《直线与圆的位置关系》专题练习一

《直线与圆的位置关系》专题练习（1）

一.选择题（共15小题）

1.（2016•湘西州）在RT4ABC中，ZC=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心，以为

半径画圆，则（DC与直线AB的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

2.（2016•无锡）如图，AB是。O的直径,AC切。O于A,BC交€)0于点D,若NC=70。,

则/AOD的度数为()

A.70°B.35°C.20°D.40°

3.（2016・河池）如图，在平面直角坐标系中，OP与x轴相切，与y轴相交于A<0,2）,

B（0,8）,则圆心P的坐标是（）

A.（5,3）B.（5,4）C.（3,5）D.（4,5）

4.（2016•台湾）如图，菱形ABCD的边长为10,圆O分别与AB、AD相切于E、F两点,

且与BG相切于G点.若AO=5,且圆O的半径为3,则BG的长度为何？（）

5.（2016•鄂州）如图所示，AB是。O的直径，AM、BN是。O的两条切线，D、C分别在

AM、BN±,DC切。O于点E,连接OD、OC、BE、AE,BE与OC相交于点P,AE与

OD相交于点Q,已知AD=4,BC=9,以下结论：

1318_2

①。O的半径为2；②OD〃BE；③PB=13仃；（4）tanZCEP=3.

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2016•台州）如图，在AABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，

作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ,则PQ长的最大值与

最小值的和是（）

32

A.6B.2^13+1C.9D.2

B

c

7.（2016•荆州）如图，过。O外一点P引。O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,OP

交。O于点C,点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD,若N

APB=80°,则NADC的度数是（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

8.（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，（DM与x轴相切于点A（8,0）,与y轴分

别交于点B（0,4）和点C（0,16）,则圆心M到坐标原点O的距离是（）

A.10B.8&C.4^/13D.2^41

9.（2016•襄阳）如图，I是AABC的内心，AI的延长线和aABC的外接圆相交于点D,连

接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是（）

A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合

B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合

C.ZCAD绕点A顺时针旋转一定能与ZDAB重合

D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合

10.（2015•南京）如图，在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与00相切

于E,F,G三点，过点D作。O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为（）

D.2V5

11.（2015•吉林）如图，在00中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若NBCD=50。,

则NAOC的度数为（）

A.40°B.50°C.80°D.I(X)°

C

12.（2015•衢州）如图，已知AABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D

的。O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则OO的半径是（）

2525

A.3B.4C.6D.8

13.（2015•河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆〃.如图,

直线1：y=kx+4%与x轴、y轴分别交于A、B,NOAB=30。，点P在x轴上，（DP与1相

切，当P在线段OA上运动时，使得OP成为整圆的点P个数是（）

A.6B.8C.10D.12

14.（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线1经过点A（-3,0）,点B（0,正）,

点P的坐标为（1,0）,GP与y轴相切于点O.若将0P沿x轴向左平移，平移后得到（DP

（点P的对应点为点PO,当。P与直线1相交时，横坐标为整数的点P共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，00是aABC的内切圆，现将矩形

ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG.点F,G分别在边AD,

BC上，连结OG,DG.若OGJ_DG,且。O的半径长为1,则下列结论不成立的是（）

A.CD+DF=4B.CD-DF=2^-3C.BC+AB=2遭+4D.BC-AB=2

二.填空题（共10小题）

23.（2014•宜宾）如图，已知AB为。。的直径，AB=2,AD和BE是圆O的两条切线，A.

B为切点，过圆上一点C作。O的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,连接AC、CB,

若NABC=30°,贝ijAM=.

24.（2014•辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与

返

直线y=3X相切,设半圆C1、半圆C2、半圆C3...、半圆Cn的半径分别为口、⑵邙…、rn,

当门=1时，rn=（n>l的自然数）

25.（2015春•锡山区期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2,0）、（0,1）,0C

的圆心坐标为（0,-1）,半径为1.若D是。C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E,

则aABE面积的最大值是

三.解答题（共5小题）

26.（2016•三明）如图，在AABC中，NC=90。，点O在AC上，以OA为半径的。。交

AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.

