5.2.1+三角函数的概念+（教学设计）+数学人教A版2019必修第一册+ - 副本

5.2.1三角函数的概念教学设计教学内容 本节为《普通高中数学课程标准·必修第一册》（人教A版2019）第五章第2节第1课时后的“概念深化课”。在学生已会用单位圆给出sin、cos、tan定义的基础上，进一步完成：任意角三角函数值符号规律（象限符号）；诱导公式一“角转一圈，函数值回家”的发现与证明；利用符号规律与诱导公式解决“知角求号” “知号定角”两类简单问题。内容解析三角函数值符号与诱导公式一是“概念—图像—运算”链条的关键节点：•符号规律把几何“象限”转化为代数“正负”，为数形结合奠基；•诱导公式一揭示三角函数的“周期性”雏形，为后续研究周期性、奇偶性铺设逻辑起点；•二者均以“单位圆”为认知锚点，强化学生“看到角→想终边→看点坐标→判符号/求值”的思维路径。教学目标1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；2.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；4.体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。目标解析1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义．2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号．达成上述目标的标志是：给出任意角（含负角、大于2π的角），学生20秒内说出终边象限并给出sin、cos、tan的符号。课堂即时检测：sin390°=sin30°；cos(−45°)=cos315°等3题全部正确。在小组互评中能用“把角化到0～2π”思路讲解至少一道例题。本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第3课时，这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象(概括)层次。它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。基于以上分析，确定本节课的教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。温故知新知识点一三角函数的概念(1)任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦函数把点P的eq\x(\s\up1(01))纵坐标eq\x(\s\up1(02))y叫做α的正弦函数，记作eq\x(\s\up1(03))sinα，即eq\x(\s\up1(04))y＝sinα余弦函数把点P的eq\x(\s\up1(05))横坐标eq\x(\s\up1(06))x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα正切函数把点P的eq\x(\s\up1(07))纵坐标与eq\x(\s\up1(08))横坐标的比值eq\x(\s\up1(09))eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数三角函数我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(2)三角函数的定义域三角函数定义域y＝sinxx∈eq\x(\s\up1(10))Ry＝cosxx∈eq\x(\s\up1(11))Ry＝tanxx∈eq\x(\s\up1(12))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))))[拓展]三角函数的等价定义如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．[点拨]对三角函数的定义的理解(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应．(2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．知识点二三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三公式一名称符号语言文字语言公式一sin(α＋k·2π)＝eq\x(\s\up1(01))sinα(k∈Z)cos(α＋k·2π)＝eq\x(\s\up1(02))cosα(k∈Z)tan(α＋k·2π)＝eq\x(\s\up1(03))tanα(k∈Z)终边相同的角的同一三角函数的值eq\x(\s\up1(04))相等[点拨](1)公式一的实质：角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α.导入1：手机电量“旋转木马”【情境】同学们有没有发现：手机电量从0%充到100%，再充依旧是100%；从100%用到0%，再往下用也跳不到−10%。如果把“电量百分比”看成三角函数值，把“充电/用电时间”看成角度，这里面是否也存在“转一圈回到老地方”的规律？【设计意图】用学生熟悉的生活经验映射“周期现象”，直接指向诱导公式一本质。【教学建议】教师现场用充电宝演示0→100→0→100，引出“转一圈归零”话题。导入2：旋转木马上的“拍照游戏”【情境】游乐园旋转木马每转一圈，摄影师在同一位置给你拍照。无论木马先逆时针转3圈再顺时针转2圈，最终照片里你的脸朝哪个方向只取决于“净转1圈”。【设计意图】把“终边相同的角”可视化，为象限符号与诱导公式一奠定直观基础。【教学建议】提前准备GIF动图或现场用转椅示范，让学生指“脸朝哪=终边在哪”。导入新知在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，不失一般性，先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：如图5.2-1，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况．根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图5.2-2，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为．射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．探究当时，点的坐标是什么？当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角，他的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗?利用勾股定理可以发现，当时，点的坐标是；当或时，点的坐标分别是和．它们都是唯一确定的．注意点：(1)三角函数值是比值，是一个实数．(2)三角函数值的大小只与角的大小有关．一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的．所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数，下面给出这些函数的定义．设是一个任意角，．它的终边与单位圆相交于点．（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数（sinefunction），记作，即；（2）把点的纵坐标叫做的余弦函数（cosinefunction），记作，即；（3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即．可以看出，当时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangentfunction）．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometicfunction），通常将它们记为：正弦函数；余弦函数；正切函数．探究在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按照锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按照本节三角函数定义求得的的正弦记为，与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？典例分析例1求的正弦、余弦和正切值．解：在直角坐标系中，作（图5.2-3）．易知的终边与单位圆的交点坐标为．所以，，，．【变式】已知角的终边经过点，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的定义，有，结合，解出，可求.【详解】由题意可得，所以,又，所以，则.故选：B反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．例2如图5.2-4，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．求证：．分析：观察图5.2-5，由，根据三角函数的定义可以得到证明．证明：如图5.2-5，设角的终边与单位圆交于点．分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，则，，．于是即因为与同号，所以即同理可得根据勾股定理，．由例2可知，只要知道角的终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点位置的改变而改变．【变式】当角α为第一象限角时，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？怎样表示？【答案】答案见解析【分析】根据三角函数线的定义求解即可.【详解】如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则，；过点A（1，0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，有．探究根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号.表5.2-1三角函数定义域例3求证：角为第三象限角的充要条件是证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么为第三象限角．因为①式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合；又因为②式成立，所以角的终边只能位于第三象限．于是角为第三象限角．必要性请同学们自己证明．【变式】已知且.（1）求角的集合；（2）若，求角终边所在象限；（3）判断的符号.【答案】（1）；（2）终边在第二象限；（3）.【分析】（1）由三角函数值的符号可得角的集合；（2）由（1）由不等式的性质可得的范围，可得所在象限；（3）由的象限可得三角函数值的符号，可得乘积的符号．【详解】解：（1），所以位于第四象限，角的集合为；（2）由（1）可得；所以；终边在第二、四象限，又，所以终边在第二象限；（3）由（2）知终边在第二、四象限，当终边在第二象限时，，，所以当终边在第四象限时，，，所以综上可得，【点睛】本题考查三角函数值的符号及象限角，属于基础题．反思感悟判断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．（3）正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式（公式一）：由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点转一周，函数值将重复出现.其中.利用公式一，可以把球任意角的三角函数值，转化为求（或）角的三角函数值．例4确定下列三角函数的符号，然后用计算工具验证：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）因为是第三象限角，所以；（2）因为是第四象限角，所以；（3）因为，而是第一象限角，所以；（4）因为，而的终边在轴上，所以．请同学们自己完成用计算工具验证．【变式】若，则为（

