《概率论与数理统计》习题

概率论与数理统计

习题部分一

一、填空题

1、设A,B,C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为o

2、设P(A)=0.1,P(AuB)=0.3,且A与8互不相容，则P(B)=。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率

为0

4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为o

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一

种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A,B为两事件，P(A)=0.7,P(A^)=0.3,则P(^U豆)=。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为o

8、设A,B为两事件，P(A)=0.5,P(A—B)=0.2,则尸(而)=。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率

为O

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和丫分别表示先后掷出的点数，A={X+Y=\0}

B={X>Y},则P(0A)=o

11、设A8是两事件，则A,8的差事件为o

12、设AB,C构成一完备事件组，且P(A)=0.5,P(B)=0.7,则P(C)=_,P(AB)=

13、设A与8为互不相容的两事件，尸(3)>(),则尸(A|B)=。

14、设彳与8为相互独立的两事件，且P(无)=0.7,P(8)=0.4,则尸(A3)=—。

15、设A3是两事件，。(.4)=0.9,尸(43)=0.36,则尸(4月)=。

16、设AB是两个相互独立的事件，P(A)=0.2,P(8)=0.4JUJP(AU3)=

17、设A,8是两事件，如果A且P(A)=0.7,P(3)=0.2,则P(A|B)=

18、设尸(A)=」，P(B)=1,尸(AUB)=,，则尸(方U耳)=________o

342

19、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%。从中随机取一件，结果不是

三等品，则为一等品的概率为

20、将〃个球随机地放入〃个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为—o

二、选择题

1、设尸(A8)=0,则下列成立的是()

①力和夕不相容②力和夕独立③P(A)=0orP(B)=Q④尸(A—B)=P(A)

2、设4,8,C是三个两两不相容的事件，且尸(A)=尸(8)=尸(C)=。，则〃的最大值为

()

①1/2②1③1/3④1/4

3、设力和夕为2个随机事件，且有P(C|A8)=1,则下列结论正确的是()

①P(C)<P(A)+P(B)-1②P(C)>P(A)+P(B)-1

③尸(C)=P(AB)④P(C)=P(AUB)

4、下列命题不成立的是()

①A\JB=AB\JB②A\JB=A\JB

③(他(炳二中④AuBnBuA

5、设A3为两个相互独立的事件,P(A)>0,P(B)>0,则有()

①P(A)=1-P(B)②P(A|B)=0③尸(彳|豆)=1-P(A)④P(A|B)=P(B)

6、设48为两个对立的事件，P(A)>0,P(B)>0,则不成立的是()

①P(A)=1—P(B)②P(4|B)=0③P(A|豆)=0④P(AB)=1

7、设A8为事件，尸(AU8)=P(A)+P(8)>0,则有()

①力和8不相容②片和8独立③力和8相互对立④P(A—8)=P(A)

8、设A8为两个相互独立的事件，尸(A)>0,尸(3)〉0,则P(AU3)为()

①P(A)+P(B)②1-P(A)P(B)③1+P(A)P(B)

9、设AB为两事件，且P(4)=0.3,则当下面条件()成立时，有P(B)=0.7

①4与3独立②A与B互不相容③A与5对立④A不包含5

10、设A4为两事件，贝I」(AUO)(3U万)表示()

①必然事件②不可能事件③A与8恰有一个发生④A与8不同时发生

11、每次试验失败的概率为〃(0<〃<1),则在3次重复试验中至少成功一次的概率为

()

①3(1-〃)②(1—p)3③1—④C；(l—p)p2

12、10个球中有3个分球7个绿球，随机地分给10个小朋友,每人一球,则最后二个分

到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为()

①c(a)©(—)(—)2③(工『④里^

1010101()10

13、设尸(4)=0.8,尸(B)=0.7,P(A|3)=0.8,则下列结论成立的是(

①A与3独立②A与3互不相容

③3nA④P(ALB)=P(A)+P(5)

14、设A民C为三事件，正确的是()

①P(AB)=1-P(AB)②P(AUB)=P(A)-P(B)+1

③P(ABC)=1-P(ABC)④P(A-B)=P(BA)

15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p,则p为()

①1/2②1/4③1/18④1/36

16、已知A8两事件的概率都是1/2,则下列结论成立的是()

①P(AUB)=1②P(AB)=1③P(AB)=P(AB)④P(A8)=%

17、A,8,C为相互独立事件，0<P(C)<l,则下列4对事件中不相互独立的是()

