《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准

一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分)

345

35D.O

1、设，D,=510,则口=1=_____________.

12。D,

2002

2、四阶方阵A、B,已知|A忌，且B=2A“-(2A)T,则叶。

3、三阶方阵A的特征值为1,-1,2,且B=A3-5A?,则B的特征值为o

4、若n阶方阵A满足关系式A2-3A-2^=O,若其中E是单位阵，那么

A-'=_

5、设必=(1,1,1),a2=(l,2,3),%=(1，，。线性相关，则t=。

二、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2

分,共20分)

Y-132x+13-6

1、若方程成立,则x是

0xx-22I-4

(A)-2或3；(B)-3或2；

(C)-2或-3；(D)3或2；

2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为

(A)(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3；(B)(A-B)(A+B)=A2-B2；

(C)A2-E=(A-E)(A+E)；(D)(AB)2=A2B2

3、设A为可逆n阶方阵，则(A*)*=

(A)|^|E；(B)A；

(C)\A\'A；(D)\A\'~2A；

4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵

’100、

(\00>

(A)；(B)010；

(0()2)

、011,

’01-1、‘010、

(C)-101；(I))00-2

<00LJOo;

5、下列命题正确的是

(A)如果有仝为零的数4,k2%使4%+&%+…+-6,则4,%,

,a,“线性无关；

（B）向量组若其中有一个向量可由向量组线性表示，则…，

心线性相关；

（C）向量组四，。2，…，生”的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；

（D）向量组四，。2，•一，生”线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

6、%，%，…，%〃和4，仇，…,瓦,为两个n维向量组，且

见吻+四+…+乩

a?=B\+K…+Bm

%小川+国+…+Pm7

则下列结论正确的是

（A）a〃）＜R（4血，…4）

⑻宠（1,生，…，6〃）＞R（4%-，4）

©R（«,4，…，a,J=R（4月2,，&）

（0）无法判定

7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有

（A）A=E（B）A相似于E（C）A1=EID）A合同于E

8、若7,%，%，%是线性方程组AX=。的基础解系，则7+%+/+%是AX=。的

（A）解向量（B）基础解系（C）通解；（D）A的行向量；

9、4,不都是n阶矩阵A的特征值，4工小，且X1和X2分别是对应于4和4的特征

向量，当勺，心满足什么条件时，X=KXI+&X2必是矩阵A的特征向量。

(A)K=0且42=°；(B)勺工0,

(C)k/工0(D)k｝工0而&=0

1-10

10、下列哪一个二次型的矩阵是-130

000

2X2

(A)/(M,%)=x；-2X2X2+3电2；(B)f(x,,x2)=xt-+32;

2222

(0/(Xj,x2,x3)=%)-2X2X2+3X2;(D)f(x],x2,x3)=x1-xtx2-x2x3+3x2

三、计算题（每小题9分，共63分）

aP

1、设3阶矩阵，A二2八B=Yi,其中。，仇八,八均是3维行向量，且已知

3八为

行列式|A|=18,|B|=2,求|A+B|

2、解矩阵方程AX+B=X,其中

01

A=-11

-10

(1)夕可由a,,%，阳线性表示，且表示式是唯一的;

夕不能由at,a?,由线性表示;

夕可由四，a2，由线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组AX=〃满足RA）=3,八,八，片是AX二〃的三个解向

量，其中

'2、T

-40

Y\+%=%+%=

03

4

求AX二〃的通解。

5、已知A=B,且人=

求a,b

6、齐次线性方程组

2xj-x2+3^=0

・

玉-3X2+4X3=0>

-%）+2X2+ar=0

中当a为何值时，有非零解，并求出通解。

2

7、用正交变换法化二次型/（七,工2，工3）=4*2+4X2+4.2+4%内+4X占+4工2.为标

准型，并求出正交变换。

四、证明题（7分）

设A为mXn矩阵，B为n阶矩阵，已知R（A）=n

证明：若AB=O,则B=O

《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准

填空题

1、~10；2、81；3、—4,—6,—12；4、/（A—3E）；5、5；

一、二、单项选择题（每小题2分，共20分）

题号12345678910

答案AC1)BCCCADC

番号

一、三、计算题（每小题9分，共63分）

1>|A+B|（2分）

（4分）

（7分）

=2X18+12X2=60（9分）

2、AX+B=X=>(E-A)X=B（2分）

1-10

|E-^|=10-l=3wO（3分）

102

X=(E-Ay}B（5分）

ro2r

(E-A)“=g-321

（7分）

0-11

（9分）

3、设£=勺。|+k2al+%%

1+211111

|A|=11+21=(2+3)11+21=£(4+3)w()

111+/1111+/1

=400且；1工一3时，方程组有唯一解

即夕可由必，%,由唯一线性表示，

(2)当;1=—3时

11（）、-21-3、

-21一3一01-12

1-2切10006,

•••R(A尸2,R(A)=3无解

即当义二一3时，，夕不能由a、，%线性表示（6分）

(3)当;1=0时

(A)=[1110、(\110、

110-0000

11110J10000,

R(A)=R(A)=1<3二.有无穷组解

下、

基础解系为：7=1

通解为x=c"一j4=q

<C2，

当2=0时夕可由囚，［2，线性表示为无穷多种形式

P=（一q—。2）e+G%+q,c2为任意常数（9分）

4、・.・R（A）=3<4AX=6?的基础解系含一个解（2分）

•/A/j=p(i=L2,3)

设"二（%+%）一仇+%）=（4分）

为基础解系（6分）

•・・A；(%+%)

