2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教B版

2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量

及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教B版

202305182127第3节随机事件的概率

、必备知识・回顾教材重“四基”

一、教材概念・结论•性质重现

I.样本点与样本空间

把随机试验中空二眄能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为

样本空间（通常用大写希腊字母Q表示）.

2.事件的相关概念

---d必然事件/梨｛一定发生、

「确定事件一：

L（不可能事件产审二定丕域

件

-［随机事件可能发生也可能不发生:

---、r------=-------J

3.事件的关系与运算

（1）事件的关系

定义表示法图示

一般地，对于事件A与事件如

包含果事件A发生时，事件8一定发生,AQ8(或

关系则称“A包含于8”（或“B包含

A”）

如果事件A发生时，事件8一定发

相等A=BQ

生；而且事件B发生时，事件A

关系4—8且

也「定发生,则称“A与8相等”

事件给定事件A,B,若事件A与4不

AB=0(j^AnB=0)

互斥能同时发生，则称A与8互斥&G

给定样本空间Q与事件4则由。

事件

中所有不属于A的样本点组成的~A

对立

事件称为4的对立事件

⑵事件•的和与枳

定义表示法图示

给定事件A，B,由所有4中A±B

事件的和（并）

的样本点与8中的样本点组成或(AUB)

的事件称为4与8的和(或并)

给定事件A,B,由A与8中

事件的积(交)的公共样本点组成的事件称的（或An3）

为A与B的积(或交)

⑶事件的混合运算

因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，例如(A石)+(工8)表

示的是4万与了8的和，实际意义是：4发生且B不发生，或者A不发生且8发生，换句

话说就是A与B中恰有二仝发生.

同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运

算的优先级随王求和运算，因此04万)+(了8)可简写为A万±TB.

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率八：0)=I.

(3)不可能事件的概率P(0)=O.

(4)①如果事件A与事件8互斥，则P(AUB)=P(AHP(B).

②如果事件A与事件4互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),PC4)=1—P(B).

③如果418,那么P(A)WP(B).

④设A,3是一个随机试验中的两个事件，我们有户(AU8)=P(A)+P(3)—P(An8).

微提醒■■■

1.随机事件A,B互斥与对立的区别与联系

当随机事件4,4互斥时，不一定对立；当随机事件4,8对立时，一定互斥.

2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件下所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的

集合的补集.

二、基本技能•思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“J”，错的打“X”.

(1)事件发生的频率与概率是相同的.(X)

(2)随机事件和随机试验是一回事.(X)

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(V)

(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(V)

(5)若A,8为互斥事件，则P(A)+P(B)=1.(X)

(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(V)

2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是

)

A.至多有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

D解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.

3.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是（）

A.必然事件B.随机事件

C.不可能事件D.无法确定

B解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为。〜10,都有可能发生，所以正面向上

5次是随机事件.

4.（多选题）若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是（）

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”

D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

BCD解析：对于A,“甲站排头”与“乙站排头"不可能同时发生，是互斥事件.对

于B,“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件.对于C,

“甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件.对于D,“甲不

站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件.故选BCD.

5.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组110,20)[20,30)130,40)140,50)150,60)[60,70)

频数234542

则样本数据落在区间［10.40）的频率为.

0.45解析：由表知［10,40）的频数为2+3+4=9,所以样本数据落在区间［10,40）的频率

9

为元=0.45.

6.（2021・济南模拟）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝,事件8

=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等晶｝,且已知P（A）=0.65,P（阴=0.2,则

事件“抽到的产品不是一等品”的概率为.

0.35解析：因为事件4=｛抽到一等品｝,且P（4）=0.65,

所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为〃=1一P（A）=1—0.65=0.35.

--------、关键能力-研析考点强“四翼”/----------

考点1随机事件的关系——基础性

「典例引领」

例n，(i)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得

一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()

A.是对立事件

B.是不可能事件

C.是互斥但不对立事件

D.不是互斥事件

C解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给

丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.

(2)设条件甲：事件A与事件8是对立事件，结论乙：概率满足P(4)+P(8)=l,则甲是

乙的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A解析：若事件A与事件8是对立事件，则AUB为必然事件.再由概率的加法公式

得P(A)+P(8)=1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)+尸(8)=1,但A,8不一定是对立事件.如

71

事件A:“至少出现一次工面”，事件8:“出现3次正面”，则P(A)=QO,P(B)=O],满足

P(A)+P(8)=1,但A,4不是对立事件.

