椭圆及其标准方程2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程第二章

圆锥曲线的方程在课前我们留了两项作业：1.为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？2.用我们给定的工具画一个椭圆.圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线

知识背景

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?

如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.

本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.追问1：圆锥曲线在现实生活中是较常见到的，以椭圆为例，你能举出一些实例说明吗？

椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础.

如果将圆的定义中的一个定点变成两个定点,动点到定点距离为定长变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？

问题探究

动手实践[1]取一条细绳（10cm）[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形思考：在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?①移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1,F2的距离之和是定值；②并且这个定值大于两定点间的距离，即这个细绳长与两定点|F1F2|有什么关系呢？

探究新知1.椭圆的定义:

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2

|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|

F1F2|叫做椭圆的焦距（2c）.焦距的一半称为半焦距（c）.数学符号表示：|MF1|+|MF2|=2ɑ常数（绳长）F1F2M••图形表示特别注意:当常数>|F1F2|时,轨迹是椭圆;当常数=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当常数<|F1F2|时,轨迹不存在.探究1：

动点的轨迹是椭圆满足细绳长度一定的前提下，椭圆的大小及形状与|F1F2|间的距离有什么关系？..........分析成果在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆;两定点间距离较短，则所画出的椭圆.（两定点间距离为零时，则所画出的是圆

）

由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．较圆（圆）较扁（线段）

探究新知问题1：怎样推导椭圆的方程？建立直角坐标系列等式设点坐标代入坐标化简方程问题2：求曲线方程的一般步骤是什么？

下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,建立椭圆的方程.♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy求椭圆的方程：(对称、“简洁”)原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)

椭圆标准方程的推导

椭圆标准方程的推导化简列式设点建系F1F2xyP(x,

y)设P(x，y)是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)F1F2xyP(x,

y)

椭圆上的点满足|PF1|

+|

PF2|为定值，设为2a，则2a>2c则：设得即：O方程:是焦点在x轴上椭圆的标准方程．焦点坐标为：F1(-c,0)、F2(c,0)注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点.

椭圆的标准方程2.椭圆的标准方程:F1F2M••xyO(x,y)

如图示,若椭圆的焦点在x轴上,中心在坐标原点，则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c,0),F2(c,0),

c2＝a2－b2.

椭圆的标准方程1、方程的右边是常数1;

追问1：椭圆的标准方程有何特点？追问2：根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)思考3:

观察图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗？由图可知，F1F2P••xyOcab

F1F2P••xyO长轴：2a长半轴：a短轴：2b短半轴：b焦距：2c半焦距：cc2＝a2－b2例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0),(2，0)，并且经过点（,-)，求它的标准方程。解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以．又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为只要求出a、b则可求出椭圆的方程焦点在哪条坐标轴上？你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点.例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0),(2，0)，并且经过点（,-)，求它的标准方程。解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为只要求出a、b则可求出椭圆的方程焦点在哪条坐标轴上？由已知得，c=2又由已知得，①②联立①、②解方程组得

因此，所求椭圆的标准方程为待定系数法1.椭圆的定义:

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2

|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|

F1F2|叫做椭圆的焦距（2c）.焦距的一半称为半焦距（c）.数学符号表示：|MF1|+|MF2|=2ɑ常数（绳长）F1F2M••图形表示特别注意:当常数>|F1F2|时,轨迹是椭圆;当常数=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当常数<|F1F2|时,轨迹不存在.课堂小结

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|PF1|+|PF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFPx1oFyx2FP共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.

注:课堂小结2.椭圆的标准方程:教材109页练习1，2，3，4。补充：1.“神州5号”宇宙飞般的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别为

，

求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程。课后作业：2.探究：通过学习，你能根据椭圆的定义，利用直尺和圆规描点画椭圆吗？若能，请你设计画法。3.1.1椭圆及其标准方程

（教学阐述）目录1教材分析学情分析教法教学教学过程板书设计2345一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计1.1教材的地位与作用

从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，因而本节课的学习在全章的学习中具有基础和示范性作用.

在本节课中，学生通过动手画、观察抽象图形的几何特征，直观感知椭圆形状，选择适当的平面直角坐标系，建立椭圆标准方程，从而为研究椭圆的几何性质做好铺垫.培养了学生从特殊到一般、数形结合等思想，通过观察-猜想-论证-应用，提升了学生的思维品质和科学的态度，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计1.2教学目标1）通过动手实践，直观体会椭圆生成的过程，从中归纳概括出椭圆的定义，发展数学抽象、直观想象的核心素养；2）通过小组合作经历椭圆方程的建立与推导过程，发展逻辑推理、数学运算的核心素养。一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计1.3教学重点难点教学重点：理解椭圆的定义，会用待定系数法和定义法求椭圆的方程；

教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计2.1学情分析高二学生

在此之前，学生在上一章已经学习了直线和圆，已经初步经历和体验了研究解析几何的方法——坐标法，所以，学生对用坐标法研究本节内容，并不陌生，已有相关知识经验，为顺利开展本节课的教学提供了方法保障.由于本节课的教学重点就是利用解析思想推导椭圆的标准方程，同时这也是本节的难点.教学中，根据椭圆的定义，按着建系、设点、列式，化简、这五个步骤推导椭圆标准方程.引导学生类比圆的标准方程的简洁、优美的形式，小组讨论，得到椭圆的标准方程，这个运算过程需要学生有沉着冷静的思维品质，特别有利于提升数学运算这一核心素养.

一.教材分析一.学情分析一.教学教法一.教学过程一.板书设计2.2评价目标（1）能通过观察平面截圆锥认识到:当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线.能通过实例知道圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用.能初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值.（2）能通过绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程.一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计3教学教法结合本课时的内容特点和学情分析，本节课主要采用任务驱动、问题启发、直观演示的教学方法.学生主要采取自主探究、合作交流的学习模式.在课前作业中既有全体参与的活动，也有小组合作的活动.一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.书设计4.教学过程4.1背景引入4.2探究新知4.3拓展提高4.4课堂小结一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计4.1背景引入一、知识背景引入1.为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？2.根据教材P105，用我们给定的工具画一个椭圆.【设计意图】1.布置课前预习作业，充分调动全体学生学习探究的积极性和主动性，有利于开阔学生思路，提高课堂广度和深度.分组活动，有利于促进小组内的相互合作，更有利于发挥学生的特长，更广泛更深入的探究自己小组的课题.2.让学生从直观上感受椭圆有大有小、有圆有扁，但要如何才能精确的作出一个椭圆，椭圆的大小及圆扁程度受什么因素影响，这些是需要我们去探究思考的。一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计4.2探究新知【问题探究】大家合作一起来做个实验：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1、F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？小组合作探讨椭圆几何特征与规律：【设计意图】在动手实验中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“定值”取值范围，在变化的过程中建立起用降级与发展的观点看问题；结合几何画板演示，形象直观地说明定义中的必备条件，感受椭圆位置与大小的影响因素，体会数学的理性与严谨。一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计4.2探究新知问题3：回顾用坐标法求曲线方程的步骤，结合椭圆的形状特点，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆的方程形式简单？你能根据所建的坐标系求出椭圆的方程吗？设计意图：方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征的方式，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学运算能力，培养学生独立主动获取知识的能力，培养数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理等数学素养。一.教材分析二.学情分析三.教学教法四.教学过程五.板书设计4.3例题讲解例1追问：你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点.设计意图：设计例题、不同方法解题，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维