2

C:10

P（X=5）=P（一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）=北皂=提

Cl1。

也可列为下表

X:3,4,5

p.l_6

・10’10'10

3、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次，每次任取一只作不放回

抽样，以X表示取出次品的只数,（1）求X的分布律、（2）画出分布律的图形。

解:任取三只，其中新含次品个数X可能为0,1,2个。

P(X=0)=告噫

CI5

尸个

35

P(X=2)=kC；xC$.\1

再列为下表

X:0,1,2d12

22121

PD：3y^35*35

4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p,失败的概率为q=1-/?（0</?<1）

（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。

（此时称X服从以月为参数的几何分布。）

(2)将实验进行到出现一次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求y的分布律。(此

时称丫服从以「，〃为参数的巴斯卡分布。)

(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,

写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

解：(1)P(X=k)=g*/p□4=1,2,……

(2)y=「小刀二{最后一次实验前r+刀7次有〃次失败，且最后一次成功}

n

P(Y=r+n)=C'Wpip=C：+n_.qp\n=0,1,2,…，其中〃1—p,

或记/子〃=鼠则?{丫="}二c，；〃'(i一,攵=尸,，•+1,•••

(3)P(X=k)=(0.55)kJ0.45。"=1,2…

P(X取偶数)=£P(X=2%)=汽(0.55)2^0.45="

Jt=lk=\31

5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的

窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。

假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

(2)户主声称，他养的一只鸟,是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。

以y表示这只聪明的鸟为了s出房间试£的次数，妇户主所说是确实的，试求丫的分布

律。

(3)求试飞次数X小于y的概率;求试飞次数y小于X的概率。

解：(1)X的可能取值为1,2,3,…，〃，…

P[X=n]=P{前7?-1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

=(W，H=l,2,……

(2)y的可能取值为1,2,3

p{r=i}=p{第1次飞了出去}=：

P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}

211

=­x—=——

323

「{/=3}=。悌1,2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}

=2!=J_

~31~7

3

(3)P{X<Y}=yP{Y=k}P{X<Y\Y=k}、

台z(全概率公式并注意到]

£[P[X<Y\Y=\]=0)

=^P[Y=k]P[X<Y\Y=k]'7

k=2

=Yp{y=k}P{x<k]注意至贤,丫独立即

eP[X<Y\Y=k]

XX=

4I4[144]%7=p{x<k]

同上，尸{乂=丫}=£1{丫=4}?{*=丫|丫=的

y

V,i\\vi\11,121419

=合〉PD{fYV=k\DP{X=K}=—3x—3+—3x—9+—3x—2—7=-8-1

故p{yvx}=i—P{x<y}—P{x=丫)=丽

6、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻I每个设备使用的概

率为0.1,问在同一时刻

(I)恰有2个设备被使用的概率是多少？

P(X=2)=C；p2q5-2=C；x(0.1)2x(O.9)3=0.0729

(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？

P(XN3)=C：x(0.1)3x(0.9)2+C；x(0.1)4x(0.9)+C：乂(0.1)5=0.00856

(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？

P(X<3)=C"(0.9)5+C；x0.1x(0.9)4+C；x(0.1)2x(0.9)3

+C;x(0.1)3x(0.9)2=o99954

(4)至少有一个设备被使用的概率是多少？

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951

7、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯

发出信号。(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。(2)进行了7次独

立试验,求指示灯发出信号的概率

解：设X为A发生的次数。则XB(0.3,/?).n=5,7

B：”指示等发出信号“

5

①P(B)=P{X>3}=Z或0.3人0.7'人=0.163

k=3

72

②尸(3)=P{X23}=ZP{X=K}=1_ZP{X=K}

k=30

=1-0.77-G,«0.3X0.76-G20.32X0.75«0.353

8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6,0,7,令各投三次。求

(1)二人投中次数相等的概率。

记X表甲三次投篮中投中的次数

y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

p(x=丫)=P(X=3y=o)+p(x=2,y=2)+P(X=3,y=3)

=p(x=o)p(y=o)+P(x=i)p(y=i)+P(x=2)p(yw)+p

(X=3)P(y=3)

3

=(0.4)x(0.3)3+[CIx06x(0.4)2]X[C；X07x(03)2]

+[C3X(0.6)2X0.4]X[C3X(0.7)2X.3]+(0.6)3

x(0.7)3=0321

p{x=()}=1a0.0025

12.一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布。求(1)每

分钟恰有8次呼唤的概率。(2)某一分钟的呼唤次数大于3的概率。

X〜%⑷2=4

⑴尸=-义宁

r=8'-r=9r-

=0.051134-0.021363=0.029771

(2)P{X>3}=P{X>4}=0.566530

13.某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为

(1/2)t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)。

(1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率。

(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。

解：2=1X%(之)

-%

①4尸{x=o}=”=0.2231

58?C：k-2.5

②4=1「{X21}=£-——=0.918

2&=1%!