乙I乙乙

「1、

I-2

•.・“)=](%+%)=；为特解（8分）

J

，l+c、

故AX二夕的通解为X=")+c〃="2-4C

c为任意常数（9分）

-3c

—2cl

5、A8/.|AE-.A|=|AE-B|

A.—1-a-1

|AE-A|=-a2-1-b=A,3-3A2+(2-a2-b2)A+(a-b)2（2分）

-1-bA-l

200

|2E-B|=-a2-10=A(2-1)U-2)=23-322+24（4分）

00A-2

/V—32~+(2—cr—h')A+(67—b)~=%'—3/i~+2A（6分）

比较同次基系数有

2-a2-b2=2

（8分）

(a-h)2=0

解之，得a=b=O（9分）

'2-13、z01-1、

6、A=1-34-101（3分）

「12a)、。0a-3^

当“二3时.R（A）=2<3有非零解（5分）

一、

基础解系为〃=1（8分）

通解为X=ci]c为任意常数（9分）

A-4-2-2

7、\AE-A\=-24-4—2=(2-2)2(2-8)=0（3分）

-2-22-4

特征值为4=8,✓L=4=2（4分）

rr1]0

特征向量为7=ifh=0，%=1（6分）

ll

-L-1

1

正交单位化为4=方=0，瓦2（7分）

r质76

222

标准型为f=8.V1+2v2+2y3（8分）

l1

_fL&

o>/26

y9分

耳

正交变换为X=一

1I>/l6

3F

v6

四、证明题（）

B=¥\，%…，凤）

M=A（4,%・•，月）=（A片，A鱼,，物）=。（2分）

:Z、=ea=i,2,，.,,〃）

B的每一列向量为齐次方程组AX=。的解（4分）

由于R（A）=nAX=0只有零解

B=O

线性代数期末考试题

一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分)

1-31

1.若05x=0,则Z=,,

-12-2

+工2+尤3=0

2.若齐次线性方程组•x,+人2+七=0只有零解，则尤应满足。

X1+=0

3.已知矩阵A,B,C=(c)),x“，满足AC=C3,则A与3分别是阶

矩阵。

/、

卬a2

4.矩阵A=f/21an的行向量组线性o

Mi4),

5.〃阶方阵4满足｛2_3A_E=0,则。

二、判断正误(正确的在括号内填“J"，错误的在括号内填“X”。每小题2分，共10分)

1.若行列式。中每个元素都大于零，则。〉0。()

2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。()

3.向量组4,W〃帆中，如果q与%对应的分量成比例，则向量组。1，…，as

线性相关。()

-0100-

1000,

4.A=，则人7=A。()

0001

0010

5.若2为可逆矩阵4的特征值，则A-的特征值为2。()

三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分,

共10分)

1.设A为〃阶矩阵，且|4|=2,则料A，卜()。

①2"②2〃T③2向④4

2.〃维向量组%,%，…，(3<s<n)线性无关的充要条件是()。

①%,a2，…，%中任意两个向量都线性无关

②四,。2,,…，％中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③%,口?，…，%中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④%,%中不含零向量

3.下列命题中正确的是（）。

①任意〃个〃+1维向量线性相关

②任意〃个〃+1维向量线性无关

③任意〃+1个日维向量线性相关

④任意，+1个〃维向量线性无关

4.设A,8均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。

①若A,3均可逆，则A+4可逆②若A,8均可逆，则

AB可逆

③若A+3可逆，则4一3可逆④若A+8可逆，则A,

B均可逆

5.若匕，v2,匕，匕是线性方程组AX=O的基础解系，则匕+乙+匕+匕是

AX=O的（）

①解向量②基础解系③通解④A的行向量

四、计算题（每小题9分，共63分）

x+abcd

ax-^-bcd

1.计算行列式

abx+cd

abcx+d

<30

2.设43=A+23,且4=110,求3。

1()14J

」-100、’2134、

3设8=0170C=；0j2；13；且矩阵X满足关系式

又001-1

,0001>002,

X（C—8）二瓦求X。

4.问。取何值时,下列向量组线性相关？%二——，％=a，%

2

AX|+X-)+—A.—3

5.4为何值时，线性方程组(王+疝2+£=—2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程

X1+x2+AX3=-2

组有无穷多解时求其通解。

T<2、(3、

49010

6.设%=,二,=,%=.求此向量组的秩和一个极大无关

1-1-3-7

k~3>

组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

Uo0、

7.设A=()10,求A的特征值及对应的特征向量。

、021,

五、证明题(7分)

若4是〃阶方阵，且441=/,|闻=一1,证明|4+/|=0。其中/为单位矩阵。

线性代数期末考试题答案

一、填空题

1.52.2^13.sxs，nxn4.相关

5.A-3E

二、判断正误

1.X2.V3.V4.5.X

-ZZ.、单项选择题

1.③2.③3.③4.②5.①

四、计算题

1.

x+abcdx+a+b+c+dbcd

ax+hcclx+a+b+c+dx+bcd

—

abx+cdbx+cd

abcx+dx+a+b+c+dbcx+d

1bcd1bcd

1x+lcd0A00a

={x+a+b+c+cl)={x+a-b-3t-c+d)=(x+a+b+c-\-d)x'

bx+cd00x0

1bcx+cl000.¥

2.

2-1-1

(A-2E)B=A(A-2E)-2-2-1

-111

-5-2-2

B=(A-2E)-iA=4-3-2

-223

3.

234000

0232100

C-