解题通法

判断互斥事件、对立事件的两种方法

(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为

互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互

斥事件.

(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥：

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件人所含的结果组成的集

合的补集.

「多维训练」

1.(202。黄泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()

A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”

B.“至少有1枚正面朝.1二”与“至少有1枚反面朝上”

C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”

D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”

C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，

且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件

是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面

朝上”与“至少有1枚反面朝上“能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，

“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一

个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚

硬币同时反面朝上时，“至少有I枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上“能同时发生，故D

中的两个事件不是互斥事件.故选C.

2.口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个.从中取出

两个球，事件人=”取出的两个球同色”，B="取出的两个球中至少有一个黄球"，C=

“取出的两个球中至少有一个白球”，。="取出的两个球不同色"，E="取出的两个球

中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.

①A与D为对立事件；

②B与。是互斥事件；

③。与E是对立事件：

@P(CUE)=1；

⑤P(B)=P(C).

①④解析：显然A与。是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，8与C

都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与£都发生，③不正确；C

43

UE为必然事件，P(CUE)=l,④正确；P(B)=v，P(C)=W⑤不正确.

考点2随机事件的频率与概率——基础性

「典例引领」

例❷，如图，4地到火车站共有两条路径匕和上，现随机抽取100位从A地到达火车

站的人进行调查，调查结果如下：

火车站

所用时间(分)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择心的人数612181212

选择匕的人数0416164

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L和心所用时间落在上表中各时间段内的频率；

⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允

许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=

44(人)，

44

所以用频率估计相应的概率〃=/记=0.44.

(2)选择Lx的有60人，选择办的有40人，

故由调查结果得频率为

所用时间(分)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择L,的频率0.10.2030.20.2

选择的频率

L200.10.40.40.1

(3)设4,A2分别表示甲选择心和小时，在40分钟内赶到火车站；Bi,B2分并表示乙

选择心和小时，在50分钟内赶到火车站.

由(2)知P(A|)=0.1+0.2+03=0.6,

夕(4)=0.1+().4=0.5.

因为尸(4)＞尸(4)，所以甲应选择

同理，P(Bi)=0.1+0,2+03+0.2=0.8,P(%)=0.1+0.4+04=0.9.

因为夕(丛)VP(a),所以乙应选择上.

解题通法

1.概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通

常用概;本来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计

值.

2.随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试脸，事件发生的频率会逐渐趋

近于某一个常数，这个常数就是概率.

注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.

「多维训练」

1.在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上

的频率为()

A.49B.0.5

C.0.51D,0.49

C解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为9=0.51.

IUU

2.(2020.潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度

的调查，其结果如下表:

本科研究生合计

35岁以下403070

35〜50岁271340

50岁以上8210

现从该校教职工中任取I人，则下列结论正确的是()

A.该校教职工具有木科学历的概率低于60%

B.该校教职工具有研究生学历的概率超过50%

C.该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

D.该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%

7SS

D解析：对于选项A,该校教职工具有本科学历的概率〃=询=耳=62.5%>60%,故

433

错误；对于选项该校教职工具有研究生学历的概率〃=后=故错

AB,11O=37.5%<50%,B

误：对于选项C,该校教职工的年龄在50岁以上的概率〃=湍=e、8.3%<10%,故C错

误；对于选项D,该校教联工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率〃=卷=(=

12.5%>10%,故D正确.故选D.

考点3互斥事件与对立事件的概率——综合性

「典例引领」

例❸♦经统计，在某储蓄所一个营业窗II排队的人数相应的概率如卜.:

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率;

(2)至少3人排队等候的概率.

解：记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件从“2人排队等候”为

事件C,“3人排队等候”为事件。，“4人排队等候”为事件已“5人及5人以上排队等

候”为事件广，则事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+3+C,所以P(G)=P(A+8+C)=P(A)

+P⑻+P(C)=().l+0.16+0.3=0.56.

(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,K'JH=D+E+F,所以P(”)=P(Z)+E

+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

(方法二)记“至少3人排队等候”为事件〃，则其计立事件为事件G,所以P(H)=1—

P(G)=0.44.

