2026版高三数学一轮复习第一章 1.5　一元二次方程、不等式与二次函数讲义+课时练

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.5一元二次方程、不等式与二次函数数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1一元二次不等式的解法考点2三个“二次”之间的关系0102考点3一元二次不等式的恒成立问题03课时作业第三部分1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．2．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．3．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．教材回扣2．三个“二次”之间的关系{x|x<x1，或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0.(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0.(3)若a可以为0，则需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．教材拓展1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(

)(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(

)基础检测×√××2．（人教A版必修第一册P53T1(5)改编）不等式－2x2＋x≤－3的解集为

．3．（人教A版必修第一册P55T5改编）已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝

．解析：已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R.R（－3，0]互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1一元二次不等式的解法命题角度1不含参一元二次不等式的解法【例1】（多选）下列选项中，正确的是(

)A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}ABD命题角度2含参一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.规律总结对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、为负及为零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的大小关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根之间的大小关系进行讨论．【对点训练1】解关于x的不等式：(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.解：不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0，当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞）；考点2三个“二次”之间的关系【例3】（多选）若存在m，n(m<n－1)，使得0≤x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m≤x≤m＋1或x＝n}，则下列结论正确的是(

)A．x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1或x≥n}B．x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m＋1≤x≤n}C．c＝－nD．a2＋2a>4b－4cAD规律总结1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入法或根与系数的关系求待定系数．【对点训练2】（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则(

)A．a>0B．a＋b＋c>0CD考点3一元二次不等式的恒成立问题命题角度1在实数集R上的恒成立问题【例4】若命题p：“∃x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，则k的取值范围是(

)A．(1，7) B．[1，7）C．(－7，1) D．（－7，1]B命题角度2在给定区间上的恒成立问题【例5】

（2025·八省联考）已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(

)A．(－∞，1] B．[－2，1]C．[－1，2] D．[－1，＋∞)B【解析】①若a>2，当2<x<a时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×(－1)×(－2a2)＝－7a2<0，又－1<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；②若0<a≤2，当x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得0<a≤1；③若a＝0，当x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；④若a<0，当x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.综上，a的取值范围为[－2，1].故选B.命题角度3给定参数范围的恒成立问题【例6】若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(

)A．[－1，3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D规律总结恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式在R上恒成立问题，可用判别式Δ进行解决；对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，不能用判别式Δ进行解决，一般用分离参数求最值或分类讨论的方法．【对点训练3】已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由；解：不存在．理由：原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，当m＝0时，原不等式化为－2x＋1＜0，不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，所以不存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立．(2)若不等式对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若不等式对任意m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围．课时作业5第分部三1．（5分）不等式x(x＋2)<x(3－x)＋1的解集为(

)AA．{x|x<1，x≠－2}B．{x|x>1}C．{x|－2<x<1}D．{x|x<－2或x>1}C3．（5分）不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，则b－a的值是(

)A．－3 B．3C．－5 D．5解析：因为不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以a<0，x＝1和x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的根，所以D4．（5分）已知mx2＋mx＋1≥0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是(

)A．0<m≤4 B．0≤m≤1C．m≥4 D．0≤m≤4D5．（5分）若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(

)A．(－2，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．（－∞，2]C6．（5分）已知对任意m∈[1，3]，mx2－mx－1<－m＋5恒成立，则实数x的取值范围是(

)D7．（6分）（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(

)A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}C．a＋b＋c>0ABD8．（6分）（多选）已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(

)ACD9．（5分）满足2<x2－2x＋3<3的x的取值范围为

．(0，1)∪(1，2)10．（5分）命题q：∀x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0.若q为真命题，则实数a的取值范围是

．解析：因为∀x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0为真命题，则a<x2＋2x＋2在x∈（－∞，－2]上恒成立，令g(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，x∈（－∞，－2]，则g(x)min＝g(－2)＝2，所以a<g(x)min＝2，所以实数a的取值范围是(－∞，2).(－∞，2)11．（16分）已知函数f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(x)<0在x∈（－1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．12．（17分）已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若不等式f(x)>x2＋ax－1－a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a∈R，解不等式f(x)>1.D13．（5分）对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