2026版高三数学一轮复习第十章 10.6　离散型随机变量的分布列及其数字特征讲义+课时练

第十章计数原理、概率10.6离散型随机变量的分布列及其数字特征数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1离散型随机变量的分布列的性质考点2离散型随机变量的分布列及数字特征0102考点3均值与方差中的决策问题03课时作业第三部分高考创新方向多想少算041．了解离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．教材回扣唯一3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi__0(i＝1，2，…，n).(2)p1＋p2＋…＋pn＝__．4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn≥1x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平标准差偏离程度5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝______________．(2)D(aX＋b)＝__________．（a，b为常数）aE(X)＋baE(X)＋b均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(3)D(X)＝E(X2)－(E（X)）2.(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).教材拓展1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(

)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(

)基础检测×√√√2．（人教A版选择性必修第三册P66T1改编）已知离散型随机变量X的分布列为A3．（人教A版选择性必修第三册P70T1改编）随机变量X与Y满足Y＝2X＋1，若D(X)＝2，则D(Y)＝(

)A．8 B．5C．4 D．2解析：D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2＝8.故选A.A4．（人教A版选择性必修第三册P67T3改编）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E（X甲）＝E（X乙），方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计(

)A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：已知样本方差D（X乙）＝3.4，D（X甲）＝11，由此估计，乙种水稻的方差约为3.4，甲种水稻的方差约为11.因为3.4<11，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．故选B.B互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1离散型随机变量的分布列的性质【例1】（多选）已知离散型随机变量X的分布列为则下列选项正确的是(

)A．m＋n＝0.7B．若m＝0.3，则P(X>3)＝0.5C．若m＝0.9，则n＝－0.2D．P(X＝1)＝2P(X＝6)X1246P0.2mn0.1ABD【解析】由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，所以B正确；由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，得P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确．故选ABD.规律总结离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．【对点训练1】（多选）若随机变量X的分布列如下，则(

)A．t＝10 B．P(X>1)＝0.8C．t＝11 D．P(X≥3)＝0.6AD考点2离散型随机变量的分布列及数字特征命题角度1离散型随机变量的分布列及数字特征【例2】已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．在总体中抽样100单，以频率估计概率．(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率．赔偿次数01234单数800100603010(2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差，设毛利润为X，估计X的数学期望；(ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%，估计保单下一保险期毛利润的数学期望．命题角度2均值（数学期望）与方差的性质应用【例3】（多选）设离散型随机变量X的分布列为若随机变量Y满足Y＝2X＋1，则(

)A．q＝0.1 B．D(X)＝1.8C．E(Y)＝2 D．D(Y)＝3.6X01234Pq0.40.10.20.2AB【解析】因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，解得q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝0.1×(0－2)2＋0.4×(1－2)2＋0.1×(2－2)2＋0.2×(3－2)2＋0.2×(4－2)2＝1.8，故B正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝2×2＋1＝5，故C错误；D(Y)＝4D(X)＝4×1.8＝7.2，故D错误．故选AB.规律总结求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).【对点训练2】

(1)（多选）已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下：AC考点3均值与方差中的决策问题【例4】

（2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．【解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686.(2)假设0<p<q.(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【解】(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，∵0<p<q，∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，∴P甲>P乙，∴应该由甲参加第一阶段比赛．(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q.若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15pq(p－q)(p＋q－3)，∵0<p<q，∴p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0，则pq(p－q)(p＋q－3)>0，∴E(X)>E(Y)，∴应该由甲参加第一阶段比赛．规律总结随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【对点训练3】投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示．甲种股票：乙种股票：收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.30.4(1)如果有人向你咨询想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？解：由题知E(X)＝－1×0.1＋2×0.6＝1.1，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＝1.1，D(X)＝E(X2)－(E（X)）2＝(－1)2×0.1＋22×0.6－1.12＝1.29，D(Y)＝E(Y2)－(E（Y)）2＝12×0.3＋22×0.4－1.12＝0.69，由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，所以投资乙种股票相对于甲种股票更稳妥．(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．解：投资甲种股票3485元，乙种股票6515元．理由如下：设投资甲种股票a元，则投资乙种股票(10000－a)元，所以E(aX)＋E(（10000－a)Y）＝aE(X)＋(10000－a)E(Y)＝11000，D(aX)＋D(（10000－a)Y）＝a2D(X)＋(10000－a)2D(Y)＝a2×1.29＋(10000－a)2×0.69＝1.98a2－13800a＋0.69×108，高考创新方向多想少算A．p1＝0.1，p2＝0.2，p3＝0.3，p4＝0.4B．p1＝0.4，p2＝0.3，p3＝0.2，p4＝0.1C．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4D．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C方法二（定性分析得结论）方差和标准差都反映的是数据的波动情况，数据的波动越大，方差和标准差越大，反之亦然．A，B选项的数据波动情况对称相同，

故它们的标准差是一样的，C选项中间2，3出现的频率相同且较高，两边1，4出现的频率相同且较低，所以数据集中程度高，故标准差应该最小，D选项的标准差应该是最大的．故选C.创新解读本题看似是标准差的计算问题，实际上考查学生对标准差概念本质的理解，并在理解的基础上加以应用，如果盲目计算，即使最后能得到正确结果，也会浪费大量时间，得不偿失，体现新高考多想少算的变化趋势．创新点概率统计的新定义问题解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”的问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断地实践和反思，不然就谈不上“自然”、完整地解题．Y＝y)表示事件“X＝x”与事件“Y＝y”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p(0<p<1)，射击进行到击中目标两次时停止．设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数．(1)求P(ξ＝2，η＝5)，P(η＝5)；(2)求E(ξ|η＝5)，E(ξ|η＝n)(n≥2).课时作业73第分部三1．（5分）已知随机变量Y的期望和方差分别为2，0.04，则E(5Y＋1)，D(5Y＋1)分别为(

)A．3，1 B．11，1C．3，0.2 D．11，0.2解析：由已知得E(Y)＝2，D(Y)＝0.04，则E(5Y＋1)＝5×E(Y)＋1＝11，D(5Y＋1)＝25×D(Y)＝1.故选B.BD2．（5分）（2024·河南新乡二模）已知随机变量X的分布列为A3．（5分）已知离散型随机变量X的概率分布列如表，离散型随机变量Y满足Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝(

)4．（5分）（2024·四川成都模拟）若随机变量X的可能取值为1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，则D(X)＝(

)A．1 B．2C．3 D．4A5．（5分）（2025·湖南长沙模拟）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表一和表二所示：表一表二X678910P0.070.220.380.300.03Y678910P0.090.240.320.280.07则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是(

)A．E(X)>E(Y) B．E(X)<E(Y)C．D(X)>D(Y) D．D(X)<D(Y)解析：由分布列可得E(X)＝6×0.07＋7×0.22＋8×0.38＋9×0.30＋10×0.03＝8，E(Y)＝6×0.09＋7×0.24＋8×0.32＋9×0.28＋10×0.07＝8，D(X)＝(6－8)2×0.07＋(7－8)2×0.22＋(8－8)2×0.38＋(9－8)2×0.30＋(10－8)2×0.03＝0.92，D(Y)＝(6－8)2×0.09＋(7－8)2×0.24＋(8－8)2×0.32＋(9－8)2×0.28＋(10－8)2×0.07＝1.16，所以E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y).故选D.DA则当a在(0，1)内增大时(

)A．D(X)增大

B．D(X)减小C．D(X)先减小后增大

D．D(X)先增大后减小ACD7．（6分）（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法正确的是(

)A．a＝0.25B．E(X)＝1C．D(X)＝4.5D．P(0.5<X