2026年中考数学常考考点专题之分式方程

第1页（共1页）2026年中考数学常考考点专题之分式方程一．选择题（共12小题）1．（2025•高要区一模）解方程3x-1=1-xA．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1） B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1） C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1） D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）2．（2025•前进区校级二模）若关于x的分式方程xx-3+3a3-x=2aA．1 B．12 C．1或12 D．﹣13．（2025•兴庆区校级二模）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150-xA．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量4．（2025•越秀区校级二模）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（）A．3600x=4800x+60 C．3600x-60=4800x5．（2025•韶关模拟）方程xx-1-3A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣3 D．x＝36．（2025•东坡区校级模拟）若关于x的分式方程mx-2+32-x=1A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣2 D．m＞1且m≠37．（2025•邻水县二模）实验室需要配制10%的盐水溶液，现有100克5%的盐水、50克盐（100%浓度）和100克水．若需将原溶液浓度提升至10%，需加入多少克盐列方程正确的是（）A．x+5100+x=10100 C．x100+x=101008．（2025•工农区校级模拟）若关于x的分式方程xx-2+m+12-x=2的解的取值范围为x≤3A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠19．（2025•香坊区三模）方程3x-1=6A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝﹣5 D．x＝310．（2025•江阳区校级模拟）若关于x的分式方程3x-1=ax-1-2的解为正数，且关于x的一元一次不等式组x-4≤0A．6 B．9 C．11 D．1411．（2025•兴庆区校级三模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构使得建筑物连接牢固，工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（）A．30x=25x-0.5 C．30x+0.5=25x12．（2025•临平区模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b=a+b1-ab．例如：1☆3=1+31-1×3=-2，则方程（﹣2）☆xA．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1二．填空题（共8小题）13．（2025•长沙一模）如果关于x的方程m3-x-1-xx-3=0无解，则m的值是14．（2025•成都校级三模）若关于x的分式方程x+1x-3=mx-3的解大于0，则m的取值范围为15．（2025•江北区校级二模）若整数a使关于x的不等式组a+x2≥x-2x3-(x-2)＞23的解集为x＜2，且使关于y的分式方程y-14-y16．（2025•崂山区校级三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一送题译为白话文是：把一份文件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为．17．（2025•重庆校级模拟）若关于x的一元一次不等式组2x-113＜3x+1，4x≤a+x+3至少有两个整数解，且关于y的分式方程a+2y-2+y-12-y18．（2025•武侯区校级模拟）分式方程2-xx-3+13-x=1的解是19．（2025•铜梁区校级一模）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？若原计划每天修x米，所列方程正确的是．20．（2025•苏州模拟）已知关于x的分式方程kx-1+2=x1-x的解是非负数，则k的取值范围是三．解答题（共5小题）21．（2025•海城市三模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为660km，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少3h（中间站停车时间忽略不计），请根据以上信息，求出列车A车的平均速度．22．（2025•紫金县校级一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额．23．（2025•济阳区一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆．（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？（2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？24．（2025•兴庆区校级四模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．（1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；（2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．25．（2025•兴庆区校级二模）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：解分式方程：2x-1解：2x-13(x+2)2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……第二步2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步………（1）第二步的解题依据是；A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则．（2）以上解方程步骤中，第步开始错误的，错误原因是；（3）请写出该分式方程的正确解答过程．

2026年中考数学常考考点专题之分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BCBAADACBCA题号12答案C一．选择题（共12小题）1．（2025•高要区一模）解方程3x-1=1-xA．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1） B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1） C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1） D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】分式方程左右两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．2．（2025•前进区校级二模）若关于x的分式方程xx-3+3a3-x=2aA．1 B．12 C．1或12 D．﹣1【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】将原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，整理得（2a﹣1）x＝3a，根据题意分类讨论并求得对应的a的值即可．