14、解：X〜4(2。

(1)、，=10分钟时r二2小时,

6

P{X=1}==0.2388

(2八0e~2t

(2)、尸{X=0}N0O故’[之0.5=>)20.34657(小时)

所以，20.34657*60^20.79(分钟)

15、解：

(、4V5000、/、&/\5oood

P{XW10}=Z(0.0015)(1-0.0015)

Jt=oI%J

P{X<10}«0.8622

n=1000,p=0.0001,A=叩=0.1

16、解：P{X>2]=1-P{X=0}-P{X=1}

=1--------------------p1-0.9953=0.0047

0!1!

17、解：

设X服从(01)分布,其分布率为P{X=k}=pk(\-〃尸次=0,1,求X的分

布函数，并作出其图形。

解一：

X01

Pk1-pp

X（0,1）

X的分布函数为:

0,x<0

F(x)=<1-/?,()<x<l

1,x>l

1-

如图:

i-p

1

18.在区间［0,可上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落

在［0,可中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数。

解:①当XvO时。{XWx}是不可能事件，F（X）=P{X<x}=0

②当时，P{O<X<x}=kx而{OWXVa}是必

然事件

P{0<X<x］=ka=\^>k=—

a

Y

:.P{O<X<x}=kx=-

则F（x）=P{X<x}=P{X<0}+P{0<X<x}=-

③当x>a时,｛XWx｝是必然事件,有*X)=P｛X<K｝=1

0,x<0

Y

/(x)«—,0<x<a

1,x>a

19、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),

X的分布函数是

取(幻=]।^-0.4xx>0

x<0

求下述概率：

(1)尸｛至多3分钟｝;(2)P｛至少4分钟｝;(3)P｛3分钟至4分钟之间｝;

(4)P｛至多3分钟或至少4分钟｝;(5)P｛恰好2.5分钟｝

12

解：(1)解至多3分钟｝=P｛X^3｝=Fx(3)=l-e~

-,6

(2)P｛至少4分钟｝P(X24)=1-Fx(4)=e-

L2-16

(3)P｛3分钟至4分钟之间｝=P｛3<X^4)=Fx(4)-Fx(3)=e--e-

(4)P｛至多3分钟或至少4分钟｝二产｛至多3分钟｝+尸｛至少4分钟｝

=1-”2+e"

(5)P｛恰好2.5分钟｝=P(X=2.5)=0

0,x<1,

20、设随机变量丫的分布函数为&(x)=lnx,”x<e,,

\,x>e.

求(1)P(X<2),P｛0VXW3｝,P(2VXV%);(2)求概率密度fx(x).

解：(1)P(X<2)=EY(2)=ln2,P(0<X^3)=Fx(3)-Fx(0)=1,

P(2<X<-|=Fx(1)-Fx(2)=ln1-ln2=ln1

—A<x<e,

(2)/(x)=F(x)=x

0,其它

21、设随机变量X的概率密度/(x)为

、一J1—厂

0其它

x0<x<l

(2)f(x)=\2-x\<x<2

0其他

求X的分布函数尸(X),并作出(2)中的F⑸与尸(x)的图形。

解：(1)当一1WxWl时：

X

『2加了g1

F(x)=jOdx++—arcsinx

j-l71Tt22

=—xVl-x2+—arcsinx+工

71712

当1<x时：F(x)=[0公+f2V1-x1dx4-I*0，△=1

J-8J-l71Ji

故分布函数为：

0x<-l

FU)=J—XA/1-X2larcsinxl

++-1<X<1

7t712

11<X

解:(2)F(x)=P(X<x)=[f(t)dt

J—8

当x<0时，F(x)=|Odt=O

当OK/<1时，F(xi=j00dt+1rdt=2

当寸，F(x)=「OJr+f'=

J-8JoJi2

当2cx时，/(x)=『0力+£.力+j(2-7)力+[0力=1

故分布函数为

0元<0

2

x0<x<l

F(x)=«2

2A-4--11<A<2

2

12<x

(2)中的/(x)与尸⑴的图形如下

22、⑴由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从迈克斯韦尔(Maxwell)