（1）判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6,BC=8,OA=2,求线段DE的长.

27.（2016•漳州）如图，AB为。O的直径，点E在。0上，C为BE的中点，过点C作直

线CDJ_AE于D,连接AC、BC.

（1）试判断直线CD与60的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2,AC=V6,求AB的长.

28.（2016•绵阳）如图，AB为。O直径，C为。O上一点，点D是BC的中点，DE_LAC于

E,DF_LAB于F.

（1）判断DE与。。的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OF=4,求AC的长度.

29.（2016•怀化）如图,在RlZXABC中，ZBAC=90°

（1）先作NACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心，PA长为半径作。P；（要求:

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）请你判断（1）中BC与（DP的位置关系，并证明你的结论.

30.（2016•泰州）如图，2XABC中，ZACB=90°,D为AB上一点，以CD为直径的60交

BC于点E,连接AE交CD于点P,交。。于点F,连接DF,ZCAE=ZADF.

（1）判断AB与。O的位置关系，并说明理由；

（2）若PF：PC=1：2,AF=5,求CP的长.

参考答案与解析

一.选择题（共15小题）

1.（2016•湘西州）在RTAABC中，ZC=90%BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以为

半径画圆，则OC与直线AB的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【分析】过C作CDJ_AB于D,根据勾股定理求出AB.根据三角形的面积公式求出CD,

得出dVr,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.

【解答】解：过C作CD_LAB于D,如图所示：

•・,在R£ABC中，ZC=90,AC=4,BC=3,

22

AAB=VAC+BC=5,

VAABC的面积=2ACXBC=2ABXCD,

.\3X4=5CD,

.*.<2.5,

即d<r»

J0C与直线AB的关系是相交；

故选A.

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式;

解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有:

相离，相切，相交.

2.（2016•无锡）如图，AB是。0的直径，AC切。O于A,BC交。O于点D,若NC=70。,

则NAOD的度数为（）

【分析】先依据切线的性质求得NCAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得

到NCBA的度数，然后由圆周角定理可求得NAOD的度数.

【解答】解：：AC是圆0的切线，AB是圆。的直径，

/.AB1AC.

・•・ZCAB=90°.

又•••NC=70°,

/.ZCBA=20°.

・•・ZDOA=40°.

故选：D.

【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得NCBA=20。

是解题的关键.

3.(2016•河池)如图，在平面直角坐标系中，OP与x轴相切，与y轴相交于A(0.2),

B(0,8),则圆心P的坐标是()

A.(5,3)B.(5,4)C.(3,5)D.(4,5)

【分析】过P作PCJ_AB于点C,过P作PD_Lx轴于点D,由切线的性质可求得PD的长,

则可得PB的长，由垂径定理可求得CB的长，在RtaPBC中，由勾股定理可求得PC的长,

从而可求得P点坐标.

如图，过P作PC_LAB于点C,过P作PD1.X轴于点D,连接PB,

OP为圆心,

.\AC=BC,

VA(0,2),B(0,8),

AB=8-2=6,

AAC=BC=3,

AOC=8-3=5,

,••0P与x轴相切，

.\PD=PB=OC=5,

在RtAPBC中，由勾股定理可得PC=VPB2-BC2=752~32=4,

，P点坐标为(4,5),

故选D.

【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键.

4.（2016•台湾）如图，菱形ABCD的边长为10,圆O分别与AB、AD相切于E、F两点,

且与BG相切于G点.若AO=5,且圆O的半径为3,则BG的长度为何？（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】连接OE,由。O与AB相切于E,得到NAEO=90。，根据勾股定理得到

AE=VAO2-OE、4,根据切线长定理即可得到结论.

【解答】解：连接OE,

•・・。0与AB相切于E,

,ZAEO=90°,

VAO=5,OE=3,

22

.•.AE=VAO-OE=4,

VAB=10,

，BE=6,

TBG与。O相切于G,

.*.BG=BE=6,

故选C.