【解答】解：原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，整理得（2a﹣1）x＝3a，当2a﹣1＝0，a=10x=3当a≠1若原方程无解，那么它有增根x＝3，则3（2a﹣1）＝3a，解得：a＝1，综上，a的值为1或12故选：C．【点评】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．3．（2025•兴庆区校级二模）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150-xA．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据晓华列的方程可知x表示的意义是蒸发掉的水量，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，未知数x表示的意义是蒸发掉的水量，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．4．（2025•越秀区校级二模）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（）A．3600x=4800x+60 C．3600x-60=4800x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】A【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+60）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+60）件，依题意得：3600x故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．（2025•韶关模拟）方程xx-1-3A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣3 D．x＝3【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：xx-1x（x+1）﹣3（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝2是原方程的根，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．6．（2025•东坡区校级模拟）若关于x的分式方程mx-2+32-x=1A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣2 D．m＞1且m≠3【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】先解分式方程为x＝m﹣1，再由方程的解是正实数，可得m﹣1＞0且m﹣1≠2，求出m的范围即可．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，解得x＝m﹣1，∵分式方程的解为正实数，∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，解得m＞1且m≠3．故选：D．【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．7．（2025•邻水县二模）实验室需要配制10%的盐水溶液，现有100克5%的盐水、50克盐（100%浓度）和100克水．若需将原溶液浓度提升至10%，需加入多少克盐列方程正确的是（）A．x+5100+x=10100 C．x100+x=10100【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】计算出原溶液中溶质的质量，根据浓度公式列方程即可，【解答】解：根据题意可得方程5+x100+x故选：A．【点评】本题考查了分式方程，熟知等量关系列方程是解题的关键．8．（2025•工农区校级模拟）若关于x的分式方程xx-2+m+12-x=2的解的取值范围为x≤3A．m≥3 B．m≤3 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件确定m的取值范围．【解答】解：原方程变形得：xx-2解得x＝3﹣m．由条件可知3﹣m≤3，∴m≥0．∵分母不能为0，即x﹣2≠0，把x＝3﹣m代入得3﹣m﹣2≠0，解得m≠1．∴m的取值范围是m≥0且m≠1，故选：C．【点评】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根是解决此题的关键．9．（2025•香坊区三模）方程3x-1=6A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝﹣5 D．x＝3【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．【解答】解：3x-1方程两边同时乘（x﹣1）（x+2），得3（x+2）＝6（x﹣1），去括号，得3x+6＝6x﹣6，解得：x＝4，检验：把x＝4代入（x﹣1）（x+2）≠0，∴分式方程的解为x＝4．故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．10．（2025•江阳区校级模拟）若关于x的分式方程3x-1=ax-1-2的解为正数，且关于x的一元一次不等式组x-4≤0A．6 B．9 C．11 D．14【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用．【答案】C【分析】根据解分式方程的方法，求出x=a-12，由题意可得x＞0且x≠1，由此可得a＞1且a≠3．再解一元一次不等式组可得：a+32≤x≤4，由一元一次不等式组有解，可得a+32≤4【解答】解：3x-1方程两边同时乘（x﹣1），得3＝a﹣2（x﹣1），去括号，得3＝a﹣2x+2，解得：x=a-1∵分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠1，∴a-12＞0解得：a＞1且a≠3．解一元一次不等式组x-4≤0①2x-3≥a②由①，得x≤4，由②，得x≥a+3∴不等式组的解集为a+32∵一元一次不等式组有解，∴a+32解得：a≤5，∴1＜a≤5且a≠3，∴a是整数解为2，4，5，∴满足条件的整数a的值之和为：2+4+5＝11．故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法，解一元一次不等式的方法是解题的关键．11．（2025•兴庆区校级三模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构使得建筑物连接牢固，工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（）A．30x=25x-0.5 C．30x+0.5=25x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】A【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，根据用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，列出分式方程即可．【解答】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，由题意得：30x故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12．（2025•临平区模拟）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b=a+b1-ab．例如：1☆3=1+31-1×3=-2，则方程（﹣2）☆xA．x＝1 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据定义的新运算列得分式方程，解方程并检验即可．