分布，其概率密度为

Ax2e",x>0

0,其它

其中b=m/2kT,左为Boltzmann常数，7为绝对温度，加是分子的质量。试确

定常数A。

解:①・.,J(x)dx=l

bxe厂

即公=J；""

b,

2

「+00x-----

ebdx

Jo

②当/<0时，茸(。=1\0•力=0

当心0时，茸")=匚"力力=鸟［)=］：击/力力

=\-e241

0,r<0

l-e241,r>()

.­.P{50<T<100)=P[T<100)-P；T<50)=F(100)-F(50)

二0-50/241_-100/241

vc

rlOOrl(X)1—

或P{5O<7<1()O}=J5O/⑺力=1。24ie川力=e241-e241

23、某种型号的电子的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度：

1000

x>1000

f(x)=・x2

0其它

现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)。任取5只，问其中至少有

2只寿命大于1500小时的概率是多少？

解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为

P(X>1500)=l-P(X<1500)=1一为乎公=1-/1000(--)1'^1

2

J1000x[X11000J

22

=l-d-y)=y

令丫表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则

入8(5。2)，

121

p(y>2)=1-p(r<2)=1-{p(y=o)+p(y=i)}=i-(-)5+c*«(-)«(-)4»

।1+5x211232

=1----------=t1-------=------

35243243

24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，其概率密

度为：

、0,其它

某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以y

表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出丫的分布律。并求产(丫21)。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

=e55

P(X>10)=Jfx(x)clxyJoclx=-e：=e"

因此y〜8(5,e'2).即P(Y=k)=(；>口(1一"2)5M,(k=123,4,5

P(y>1)=1-P(y<1)=1-P(y=0)=l-(l-e-2)5=1-(1-—)5=1-(1-O.l353363)5

7.389

=1-0.86775=1-0.4833=0.5167.

25、设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程4—+4xK+K+2=0有实根的概率

・・•K的分布密度为：/(K)=5^0°<*<5

,0其他

要方程有根,就是要K满足(46-4x4x(K+2)2()。

解不等式，得X22时,方程有实根。

・•・P(K>2)=//。)公=]：5公+()dx=-|

26、设X〜N(3.22)

(1)求P(2VXW5),P(-4)vXW10),P{IX/>2},P(X>3)

•・•若X〜N(u,。2),则p(avXW0)=6-6

・•・P(2<XW5)=6=6(1)-6(-0.5)

=0.8413-0.3085=0.5328

°P(-4VXW10)=e(^^)—6(—\-3)=e(35)—.(・3.5)

=0.9998-0.0002=0.9996

P(|X|>2)=1-P(IX|<2)=1-P(・2<P<2)

3=1-6(-0.5)+6(-2.5)

=1-0.3085+0.0062=0.6977

0P(X>3)=l-P(XW3)=1・6(^^)=l-0.5=0.5

(2)决定。使得P(X>C)=P(XW。

。P(X>C)=1-P(XWC)=P1XWC)

得oP(X^C)=y=0.5

又。P(XWC)=6(与且)=0.5,查表可得与且=0。，C=3

27、某地区18岁的女青年的血压(收缩区，以mm-Hg计)服从N(110,122)在该

地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

(1)P(^<105),P(100<X<I20).(2)确定最小的X使P(X>x)<0.()5.

解：

(l)P(X<105)=①(I。*；U。)=0(-0.4167)=1-0(0.4167)=1-0.6616=0.3384

P(100<X<120)=.(⑵:HO)_(1)(100~110)=0(4)-①(一,)

121266

=20)(4)-1=2①(0.8333)-1=2x0.7976-1=0.5952

6

(2)P(X>x)=l-P(X<%)=1-0(x~^10)<0.05=>0(%~^10)>0.95.

查表得>1.645.=>x>110+19.74=129.74.故最小的X=129.74.

28、由某机器生产的螺栓K度(c〃z)服从参数为口-10.05,。-0.06的正态分

布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为X

gP{X不属于(10.05—0.12,10.05+0.12)

=1-P(10.05-0.12<X<10.05+0.12)

_1「(10.05+0.12)-10.051F(10.05-0.12)-10.05Hl

=一1|_(L06J-[(L06Jj

=1-{6(2)—6(—2))

=1-{0.9772-0.0228)

=0.0456

29、一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为口=160,。（未知）的

正态分布，若要求P（120<XW200==0.80,允许。最大为多少？

P(120<X200)

又对标准正态分布有6（-x）=l—6（%）

解出牛（豹便得：①修卜0.9

再查表，得理■21.281<7<-4^-=31.25

(71.Zo1

30、解：

V〜N(120,2?)X=V-12°~N((),l)