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

5.（2016•鄂州）如图所示，AB是的直径，AM、BN是的两条切线，D、C分别在

AM、BN±,DC切。。于点E,连接OD、OC、BE、AE,BE与OC相交于点P,AE与

OD相交于点Q,已知AD=4,BC=9,以下结论：

13182

①。的半径为2；②〃；(4)tanZCEP=3.

OODBE③PB=13V13：

其中正确结论有（)

ADM

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】作DK_LBC于K,连接OE,①错误，在□△CDK中，利用勾股定理求得DK=12,

BOOB

故错误.②正确.可以证明AQ=QE,AO=OB,由此得出结论.③正确.根据PB=0C

BP

计算即可.④错误；根据lan/CEP=tan/CBP=正计算即可.

【解答】解：作DK_LBC于K,连接0E.

VAD.BC是切线，

，ZDAB=ZABK=ZDKB=90°,

・•・四边形ABKD是矩形，

・・・DK=AB,AD=DK=4,

••.CD是切线，

.\DA=DE,CE=CB=9,

在Rt^DKC中,VDC=DE+CE=13,CK=BC-BK=5,

.・.DK=VDC2-CK2=12,

AAB=DK=12,

・・・。0半径为6.故①错误，

•二DA二DE,OA=OE,

「•OD垂直平分AE,问理OC垂直平分BE,

・・・AQ;QE,VAO=OB,

・・・OD〃BE,故②正确.

OB・BC6X9

在RiZXOBC中，PB=OC=3A/13=13,故③正确，

VCE=CB,

AZCEB=ZCBE,

27V13

13

PC18g3_

/.tanZCEP=tanZCBP=BP=13=2,故④错误，

・•・②③正确，

故选B.

DM

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角形中位线性质、

直角三角形斜边上的高的求法等知识，解题的美键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，

熟练掌握切线长定理，属于中考常考题型.

6.（2016•台州）如图,在ZiABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,

作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ,则PQ长的最大值与

最小值的和是（）

A.6B.2^13+1C.9D.2

【分析】如图，设。O与AC相切于点E,连接OE,作OPi_LBC垂足为Pi交于Qi,

此时垂线段OPi最短，PIQI最小值为OPI-OQI,求出OPi,如图当Q2在AB边上时，P2

与B重合时，

P2Q2最大值=5+3=8,由此不难解决问题.

【解答】解：如图，设。O与AC相切于点E,连接OE,作OPi_LBC垂足为Pi交。0于

Qi，

此时垂线段OPi最短，PiQi最小值为OPi-OQ1,

VAB=I0,AC=8,BC=6,

AAB2=AC2+BC2,

:.ZC=90°,

VZOPiB=9（r,

/.OPI/7AC

VAO=OB,

.\PIC=PIB,

/.OPi=2ACM,

JPiQi最小值为OPi・OQi=l,

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，

P2Q2最大值=5+3=8,

APQ长的最大值与最小值的和是9.

故选C.

E

4

【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取

得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型.

7.（2016•荆州）如图，过。O外一点P引。O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,OP

交。0于点C,点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD,若N

)

【分析】根据四边形的内侑和，可得NBOA,根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定

理，可得答案.

【解答】解；

由四边形的内角和定理，得

ZBOA=360°-90°-90°-80°=100°,

由AC=BC,得

ZAOC=ZBOC=50°.

由圆周角定理，得

ZADC=2ZAOC=25°,

故选：C.

【点评】本题考查了切线为性质，切线的性质得出AC=BC是解题关键，又利用了圆周角定

理.

8.(2016•潍坊)如图，在平面直角坐标系中，0M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分

别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是()

A.10B.8亚C.4^13D.2^41

【分析］如图连接BM、OM,AM,作MHJ_BC于H,先证明四边形OAMH是矩形，根据

垂径定理求出HB,在RTAAOM中求出OM即可.

【解答】解：如图连接BM、OM,AM,作MH_LBC于H.

・・・OM与x轴相切于点A(8,0),

AAMXOA,OA=8,

/.ZOAM=ZMH0=ZHOA=90tt,

・•・四边形OAMH是矩形，

/.AM=OH,

VMH±BC,

AHC=HB=6,

Z.OH=AM=10,

在RTAAOM中,OM=VAM2+0A2=782+102=2^41.