【解答】解：由题意可得-2+x1+2x=去分母得：﹣2+x＝1+2x，解得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是分式方程的解，故选：C．【点评】本题考查解分式方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．二．填空题（共8小题）13．（2025•长沙一模）如果关于x的方程m3-x-1-xx-3=0无解，则m的值是【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】2．【分析】解分式方程，根据其无解，得出x＝3，即可得到答案．【解答】解：方程去分母得：m+（1﹣x）＝0，∴m＝x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x﹣3＝0，∴x＝3，∴m＝x﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．14．（2025•成都校级三模）若关于x的分式方程x+1x-3=mx-3的解大于0，则m的取值范围为m＞1且m≠【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】m＞1且m≠4．【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，再用m表示出该方程的解集，结合该分式方程的解大于0，即得出关于m的不等式，即可解出m的取值范围．最后结合分式有意义的条件即可进一步确定m的取值范围．【解答】解：x+1x-3去分母，得：x+1＝m，解得：x＝m﹣1．∵该分式方程的解大于0，∴m﹣1＞0，∴m＞1．又∵x﹣3≠0，∴x≠3，即m﹣1≠3，∴m≠4．综上可知，m＞1且m≠4．故答案为：m＞1且m≠4．【点评】本题考查根据分式方程的解的情况求值．把分式方程化为整式方程和掌握分式有意义的条件是解题关键．15．（2025•江北区校级二模）若整数a使关于x的不等式组a+x2≥x-2x3-(x-2)＞23的解集为x＜2，且使关于y的分式方程y-1【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】12．【分析】先解一元一次不等式组，可得x≤a+4x＜2，再根据不等式组的解集为x＜2，可得a+4≥2，由此解得：a≥﹣2．解分式方程y-14-y+a+5y-4=-4，可得y=10-a3，且【解答】解：a+x2解不等式①，得x≤a+4，解不等式②，得x＜2，∵不等式组的解集为x＜2，∴a+4≥2，解得：a≥﹣2．解分式方程y-14-y+a+5y-4∵y≠4，即10-a3解得：a≠﹣2．∵分式方程有正整数解，即10﹣a是3的正整数倍，设10﹣a＝3k（k为正整数），则a＝10﹣3k，∵a≥﹣2，∴10﹣3k≥﹣2，解得：k≤4，即k＝1，2，3，4．当k＝4时，a＝﹣2不符合题意，舍去．∴当k＝1时，a＝7，k＝2时，a＝4，k＝3时，a＝1，∴满足条件的a的值之和为：7+4+1＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，掌握解分式方程的方法，分式方程解的定义，解一元一次不等式组的方法，一元一次不等式组解的定义是解题的关键．16．（2025•崂山区校级三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一送题译为白话文是：把一份文件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为1000x+1×2=1000【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】1000x+1【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵规定时间为x天，∴慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，又∵快马的速度是慢马的2倍，∴可列出方程1000x+1故答案为：1000x+1【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17．（2025•重庆校级模拟）若关于x的一元一次不等式组2x-113＜3x+1，4x≤a+x+3至少有两个整数解，且关于y的分式方程a+2y-2+y-1【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】5．【分析】根据关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定a的取值范围a≥﹣3，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=5-a3，由分式方程的解为正数，确定a的取值范围a＜5且a≠﹣1，进而得到﹣3≤a＜5且a≠﹣1，根据范围确定出【解答】解：2x-113解①得：x＞﹣2，解②得：x≤a+3∵不等式组至少有两个整数解，∴a+33解得：a≥﹣3，a+2y-2a+2y-2a+2﹣y+1＝﹣4y+8，3y＝5﹣a，y=5-a∵关于y的分式方程的解为正数，∴5-a3＞0解得：a＜5且a≠﹣1，∴﹣3≤a＜5且a≠﹣1，则所有满足条件的整数a的值之和是﹣3+（﹣2）+0+1+2+3+4＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，18．（2025•武侯区校级模拟）分式方程2-xx-3+13-x=1的解是x【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，移项合并得：2x＝4，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案为：x＝2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19．（2025•铜梁区校级一模）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？若原计划每天修x米，所列方程正确的是120x-120【考点】由实际问题抽象出分式方程．【答案】见试题解答内容【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间﹣实际所用的时间＝4．【解答】解：原来所用的时间为：120x，实际所用的时间为：120x+5．所列方程为：【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．20．（2025•苏州模拟）已知关于x的分式方程kx-1+2=x1-x的解是非负数，则k的取值范围是k≤2且k≠﹣【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】k≤2且k≠﹣1．【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可．【解答】解：关于x的分式方程kx-1k+2（x﹣1）＝﹣x，解得x=2-k由于分式方程的解为非负数，即2-k3所以k≤2，当x＝1时，k＝﹣1，因此k的取值范围为k≤2且k≠﹣1，故答案为：k≤2且k≠﹣1．【点评】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•海城市三模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为660km，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少3h（中间站停车时间忽略不计），请根据以上信息，求出列车A车的平均速度．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A车的平均数速度为220km/h．【分析】设B车的平均速度为xkm/h，则A车的平均数速度为2xkm/h，然后依据A车行驶时间比B车少3h列方程求解即可．