①AU8与C②A-8与C③A8与C④AC与C

18、对于两事件A3,与八UB=B不等价的是（）

①AB=G②AB=0③AuB④BuA

19、对于概率不为零且互不相容的两事件A,B,则下列结论正确的是（）

①不与后互不相容②彳与B相容③尸（43）=P（A）P（3）④尸（A—B）=P（A）

三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品

数不多于1个的概率。

2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取I把试开房门，求

第三次才打开房门的概率。

3、某种灯泡使用1000小时以卜的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后至多有I

个坏的概率。

4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%,35%,

20%o各机床加工的优质品率依次为85%,90%,88%,将加工的零件混在一起，从中随

机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台

机床加工的可能性最大。

6、某人买了A,民。三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概玄分别为

0.03,0.01,0.02；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定

赚钱，求此人赚钱的概率。

7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%,学生答卷时，平时练习过的题目在考试

时答对的概率为95%,平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时

没有练习过的概率

8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。

9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的

结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的

概率。

10、一批产品的次品率为0.1,现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能

性最大。

11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这

两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。

12、设4,8是两个事件，用文字表示下列事件：XU反AUB,而,X豆。

13、从b100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3

整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。

14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为

这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，

如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有

100个，求这箱灯泡被接受的概率。

15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地

用钥匙试着开门，试过的钱匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概

率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率

16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条

件下，另一个也是黑色的概率。

17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是

什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。

18、设有三只外形完全相同的盒子，I号盒中装有14个黑球，6个白球；II号盒中装有

5个黑球,25个白球；III号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再

从中任取一球，求

（1）取到的球为黑色球的概率：

（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自I号盒的概率。

19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中I型的有4支，1【型的有5支，IU型的有6支；

这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中I型的有5个，II型的有7个，III型的有8个。

现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。

2（）、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽

的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票

的概率。

习题部分二

一、填空题

1、设随机变量X的分布律为P（X=%）=〃——（火则。=________0

k\

2、设随机变量X服从参数为1/3的0—1分布，则X的分布函数为二<

3、设随机变量X〜N（l,4）,P（XNa）=%,则。=。

4、设随机变量X的分布律为P（X=幻=//=1,2…N）M>0,则〃=o

5、设随机变量x服从（0』）区间上的均匀分布，则随机变量y=x?的密度函数为

（X-1）2

6、随机变量X的密度函数为/（x）=Ze8（-00<x<4-00）,则攵=o

7、随机变量X的密度函数为X〜N(l,4),则y=2X—1〜o

8、若P(X<£)=1-尸，P(X>2)=。,玉</，则P(无］<XKA：2)=

9、设离散型随机变量X的分布函数为

且尸(X=2)=J,则。=,b=o

10、设连续型随机变量X的密度函数为/(幻=\ke'八则

八<0

k=,P(1<X<2)=,P(X=2)=o

11、设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品

不放回，直到把2个次品都找到为止,设X为需要进行测试的次数，则尸(X=3)=o

12、设尸。)为离散型随机变量的分布函数为，若P(avX<b)=F(b)-F(a),

则P(X=b)=o

13、一颗均匀骰子重复掷10次，设X表示点3出现的次数，则X的分布律

P(X=k)=o

14、设X为连续型随机变量，且尸(X40.29)=0.75,Y=\-X,且幻=0.25,

则左二O

15、设随机变量X服从POISSON分布，且「(乂=1)=2乂=2),则尸(*21)=—o

+X)c

16、连续型随机变量X为/(x)=$"吠』+4)-Jf(x)dx=|f(x)dx,则c=

不

J6•?-CO

17、设耳(x),五2(X)为分布函数，^1>0,«2>0,%片@)+。2居(X)为分布函数，则

%+勺=

0X<0

18、若连续型随机变量的分布函数尸(x)={AfO<X<6,则4=

1x>6

19、设随机变量X的概率密度/(x)=geTW,则X的分布函数为o

20、若随机变量X〜N(1,Q52),则2X的密度函数/(1)=。

二、选择题

1、若函数/(幻是一随机变量X的密度函数，则()

①/(%)的定义域为[01[②/O)值域为[04]③/1)北负④在“连续

2、如果尸(x)是(),则F(x)一定不可以为某一随机变量的分布函数。

①非负函数②连续函数③有界函数④单调减少函数

3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是()

e~le~'11

©—(^=0,1,2,...)②万也=1,2,…)③/(%=(),1,2,…)@—(/r=-1,-2,...)

4、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是()

sinx/,31[―sinx//34

①()7T<X<—②7T<X<—

/X=<2/?(x)=：102

0其他其他

3兀3兀

cosx兀<x<——1-cosxTV<X<——

③g(x)=<2④u(x)=<2

0其他0其他

5、设随机变量X〜N(0,l),①(x)为其分布函数，P(X＞x)=a,则1=()。

①①一(1-々)②①T(1-乡③①"(a)④①一号

6、设离散型随机变量X的分布律为尸(X=Q=/U"(k=l,2,…)，则丸=()。

①几＞0的实数②6+1③%+]④/_]

7、设随机变量X~N(//«2),则。增大时，P(|X—〃|＜。)是()

①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定

8、设随机变量X的分布密度/(幻，分布函数尸(x),/(幻为关于y轴对称，则有()