故选D.

【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键

是正确添加辅助线，构造直角三角形.

9.(2016•湖北襄阳)如图，I是4ABC的内心,AI的延长线和AABC的外接圆相交于点D,

连接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是()

B

D

A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合

B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合

C.NCAD绕点A顺时针旋转一定能与NDAB重合

D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合

【分析】根据I是AABC的内心，得至IJAI平分NBAC,BI平分/ABC,由角平分线的定

义得至IJNBAD二NCAD,/ABgNCBI根据三角形外角的性质得到NBDI=NDIB,根据等腰

三角形的性质得到BD=DI.

［解答］W-：VI是△ABC的内心，

，AI平分NBAC,BI平分NABC,

AZBAD=ZCAD,故C正确，不符合题意；

ZABI=ZCBLBD=CD,

ABD=CD,故A正确，不符合题意；

VZDAC=ZDBC,

/.ZBAD=ZDBC,

ZIBD=ZIBC+ZDBC,ZBID=ZABI+ZBAD,

/.ZBDI=ZDIB,

ABD=DI,故B正确，不符合题意；

故选D.

D

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的

圆周角相等.

10.（2015•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与。0相切

于E,F,G三点，过点D作。O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为（）

D.2V5

【分析】连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中，得到NA=NB=90。，CD=AB=4,由

于AD,AB,BC分别与00相切于E,F,G三点得到NAEO=NAFO=NOFB=NBGO=90。,

推出四边形AFOE,FBGO是正方形，得至ljAF=BF=AE=BG=2,由勾股定理列方程即可求出

结果.

【解答】解：连接OE,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中，

VZA=ZB=90°,CD=AB=4,

VAD,AB,BC分别与＜30相切于E,F,G三点，

•・.ZAEO=ZAFO=ZOFB=ZBGO=90°,

，四边形AFOE,FBGO是正方形，

.,.AF=BF=AE=BG=2,

ADE=3,

〈DM是。O的切线，

ADN=DE=3,MN=MG,

，CM=5-2-MN=3-MN,

在RtaDMC中，DM2=CD2+CM2,

・•・(3+NM)2=(3-NM)2+42,

ANM=3,

412

ADM=33=3,

故选A.

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关

键.

11.（2015•吉林）如图,在00中,AB为直径,BC为弦，CD为切线，连接OC.若NBCD=50。,

则NA0C的度数为（）

【分析】根据切线的性质得出/OCD=90。，进而得出NOCB=40。，再利用圆心角等于圆周角

的2倍解答即可.

【解答】解：•・•在。O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，

JZOCD=90°,

•・•NBCD=5（）。，

r.ZOCB=40°,

:.ZAOC=80°,

故选c.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所

对的弦是直径.

12.（2015•衢州）如图，已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D

的。O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则。。的半径是（）

【分析】首先连接OD、BD,判断出OD〃BC,再根据DE是。O的切线，推得DE_LOD,

所以DE±BC；然后根据DEXBC,CD=5,CE=4,求出DE的长度是多少；最后判断出BD、

AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC,求出AB的值是多少，

即可求出。。的半径是多少.

【解答】解：如图1,连接OD、BD,图1

〈AB是。O的直径，

AZADB=90°,

ABD1AC,

XVAB=BC,

，AD=CD,

XVAO=OB,

・・・OD是4ABC的中位线,

，OD〃BC,

：DE是。O的切线，

ADE±OD,

ADE1BC,

VCD=5,CEM,

ADE=7B2-42=3,

VSABCD=BD*CD4-2=BC*DE4-2,

，5BD=3BC,

3

BD=vBC

・.5,

,/BD2+CD2=BC2,

.(yBC)+52=BC2

25

解得BC=T,

VAB=BC,

25

AAB=4,

AOO的半径是；

故选：D.

【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切

线垂史于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂

直于切线的直线必经过圆心.