2

则p=P{V生［118,122］}=P{V<U8uV>122}

=2P{-1>X}=2(1-0.8413)=0.3174

"a-〃y=()3204

31、解：

0K<0

F(x)=10.2+0.8A/30,0<x<3()

1^>30

32、

Vf(x)>0,g(x)>O,O<67<1

解:...af(x)+(l-a)g(x)>0

且［［4(x)+(l-4)9(幻］公文］/(x)公+g{x)dx=a+(\-a)=\

所以af{x}+（\-a）g{x}为概率密度函数

33、设随机变量X的分布律为:

X：-2,-1,0,1,。3

111111

rpz—.0——,o

5，6，51530

求y=x2的分布律

・・•r=x2：（-2）20«（-1）2(0)2。(1)2。(3)2

\__1_』

JDr*—1oo—1o

56711030

再把X2的取值相同的合并,并按从小到大排列，就得函数F的分布律为:

/.Yz01。。49

P：L1-L1』

56+15530

34、设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布

⑴求y=/的分布密度

・.・X的分布密度为=■工

oY=g(%)=〃是单调增函数

又庆=〃(r)=/〃丫，反函数存在

且。a=min[g(0),g(1)]=min{1,e)=1

x[g(0),g(l)]=〃ax(l,e)=e

・・・y的分布密度为My)=W()川如)l=1-1<…

0y为其他

(2)求y=-2勿X的概率密度。

:Y=g(X)=-2/〃X□是单调减函数

_Y_

又。X=〃(Y)=「E反函数存在。

且a=mi〃[g(0),g(l)]=min(+<»,0)=0

p=max\g(0),g(1)]=max(+8,())=+8

・•.y的分布密度为:“()，)=J囱诩"⑴曰.-犷亍=犷

0<y<4-oo

0y为其他

35、设X〜N(0,1)

(1)求y=e'的概率密度

X的概率密度是/(冗)=-QO<X<4-00

。/=g(X)=〃是单调增函数

又X=h(y)=lnY反函数存在

且。a=min[g(—°°),g(+co)]=min(0,+00)=0

B=max[g(-8),g(+0°)]=〃zav(0,+8)=+8

・•・P的分布密度为：

M),)=/m(y)w〃'(y)i=^e2~o<y<+8

0y为其他

(2)求Y=2X2+1的概率密度。

在这里,y=2X?+i在(+8,-8)不是单调函数，没有一般的结论可用。

设y的分布函数是尸〃(y),

贝IJ.Ry(y)=p(y4y)=p(2X2+1Wy)

当y<l时：

当1时:2)斗厚""用卜仁圭

故y的分布密度。(了)是：

当yS1时：如y)=[b-Y(y)]'=(0)'=0

当)，>1时，4(y)=[FY(y)]'

(3)求y=ix/的概率密度。

•・•。丫的分布函数为FY(y)=P(1'★)，)二尸(IX|Wy)

当y<()时,6(y)=0

当y20时，户〃()，)=P(IX|W)，

r的概率密度为:

当时：巾(y)=[户y(y)]'=(0)

当)>0时：4)()，)=\_FY(y)^

36、(1)设随机变量X的概率密度为/(x),求Y=X3的概率密度。

・・・Y=g(X)=X3是X单调增函数，

又x=h(y)=丫3,反函数存在，

且。(1=min[g(-8),g(4-°°)l=/n/n(0,4-°°)=-°0

P=max[g(-°°),g(+°°)]=mav(0,+8尸+8

・•・丫的分布密度为：

1i_2

H(y)=f[力(万)]・1力'(y)I/(y3)-jy3—on<yV+co,但)，W0

以0)=0

(2)设随机变量X服从参数为I的指数分布，求y=x2的概率密度。

法一:•・•

当

当x<0时y=x*/x=y[y

丫〜fy(y)=f(-y[y)(-77Y+f(y[y)(V7Y-6

6

y>0

y<0

法二:Y~F、，G，)=P(YGy)=P(-G<XwG)=P(X4-P(X4-6)

y>0

y<0

[，产

y>0.

「・y〜fY(y)=<2y[y

I。y<0.

37、设X的概率密度为

2x

O<X<7T

f(x)=Y

0X为其他

求丫=sinX的概率密度。

・・・FY(y)=P(Y^y)

=P(sinX砧)

当y<()时：Fy()，)=()

当OWyWl时:/丫(y)=P(sinXWy)=P(OWXWhrcsiny或兀

-arcsin

=「"与公+『.空dx

JO乃-品-arcsmy兀一

当