解题通法

求复杂互斥事件概率的两种方法

(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式

计算.

(2涧接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(4)=I-P(下)求得，即运用逆向思维(正

难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便.

提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意苜先确定各个事件是否彼此互斥，然

后求出各事件发生的概率，再求和(或差).间接法体现了“正难则反”的思想方法.

「多维训练」

1.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件4表示“小于5的偶数点出现”，事件8表

示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+万发生的概率为()

A.^

C3D6

2142

C解析：抛掷一个，股子的试脸有6种等可能结果.依题意p(A)W=",p⑹

——21

所以P(B)=1—P(B]=1—

J」

因为石表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与石互斥，从而P(A+T)=P(A)

一II2

+P(B)=3+3=3.

2.(2020・重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学口当天随机到三个

不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为

()

A2-B2

A12七

C，D旦

u12

C解析：4人到3个车站的方法总数为CiM=36,其中小李和小明在同一车站的方法

数为A§=6.因此小李和小明在同一车站的概率是p'=2=；,小李和小明不在同一车站的

30O

概1率为〃=1—p'=\.故选C.

第4节古典概型

-----、必备知识・回顾教材重“四基”/-----

一、教材概念・结论•性质重现

1.古典概型

(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限

性)，而且可以认为每个只包含•个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简

称为等可能性),则称这样的随机试验为古曲概率模型，简称为古曲概型.

(2)性质：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个;

②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.

微提醒■■■'

一个试脸是否为古典帆型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和

等可能性.

2.古典概型中事件的概率

在样本空问含有〃个洋本点的古典概型中，

(1)每个基本事件发生的概率均为:

(2)如果事件C包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)=号

3.古典概型中概率的性质

假设古典概型对应的样本空间含〃个样本点，事件A包含「〃个样本点，则：

(1)由与尸(A)=彳可知OWP(A)WL

(2)因为N■中包含的样本点个数为“一机，所以

P(A)=—^―=1--=1-P(A)，即P(A)+P(A)=L

(3)若事件8包含有4个样本点，而且A与8互斥，则容易知道A+8包含〃?个样本

点，从而

m+km,k

P(A+B)=~--=--^-=P(A)-\-P(B).

微提醒■■■

频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

名称不同点相同点

频率计算中的2均随随机试脸的变化而变化，都计算了一

频率计算公式但随着试脸次数的增多，它们的比值逐渐趋近

个比值5

于概率值

k

古典概型的概率计算7是一个定值，对同一个随机事件而言，k,n

公式

都不会变化

二、基本技能•思想・活动体验

1.判断下列说法的正误，对的打“J”，错的打“X”.

（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发

芽与不发芽”.（X）

（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等

可能事件.（X）

（3）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到

的可能性相同.（X）

（4）从一3,-2,—1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.（J）

（5）利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距

离小于或等于1”的概率.（X）

（6）从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测量其质量，属于古典概

型.（X）

2.（2021•江淮十校模拟）《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱

币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为（）

1B1

AB-4

D.1

o/

C解析：抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正

3

反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为O

故选C.

3.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（）

A-3B-4

C3D2

D解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），（正，反），（反，正）四种情

2I

况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率〃=w=5得攵选D.

4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随

机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为.

§解析：设3个红色球为4,4,4,2个壶■色球为从5个球中，随机取出2

个球的样本点有4A2,A1A3,AMA2A3,A2BitA2B2,A381,4&,B1B2,共10个.其

中2个球的颜色不同的样本点有481，Ai&,A2B］fA2B2,A3B1,A382,共6个，所以所求

概率喘4

5.在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个

白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大吉，则口袋中原有小球的个数为

10解析：设原来口袋中白球、黑球的个数均为〃.依题意■一为=9，解得〃=5.

所以原来口袋中小球的个数为2/?=10.

6.设〃7,〃分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的

条件下，方程『+〃八+〃=0有实根的概率为.

77解析：先后两次出观的点数中有5的情况有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程，+必+>=0有实根的情况有(5,5),

(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事件的概率〃==.