13.（2015•河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆如图,

直线1：y=kx+4%与x轴、y轴分别交于A、B,NOAB=30。，点P在x轴上，G）P与1相

切，当P在线段OA上运动时，使得。P成为整圆的点P个数是（）

【分析】根据直线的解析式求得OB=4«,进而求得OA=12,根据切线的性质求得PM_L

AB,根据NOAB=30。，求得PM="^PA,然后根据“整圆”的定义，即可求得使得。P成为整

圆的点P的坐标，从而求得点P个数.

【解答】解：•・•直线1：y=kx+4立与x轴、y轴分别交于A、B,

AB(0,4近),

，OB=45，

在RTAAOB中，ZOAB=30°,

.\OA=V3OB=V3X4后12,

;（DP与1相切，设切点为M,连接PM,则PM_LAB,

1

・,.PM=2PA,

设P（X,0）,

APA=12-x,

11

的半径PM=2PA=6-2x,

•・・x为整数，PM为整数，

・・・x可以取0,2,4,6,8,10,6个数,

・•・使得。P成为整圆的点P个数是6.

故选：A.

//t

【点评】本题考查「切线的性质，含30。角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解

题的关键.

14.（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线1经过点A（-3,0）,点B（0,正），

点P的坐标为（I,0）,（DP与y轴相切于点O.若将。P沿x轴向左平移，平移后得到（DP

（点P的对应点为点P）,当。P与直线1相交时，横坐标为整数的点P共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】在解答本题时要先求出。P的半径，继而求得相切时P'点的坐标，根据A（-3,0）,

可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值.

【解答】解：如图所示，•・•点P的坐标为（1,0）,0P与y轴相切于点O,

的半径是1,

若。P与AB相切时，设切点为D,由点A（-3,0）,点B（0,避），

，OA=3,OB=V3,由勾股定理得：AB=2«,NDAM=30°,

设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P）,

AMD±AB,MD=1,又因为NDAM=30。,

AAM=2,M点的坐标为（-1,0）,即对应的P点的坐标为（-1,0）,

同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（・5,0）,

所以当。P与直线I相交时，横坐标为整数的点P的横坐标可以是-2,-3,-4共三个.

故选：C.

【点评】木题考查了圆的切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于找到圆与直线相切时

对应的圆心的坐标，然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解.

15.（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，00是aABC的内切圆，现将矩形

ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG.点F,G分别在边AD,

BC上，连结OG,DG.若OG_LDG,且。O的半径长为1,则下列结论不成立的是（）

A.CD+DF=4B.CD-DF=2V3-3C.BC+AB=2心4D.BC-AB=2

【分析】设。O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,证明△OMGgA

GCD,得至IJOM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.设AB=a,BC=b,AC=c,90

的半径为r,。。是RtZ\ABC的内切圆可得r=2（a+b-c）,所以c=a+b-2.在RtZ\ABC

中，利用勾股定理求得'二1+«'&2=1一加（舍去），从而求出a,b的值，所以

BC+AB=2心4.再设DF二x,在RdONF中，FN=3+爽一1-x,OF=x,ON=1+V5-lzV3,

由勾股定理可得（2+a一*）2+（仃）2=乂2,解得乂=4-立，从而得到CD-

DF=E+1-（4-点）二2强-3,CD+DF=V5+1+4一我=5.即可解答.

【解答】解：如图，

设。O与BC的切点为M.连接MO并延长MO交AD于点N,

•・•将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点0重合，折痕为FG,

•••OG=DG,

V0G1DG,

・•・ZMGO+ZDGC=9()°,

VZMOG+ZMGO=90°,

AZMOG=ZDGC,

在△OMG和AGCD中，

Z0MG=ZDCG=90O

<ZM0G=ZDGC

OG=DG

.,.△OMG^AGCD,

/.OM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

TABCD,

ABC-AB=2.

设AB=a,BC=b,AC=c,。。的半径为r,

工

00是RtZXABC的内切圆可得r=2(a+b-c),

/.c=aib2.

