串讲07 概率与统计（考点串讲）（原卷版）

串讲07概率与统计

一、知识网络

分类计数原理

分步计数原理

排列数

排列组合4

7组合数

二项展开式

L二项式定理，通项公式

统计与概率

二项式系数的性质

,离散型随机变量及其分布

随机变量及其分布>・卜二项分布

・正态分布

用样本估计整体

统计

一元线性回归

二、常考题型

加法原理离散型随机变量

f-------------------

乘法原理二项分布

排列o常见考点。正态分布

组合、用样本估计总体

二项式定理变量间的相关关系

三、知识梳理

1.计数原理

（1）分类加法计数原理

概念：完成一件事有〃类不同方案，在第1类方案中有班种不同的方法，在第2类方案中有牲

种不同的方法，…，在第〃类方案中有外种不同的方法，那么完成这件事共有

N二町+网+…+〃乙种不同的方法.

特征：①任何一类方案都能完成这件事；②各类方案之间相互独立；③分类要做到“不重不漏”

（2）分步乘法计数原理

概念:完成一件事需要〃个步骤，做第1步有町种不同的方法，做第2步有外种不同的方法，…，

做第〃步有“种不同的方法，那么，完成这件事共有N=K…X/〃”种不同的方法

特征：①任何一步都不能单独完成这件事；②各步之间相互依存；③分步要做到“步骤完整”

2.排列

（1）排列：一般地，从〃个不同元素中取出〃?（〃区〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫

做从〃个不同元素中取出，〃个元素的一个排列

（2）排列数：从〃个不同元素中取出根（〃6〃）个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同

元素中取出加个元素的排列数，用符号A：表示

（3）排列数公式：A"'=/7（/2-1）（n-2）■••（/?-/7Z+1）=n'（N",且

3.组合

（1）组合：一般地，从〃个不同的元素中取出〃区〃）个元素合成一组，叫做从〃个不同元

素中取出m个元素的一个组合

（2）组合数：从〃个不同元素中取出根（〃区〃）个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不

同元素中取出加个元素的组合数，用符号表示

/八APIA将八teA：H(A?-1)(/?—2)•••(«—w+1)n\/、r*口/、

(3)组合数公式：C=—=----------------------=-----(m,nwN,S.m<n)

〃A：ml初(〃一⑼！

(4)组合数的性质：(1)C；=C：-m；(2)C1=C；+C『

4.二项式定理

(1)二项式定理

概念：一般地，对于任意的正整数〃，

都有(〃+3"=C"++…+cy-V+--+c»"(〃wN)这个公式称为二项式

定理，等号右边的式了称为(〃十))〃的二项展开式，(&十〃)”的二项展开式共有〃+1项，其中各

项的系数C：(正｛0,1,2,…，叫叫做二项式系数，C”“A称为二项展开式的第Z+1项，又称为

二求展开式的通项

(2)二项展开式的特征：

①二项展开式共有〃+1项；

②二项式系数依次为组合数G；CC，…，£；，•・•，&；

③各项次数都等于二项式的基指数〃;

④字母〃的指数由〃开始按降幕排列到0,b的指数由0开始按升舞排列到〃

(3)二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分

(4)二项式系数的性质

对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

增减性：当小时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的

2

最大值：当〃是偶数时，中间一项的二项式系数C：取得最大值；当〃是奇数时，中间两项的二

n-1n+l

项式系数相等，且同时取得最大值

(5)二项式系数和:

①二项展开式中各二项式系数之和为2〃；

②在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于.

5.离散型随机变量

(1)离散型随机变量的定义

如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变

量。

(2)离散型随机变量的分布列

设离散型随机变量4所有可能取得的值为X1,X2,…,心,…Xn,若4取每一个值Xi(i=l,2,…，n)

的概率为p(g=W)=6，则称表

♦・♦♦♦♦

X1X2XiXn

PPlP2•••Pi•••Pn

为随机变量4的概率分布，简称4的分布列.该分布列具有如下性质:

①R20,i=1,2,…，n；

②P1+P2+…+P产1

(3)离散型随机变量的分布列的求法

①要确定随机变量J的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；

②分清概率类型，计算4取得每一个值时的概率；

③列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.

6.二项分布

（1）二项分布的定义

在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在八次独立重复试验中事件A发生的次数

4是一个离散型随机变量.如果在一次试验中事件A发生的概率是〃，则此事件不发生的概

率为4=1-〃，那么在〃次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是

*=k）=2伏）=C：pkqi,（攵=）.

于是得到离散型随机变量4的概率分布如下：

01•••k•••n

Pc>VcA*・♦♦・♦♦C：p"q。

由于表中第二行恰好是二项展开式

①+〃）“=C；P%"++…+C：〃，尸+…+C：pZ0中各对应项的值,所以称这样的

随机变量4服从参数为〃，〃的二项分布，记作。〜伏〃,〃）.

（2）如何求有关的二项分布

①分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一

次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，

即确定k的值；

②准确算出每一种情况卜，某事件A发生的概率；

③用表格形式列出随机变量的分布列.