——、关键能力-研析考点强“四翼”/--------

考点1古典概型的判断——基础性

「多维训练」

1.下列关于古典概型的说法中正确的是()

①试验中样本空间的样本点只有有限个；

②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点发生的可能性相等：

④样本点的总数为〃，随机事件A若包含女个样本点，则P(A)=*

A.②④B.③④C.@@D.①③©

D解析：由古典概型的特征知①③④正确，②错误.

2.下列问题中是古典概型的是()

A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率

B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率

C.在区间［1,4］上任取一数，求这个数大于1.5的概率

D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的总数之和是5的概率

D解析：A.B两项中的样本点发生不是等可能的：C项中样本点有无限多个：D项

中样本点的发生是等可能的，且个数有限.

解题通法

一个试验是否为古典既型，在于这个试脸是否具有古典概型的两个特点——有限性和等

可能性，只有同时具备这两个特点才是古典概型.

考点2简单的古典概型的概率一基础性

「典例引领」

例D，(1)(2019•全国卷11)生物实验室有5只兔广，其中只有3只测量过某项指标.若

从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()

,2「3

A-3B5

c]D]

JJ

B解析：设5只兔干中测量过某项指标的3只记为0,6,〃3,未测量过这项指标的

2只记为仇，岳，从5只兔子中随机取出3只，样本空间。={(m,a2,的)，31,公，历)，

31,C12,82),51,43,bil,(0,43,bl),(。[,bl,bl),(42,。3,力)，(。2,力2),(。2,

比,岳),(的,bi,岳)},共10个样本点.事件“恰有2只测量过该指标”{3,s,历),31,

。2,力2),31,。3,的,岳)，(。2,。3,历)，(。2,〃3,历)),共6个样本点.

故恰有2只测量过该指标的概率为益=点故选B.

(2)(2021•八省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3

位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为

()

A6B3

C2D-3

C解析：设三位同学分别为A,B,C,他们的学号分别为1,2,3.用有序实数对表示三

人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示4同学拿到1号卡片，8同学拿到3号卡片，C同学拿到

2号卡片.三人可能拿到的卡片结果组成的样本空间。=((1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),

(3,1,2),(3,2,1)),共6个样本点.其中满足题意的样本点为(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1),共3个.所

31

以，恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为〃=玄=,

(3)(2020•全国卷I)设。为正方形A8C。的中心，在O,A,B,C,。中任取三点，则

取到的三点共线的概率为[)

A-5Bt

C.zD.4

乙J

A解析：从。，4,B,C,。中任取3点的情况有(O,A,B),D

(O,A,C),(O,A,D),(O,B,0),(0,B,Q),(O,C,D),(A,

B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共有1()种不同的情况.由

图可知取到的三点共线的有(O,A,O和(O,B,£>)两种情况，所以所,

2I

求概率为诉=5.故选A.

解题通法

古典概型中样本点个数的探求方法

(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的，如

(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.

(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.

「多维训练」

1.(2020•河北区高三二模)袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个

黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是()

A.|B.1

713

C20D20

D解析：由题意可得，从中任取3个球一共有Ca=20(个)等可能的样本点，恰有1种

颜色的情况有1种，即3个全是篮球，恰有3种颜色的样本点有1X2X3=6(个)，所以恰有

13

2种颜色的样本点共13个，所以其榻率为胡.故选D.

2.(2020.太原市高三模拟)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门

派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一

县区的概率为()

11

A6B4

C.1D,^

A解析：派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，

样本点总数〃=C1M=36.

甲、乙两位专家派遣至同一县区包含的样本点个数m=©C4Ag=6.

所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为故选A.

考点3古典概型的交汇问题——综合性

「典例引领」

考向I古典概型与平面向量的交汇

例❷，(1)设平面向量。=(〃?/)，5=(2,〃),其中小，〃£{123,4},记％_1_(@—的”为

事件A,则事件A发生的概率为()

1

A1B

C.|

A解析：有序数对(加，〃)的所有可能结果数为4X4=16.由。_L(a-/O,得病一加+1

一〃=(),即〃=("?—1)2.由于/〃，〃£{1,2,3,4),故事件4包含的样本点为(2,1)和(3,4),共2

2I

个.所以所求的概率尸(4)=花=豆.故选A.

(2)(2021•宿迁模拟)已知4£Z,4才=伏,1),A