在R【Z\ABC中，由勾股定理可得a?+b2=(a+b-2)2,

整理得2ab-4a-4b+4=0,

又YBC-AB=2即b=2+a,代入可得2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0,

解得a1=1+技@2=1-加(舍去)，

Aa=l+V3»b=3+V3,

・・・BC+AB=2心4.

再设DF=x,在Rt^XONF中，FN=3+«-1-X,OF=X,ON=1+V3-1=V3,

由勾股定理可得吃+痛-X)2+(V3)2=X2,

解得x=4-%，

ACD・DF=«+1-(4一病)二2畲-3,CD+DF=V5+l+4-愿=5.

综上只有选项A错误，

故选A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点

的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质.

二.填空题(共10小题)

16.(2016•包头)如图，已知AB是。O的直径，点C在。O上，过点C的切线与AB的

延长线交于点P,连接AC,若NA=30。，PC=3,则BP的长为.

c

【分析】在RTVXPOC中,根据NP=30。,PC=3,求出OC、OP即可解决问题.

【解答】解：VOA=OC,NA=30°,

/.ZOCA=ZA=30°,

/.ZCOB=ZA+ZACO=6D°,

•「PC是。o切线，

/.ZPCO=90°,ZP=30%

VPC=3,

.*.OC=PC«tan30°=V3,PO=2OC=2V3,

/.PB=PO-OB=V3,

故答案为VW

【点评】本题考查切线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，锐角

三角函数等知识，解题的关键是利用切线的性质，在RTAPOC解三角形是突破口，属于中

考常考题型.

17.（2016•泰安）如图，半径为3的。O与RtZXAOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,

连接CD交直线OA于点E,若/B=30。，则线段AE的长为.

【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据NB=3。。和

OB的长求得，OE可以根据NOCE和OC的长求得.

【解答】解：连接OD,如右图所示，

由已知可得，ZBOA=90°,OD=OC=3,ZB=30°,NODB=90。，

.\BO=2OD=6,ZBOD=60°,

：.ZODC=ZOCD=60%AO=BO.tan30^=6乂限2T

VZCOE=90%OC=3,

・•.OE=OC・tan600=3X氏二W2

AAE=OE-OA=^^3~2V3^V3,

【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

18.（2016•无锡）如图,AAOB中,ZO=90\AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发，在

边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以/s的速

度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了时，以C点为圆

心，为半径的圆与直线EF相切.

【分析】当以点C为圆心，为半径的圆与直线EF相切时，即CF=,又因为NEFC=NO=90。,

所以△EFCsaDCO,利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程

即可求出t的值，要注意i的取值范围为0WtW4.

【解答】解：当以点C为圆心，为半径的圆与直线EF相切时，

此时，CF=1.5,

_3

VAC=2t,BD=2t,

3.

AOC=8-2t,OD=6-2t.

•・•点E是OC的中点,

1

/.CE=20C=4-t,

VZEFC=ZO=90°,ZFCE=ZDCO

•••△EFCS/XDCO

EFCF

/.OD=OC

3（64）

30D2_9

/.EF=2OC=2（8-2t）

由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2,

22

・•.（4-t）2=（f）+（f）,

1747

解得：t=8或t=8,

17

/.t=8.

17

故答案为：8

【点评】本题考查圆的切线性质，主:要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性

质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力.

19.（2016♦日照）如图，直线y=-4与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0,

-1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小

【分析】过点C作CP_L直线AB与点P,过点P作。C的切线PQ,切点为Q,此时PQ最

小，连接CQ,由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度.

【解答】解：过点C作CP_L直线AB与点P,过点P作。C的切线PQ,切点为Q,此时

PQ最小，连接CQ,如图所示.

—x+3

直线AB的解析式为y=-4,即3x+4y-12=0,

匚4一艺116

ACP=V32+42=5.

〈PQ为。C的切线，

・••在Rt^CQP中，CQ=1,ZCQP=90°,

/2「2但

22

APQ=VCP-CQ=5.

【点评】本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q

点的位置.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ

取最小值时点P、Q的位置是关键.