【解答】解：设B车的平均速度为xkm/h，则A车的平均数速度为2xkm/h，根据题意列分式方程得，6602x整理得，6x＝660，解得x＝110，经检验，x＝110是原方程的解，∴2x＝2×110＝220，即A车的平均数速度为220km/h，答：A车的平均数速度为220km/h．【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的相等关系是解题的关键．22．（2025•紫金县校级一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．列出分式方程，解方程即可；（2）先根据题意求出w与m的函数关系式，再根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得出结论．【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：540x解得：x＝90；经检验：x＝90是原方程的解，且符合题意，答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨；（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人为（30﹣m）台，∴w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60，由题意得：90m+100(30-m)≥28301.2m+2(30-m)≤48解得：15≤m≤17，∵﹣0.8＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝17时，w有最小值＝﹣0.8×17+60＝46.4，即w与m的函数关系式为w＝﹣0.8m+60（15≤m≤17），最少购买金额为46.4万元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组好一次函数关系式．23．（2025•济阳区一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆．（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？（2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）每辆甲型汽车的进价为12万元，每辆乙型汽车的进价为10万元；（2）购进乙型汽车40辆，可使投资总额最少，最少投资总额是1120万元．【分析】（1）设乙型汽车的进价为每辆x万元，则甲型汽车的进价为每辆1.2x万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程，解方程即可；（2）设购进甲型汽车m辆，则购进乙型汽车（100﹣m）辆，根据购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列出一元一次不等式，解得m≥60，再设投资总额为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设每辆乙型汽车的进价为x万元，则每辆甲型汽车的进价为1.2x万元，依题意得：24001.2x-解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝12，答：每辆甲型汽车的进价为12万元，每辆乙型汽车的进价为10万元；（2）设购进甲型汽车m辆，则购进乙型汽车（100﹣m）辆，依题意得：m≥1.5（100﹣m），解得：m≥60，设投资总额为w元，依题意得：w＝12m+10（100﹣m）＝2m+1000，∵2＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝60时，w有最小值＝2×60+1000＝1120，此时，100﹣m＝40，答：购进乙型汽车40辆，可使投资总额最少，最少投资总额是1120万元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．24．（2025•兴庆区校级四模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．（1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；（2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时；（2）无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务．【分析】（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时，根据采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，但所用时间要比无人机配送多6分钟，列出分式方程，解方程即可；（2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务，根据10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时，由题意得：301.5x解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×40＝60，答：无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时；（2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务，由题意得：40×1060+解得：y≥70，答：无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．25．（2025•兴庆区校级二模）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：解分式方程：2x-1解：2x-13(x+2)2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……第二步2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步………（1）第二步的解题依据是B；A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则．（2）以上解方程步骤中，第三步开始错误的，错误原因是括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号；（3）请写出该分式方程的正确解答过程．【考点】解分式方程；单项式乘多项式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）B；（2）三；括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号；（3）x=-14【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：（1）第二步的解题依据是等式的性质，故答案为：B；（2）以上解方程步骤中，第三步开始错误的，错误原因是括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：三；括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号；（3）该分式方程的正确解答过程如下：2x-13x+62x-13(x+2)=2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2），解得：x=-14检验：当x=-145时，3（x+2）∴x=-14【点评】本题考查了解分式方程，单项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．3．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整