）第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【答案】D【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可.【详解】因为，所以同号，在第一象限时，在第四象限时，所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号.故选：D.反思感悟利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)．(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．可以直接利用计算工具求三角函数的值．用计算工具求值可以直接利用计算工具求三角函数的值．用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制．（1）（精确到0.001）；（2）（3）．解：（1）（2）；（3）【变式】(多选题）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD反思感悟利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)．(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．1.（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）（

）A． B． C． D．1【答案】A【知识点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角函数值即可得答案.【详解】由特殊角的函数值，易知.故选：A2.（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】利用三角函数的定义进行求解【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：D.3.（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】由三角函数的定义计算即可.【详解】依题意，，且，解得，则，故选：D.4.（多选题）（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边过点，下列说法正确的是（

）A．角的值可能为 B．C．角的值可能为 D．【答案】BCD【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据角终边所在的点，可求其三角函数值，进而可得角.【详解】由题意，，，故，，当时，故A错误，BCD正确，故选：BCD5.（24-25高一上·福建南平·期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】特殊角的三角函数值、判断命题的必要不充分条件【分析】利用充要条件解出或，其中，再来判断必要不充分条件即可.【详解】由于，所以或，其中，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6.（25-26高一上·全国·课前预习）由三角函数的定义知，，．【答案】//【知识点】特殊角的三角函数值、利用定义求某角的三角函数值【分析】在角的终边上选择一个点，根据正余弦三角函数的定义可求三角函数值.【详解】

为第三象限角，在的终边上选择点，故．故答案为：.7.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则.【答案】/【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得.【详解】由题意，，则.故答案为：.8.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知角终边上一点，若，则的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据任意角的三角函数定义可求解.【详解】根据题意可得：，解得：.故选：D.9.（2025高二上·北京·学业考试）在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、找出终边相同的角、确定已知角所在象限【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解.【详解】由角终边经过点，可知，且为第四象限角，故选：B10.（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数【分析】根据任意角的三角函数定义求出即可求出，再根据角的终边在第二象限即可求出.【详解】由题意可得，得或，因角的终边在第二象限，则.故选：A1.（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可.【详解】由已知可得，因为角的终边过点，所以.故选：.2.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】特殊角的三角函数值、求分段函数解析式或求函数的值【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可；【详解】由分段函数的定义域可得，，所以.故选：C3.（2025·全国·模拟预测）在中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【知识点】特殊角的三角函数值、判断命题的充分不必要条件【分析】在中，根据与分别得出的值，再由充分必要条件的定义即可判断.【详解】在中，若，则，所以；而若，则或，所以.所以由“”可以推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.（24-25高一上·北京·期中）“是第一或第二象限角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【知识点】特殊角的三角函数值、既不充分也不必要条件【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若是第一或第二象限角，不妨取，则，即“是第一或第二象限角”“”；若，不妨取，则，但既不是第一象限角，也不是第二象限角，即“是第一或第二象限角”“”.因此，“是第一或第二象限角”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.1．知识清单：(1)三角函数的定义及求法．(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.(3)诱导公式一．2．方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论．3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。1.练习（第179页）第1.2.3题；2.练习（第182页）第1.2.3题【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。练习（第179页）1．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值．1．解析：；没有意义；；没有意义．00101000不存在0不存在2．利用三角函数定义，求的三个三角函