20.(2016•攀枝花)如图,ZkABC中，NC=90。,AC=3,AB=5,D为BC边的中点，以

AD上一点O为圆心的00和AB、BC均相切，则。O的半径为

【分析】过点。作OE_LAB于点E,OF_LBC于点F.根据切线的性质，知OE、OF是。O

的半径；然后由三角形的面积间的关系(S/\ABO+SABQD=S,\ABD=S,AACD)列出关于圆的半径

的等式，求得圆的半径即可.

【解答】解：过点0作OEJ_AB于点E,OF_LBC于点F.

VABsBC是。O的切线，

•••点E、F是切点，

・・・OE、OF是。O的半径；

.,.OE=OF：

在aABC中，NC=90°,AC=3,AB=5,

，由勾股定理，得BC=4；

又YD是BC边的中点，

，SAABD=SAACD,

又S^ABD=SAABO+SABOD,

Xk1

：.2AB・OE+2BD・OF=2CD・AC,即5XOE+2XOE=2X3,

_6

解得OE=7,

_6

・・・0O的半径是了.

_6

故答案为:T.

E

【点评】本题考杳了切线的性质与三角形的面积.运用切线的性质来进行计算或论证，常通

过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

21.（2016•哈尔滨）如图，AB为。0的直径，直线1与。O相切于点C,AD11,垂足为D,

AD交。O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为.

【分析】OC交BE于E如图，有圆周角定理得到NAEB=90。，加上AD_LI,则可判断BE

//CD,再利用切线的性质得OC_LCD,则OCJ_BE,原式可判断四边形CDEF为矩形，所

以CD=EF,接着利用勾股定理计算出BE,然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD

的长.

【解答】解：OC交BE于F,如图，

VAB为。O的直径,

.\ZAEB=90°,

VAD±1,

ABE//CD,

VCD为切线，

AOC1CD,

.\OC±BE,

・•・四边形CDEF为矩形，

ACD=EF,

在RtAABE中，BE=VAB2-AE2=7102-62=8,

VOF1BE,

/.BF=EF=4,

/.CD=4.

故答案为4.

【点评】本题考杳了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.解决本题的关键是证明

四边形CDEF为矩形.

22.（2016•淄博）如图，00的半径为2,圆心O到直线1的距离为4,有一内角为60。的

菱形，当菱形的一边在直线1上，另有两边所在的直线恰好与。O相切，此时菱形的边长

为.

【分析】考虑菱形与另有两边所在的直线相切，分二种情况进行讨论，添加相应辅助线计算

即可.

【解答】解：第一种情况：

过点O作直线1的垂线，交AD于E,交BC于F,作AG直线1于G,

由题意得，EF=2+4=6,

•・•四边形AGFE为矩形，

AAG=EF=6,

6

AG7T

在RtZXABG中，AB=sinZB=2=4^3.

第二种情况：

过O点作OEL于E点，过D点作DFJJ于F点，则

2^3W3

OE=4,DF=2,DC=3DF=3

第三种情况：

过O点作EF垂直于BA延长线于E点，交CD于F点，过A点作AG_LCD于G

273873

则AG=EF=4,AD=3AG=3

4^3巫

故答案为：4遂或3或3.

【点评】本题考查的是切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角

三角形的知识是解题的关源.

23.(2014•宜宾)如图，已知AB为。。的直径，AB=2,AD和BE是圆O的两条切线，A、

B为切点，过圆上一点C作。O的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,连接AC、CB,

若NABC=3()。，则AM=.

【分析】连接OM,OC,由OB=OC,且NABC的度数求出NBCO的度数，利用外角性质

求出NAOC度数,利用切线长定理得到MA=MC,利用HL得到三角形AOM与三角形COM

全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出NAOM为30。，在直角三角

形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长.

【解答】解：连接OM,OC,

VOB=OC,且NABC=30\

/.ZBCO=ZABC=30°,

VZAOC为△BOC的外角，

/.ZAOC=2ZABC=60°,

VMA,MC分别为圆O的切线,

，MA=MC,且/MAO=NMCO=90°,

在RtAAOM和RtACOM中，

MA=MC

<OM=OI,

ARtAAOM^RtACOM(HL),

1

・•・ZAOM=ZCOM=2ZAOC=30°,

1

在Rt^AOM中，OA=2AB=1,NAOM=30°,

AMMAM

/.(an30°=OA,即3=1,

返

解得：AM=3.