①F(-a)=1-F(a)②尸(一。)=!一方①)③F(-tz)=F(a)④F(-a)=2F(a)-l

g、设百。),乃。)为分布函数，％月。)一巴E。)为分布函数，则下列成立的是()

32313…13

②…4]=——2,^2

©%不，。2--,^=不④4=1

5522~222

10、要使/(x)=<，cosxxeG是密度函数，则G为(

)

0x^G

7C717171

①②0,③④[匹2%]

222

11、设随机变量的分布密度为了(入)=—―，则y=2x的密度函数为()

〃(1+广)

③-----------④--------：——

①-乃-(1-+/M)②)-(4-+-，-)/(1+4，)乃(1+11)

4

12、设连续型随机变量X的分布函数为尸。)，密度f(x),则()

①P(X=x)=0②F(x)=P(X>x)③F(x)=P(X=x)®f(x)=P(X=x)

x0<x<l

13、设随机变量X的密度函数为/(x)=(2-x

l<x<2,则P(X<1.5)=)

0其他

1.51.5

①0.75②0.875(3)J(2—x)dx④1(2—x)dx

oi

14、设随机变量X〜N(l,l),分布函数为尸(x),密度/(幻，则有()

①P(X<0)=尸(X>0)②/(x)=/(-x)

③P(X<1)=P(X>1)④F(x)=F(-x)

三、计算题

1>10个灯泡中有2个是坏的，从中任取3个，用随机变量描述这一试验结果，并写出这

个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。

2、罐中有5个红球，3个白球，有放回地每次任取一球，直到取得红球为止。用X表示

抽取的次数，求X的分布律，并计算尸｛1<XK3｝。

A

3、设随机变量X的分布律为P(X=Z)=(A=1,2,…)，试求A的值。

k(k+1)

4、已知离散型随机变量X的分布律为

(1)求尸(―

-2-1012

(2)求y=x2的分布律;

1/51/61/51/1511/30

(3)求X的分布函数。

5、已知离散型随机变量X的分布律为尸(X=Z)=CfpA(l—〃)J,且P(X21)二°

求P0

6、对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为〃，求射击次数X的分

布律。

7、已知离散型随机变量X的分布律为尸(X=攵)=A，其中攵=1,2,…,

求丫=5/%1］乂)的分布律。

8、设连续型随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx

求：(1)常数A3(2)X的概率密度。

A

|x|<1

9、已知随机变量X的密度函数为/(X)=<71-X2

|x|>l

0

求(1)系数A；

(11、

(2)X落入一二，-的概率;

I22；

(3)X的分布函数。

10、某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动是独

立的，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗的电能不少于270个

单位的概率。

11、设随机变量x〜u(o,2),求y=x?的分布。

12、设测量误差X的密度函数为f（x）=—\=e

3200求

40口

（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；

（2）测量3次，每次测量独立，求至少有1次测量误差的绝对值不超过30的概率。

13、在下列两种情形下，求方程产+X/+1=0有实根的概率。

（1）X等可能取｛1,2,3,4,5,6）；

（2）X〜U（l,6）

14、设球的直径（单位：mm）X〜（7（10,11）,求球的体积的概率密度。

15、已知离散型随机变量X只取0,1,V2,相应的概率为，，二,二,，,

2a4aSa16a

求。的值并计算P（|X区11X20）

16、设某种电子管的寿命X的密度函数

QxW100

（1）若1个电子管在使用15（）小时后仍完好，那么该电子管使用时间少于200小时的

概率是多少？

（2）若1个电子系统中装有3个独立工件的这种电子管，在使用15（）小时后恰有1个

损坏的概率是多少。

17、设钻头的寿命（即钻头直到磨损为止所钻的地层厚度，以米为单位）服从指数分布，

钻头平均寿命为1000米，现要打一口深度为2000米的井，求

（D只需一根钻头的概率；

（2）恰好用两根钻头的概率。

18、某公共汽车站从上午7时起第15分钟发一班车，如果乘客到达此汽车站的时间X是

7时至7时30分的均匀分布，试求乘客在车站等候

（1）不超过15分钟的概率；（2）超过10分钟的概率。

19、自动生产线在调整以后出现废品的概率为0.1,生产过程中出现废品时重新进行调整,

问在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少？

20、设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从POSSION分布，每个顾客购买某种物

品的概率为〃，并且各个顾客是否购买该物品是相互独立的，求进入商店的顾客购买该种

物品人数的分布律。

习题部分三

一、计算与证明

a0b0

0c0(1abcd

=

1.求证：•

_v0X0yXwz

0w0z

1a2Lan

+

1aiKa2Lan

用行列式性质证明

1/a2+%LCln=%L/乙

MMMOM

1巴%La"+b〃

0abed

-a0efg

3.用行列式性质证明。二-b-e0hi=0.

-cf-h0j

-d-g-i-j0

4.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主口：“我羊食半马”。马主口:“我马

食半牛二

今欲衰偿之，问各出几何？

(1——2元+4&=0

5.问