7.正态分布

（1）正态变量的概率密度函数

正态变量的概率密度函数表达式为：0)=7亚『6纺2(xwR),(b>0,Yov〃<M)

其中X是随机变量的取值；□为正态变量的期望；。是正态变量的标准差.

(2)正态分布

①正态分布的定义

如果对于任何实数。力(。〈力随机变量X满足：尸(。<XW6)=f公,则称随机变量X

服从正态分布，记为xN(A，£)

②正态分布的期望与方差

若X2,6),则X的期望与方差分别为：EX=〃，DX=a2

(3)正态曲线

1

如果随机变量X的概率密度函数为/(x)=-f^eMR),其中实数〃和。为参数

42m

(<T>0,-ox//<+a)),则称函数/a)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

(4)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称;

③曲线在x=〃时达到峰值

J27rb

④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x

轴为渐近线，向它无限靠近；

⑤曲线与X轴之间的面积为1;

⑥”决定曲线的位置和对称性

当。一定时，曲线的对称轴位置由〃确定；如下图所示，曲线随着〃的变化而沿X轴平移;

⑦。确定曲线的形状

当，〃一定时，曲线的形状由。确定。。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；。越

大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示.

8.油样方式

（1）简单随机抽样

放回简单随机抽样不放回简单随机抽样

一般地,设一个总体含有N（N为正整数）个个体,从中②逐个抽取n（1Wn<N）个个体作为

样本

如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体

的各个个体被抽到的概率都③相等，我们内④未进入样本的各个个体被抽到的概率

把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放

样同简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获

得的样本称为简单随机样本

（2）分层抽样

①分层随机抽样的定义

一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在

每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,

这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

②比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样木量都与层的大小成比例，那么称这种样木量的分配方式为比

例分配.

9.变量的相关关系

（1）相关关系的定义

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为

相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.

（2）散点图

①散点图

成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.

②正相关和负相关

如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称

这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称

这两个变量负相关.

斗r

0正相关*0负相关”

（3）线性相关

一股地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个

变量线性相关.

四、常考题型探究

考点一加法原理

例1.一个二层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本,每本图

书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）

A.3种B.504种C.24种D.12种

例2.每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人

某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（）

A.22种B.33种C.300种D.3600种

【变式探究】如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从M处到N处接通时，不同的

线路可以有（）

A.5条B.6条C.7条D.8条

考点二乘法原理

例3.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、

纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）

A.3,种B.43种C.3x2x1种D.4x3x2种

例4.有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考

试，则不同的考试方法种数为.

【变式探究】集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法

的种数是.

考点三排列原理

例5.求A；+A：的值为（）

A.12B.18C.24D.30

例6.为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督卤工作，若每周只值

3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（）

A.12B.45C.60D.90

【变式探究】用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四

位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）

A.2301B.2304C.2305D.2310

考点四组合原理

例7.计算C"C：+C；+C：=（)

A.34B.35C.36D.37

例8.已知C；6=C『2,则心.

【变式探究】若C°=C：,则g的值为.

考点五二项式定理

例9.在⑵-少的展开式/中含项的系数是（）

A.-192B.-160C.240D.60

例10.若(1-2外5=4+4/+42/++%/，则生+/=(

A.100B.110C.120D.130

【变式探究】若（4+蛾］展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

A.9B.10C.11D.12

考点六离散型随机变量

例1L设离散型随机变量4的分布列如下表所示：

—0123

1

\_1\_2

1To

P55

10

则下列各式正确的是（）

24

A.P（^<3）=-B.^>1）=-

C.P（2<g<4）=：D.赠<05）=0

例12.已知离散型随机变量X的分布列为

X123

31

a

lo

P5

则；的数学期望石(x)=()

A.=3B.2C.51D.3

22

【变式探究】下表是离散型随机变量X的分布列，则常数。的值是（）

考点七二项分布

例13.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8,则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏

了一个的概率为（）

A.0.384B.1C.0.128D.0.104

例14.若随机变量X服从二项分布46,；）,则P（X=3）的值为（）

【变式探究】设随机变量4*2,p）,若。（421）=[,则夕的值为,

考点八正态分布

例15.对力，少两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符

合正态分布，其中4地员工的上班迟到时间为4（单位：min）,X:N（2,4）,对应的曲线为C,

8地员工的上班迟到时间为】，（单位：min）,Y/vkl、，对应的曲线为G,则下列图象正确

/

的是（）

a

-ku-UL

O\o\

例16.若随机变量X~N(30,/),jaP(30<X<40)=03,则P(X<20)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【变式探究】若随机变量X服从正态分布N(2Q2),P(X>4)=0.45,则P(XN0)=()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

例17.王老师对本班4（）名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行

了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）

组数学小写作小体育小音乐小科技小

别组组组组组

频

().10.2().3().150.25

率

A.10人B.9人C.8人D.7人

例18.在某知识竞赛中，共