返

【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质,

熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

24.（2014•辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与

返

直线y=3X相切，设半圆Cl、半圆C2、半圆C3...X半圆Cn的半径分别为门、「2、门…、rn»

当口=1时，rn=（n>l的自然数）

V3

【分析】过Cl、C2、C3、…、Cn作直线y=3X的垂线，垂足分别为Al、A2、A3、An,如

图，根据切线的性质得C|A|_LOA1,C2A2_LOA2,C3Aa_LOA,CnAnXOAn,再确定直

返

线丫=3X与X轴的正半轴的夹角为30。，接着利用两圆相切的性质得到OC2T1+P2，

C2c3=F2+r3,…，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rl^OGAi中得到

OCI=2CIAI=2,在RtAOCiAz中得到2+1+底=2⑵解得r2=3=31,在RtAOC?A3中得到

6+3+门=2门，解得「3=9*2,再观察计算出来的半径得到半径都是3的正整数指数’寻，且指数

比序号数小1,于是得「产31|.

返

【解答】解：过Cl、C2、C3、…、Cn作直线广3X的垂线，垂足分别为Al、A2、A3、An,

如图，

亚

•・飞个半圆弧都与直线y=3x相切，

/.C1A1±OA1,C2A2_LOA2,C3A3XOA,...»CnAn-LOAn,

2/3返

*.*x=1时，y=3x=3,

返

・•・直线y=3x与x轴的正半轴的夹角为30。,

•・・a个半圆弧依次相外切，

.*.CiC2=ri+r2,C2c3=r2+r3,...»

在RtZ\OCiAi中，OCi=2CiAi=2,

在RtZ\OC2A2中，OC2=2C2A2,则2+l+r2=2⑵解得r2=3二31，

在RtZXOC3A3中，OC3=2C3A3,则6+3+门=2巧，解得口=9=32,

在Rtz^OC4A4中，OC4=2c4A4,则18191r4=214,解得「4=27=33,

由此可得rn=3『i.

故答案为m=3n7.

0C1C2C3X

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.

25.（2015春•锡山区期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2,0）、（0,I）,0C

的圆心坐标为（0,-I）,半径为I.若D是。C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E,

则4ABE面枳的最大值是.

【分析】当射线AD与。C相切时，^ABE面积的最大.设EF二x,由切割线定理表示出

DE,可证明△CDES/\A0E,根据相似三角形的性质可求得x,然后求得4ABE面积.

【解答】解：当射线AD与。C相切时，^ABE面积的最大.

连接AC,

VZAOC=ZADC=90°,AC=AC,OC=CD,

ARtAAOC^RtAADC(HL),

/.AD=AO=2,

连接CD,设EF=x,

ADE2=EF*OE,

VCF=1,

/.DE=VX(X+2),

.,.△CDE^AAOE,

CDCE

AO=AE,

!_x+1

即彳=2+VX(X+2),

2

解得x=?.

9

BEXAO2义(yH+2)口

SAABE=2=2=3.

11

【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定

当射线AD与。C相切时，4ABE面积的最大.

三.解答题（共5小题）

26.（2016•三明）如图，在aABC中，NO90。，点O在AC上，以OA为半径的。0交

AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.

（1）判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由：

（2）若AC=6,BC=8,OA=2,求线段DE的长.

【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD,由OD=OA,利用等边对等角得

到一对角相等，等量代换得到NODE为直角，即可得证；

(2)连接OE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8-x,在直角三角形OCE中，利用勾股定理

列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长.

【解答】解：⑴直线DE与。O相切，理由如下：

连接0D,

VOD=OA,

AZA=ZODA,

・・・EF是BD的垂直平分线，

AEB=ED,

/.ZB=ZEDB,

'：ZC=90°,

・・・NA+NB=90。，

AZODA+ZE