安徽合肥一中2026届高三12月份教学质量测评数学（含答案）

合肥一中2026届高三12月份教学质量测评

数学试题

(考试时间：120分钟满分：150分)

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题

可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号

所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合要求的.

1.已知集合A={x|x²-11x+28<0},则A∩N中元素的最大值为()

A.3B.4C.5D.6

2.“m=-1”是“直线mx-y+1=0与直线(m+2)x-my+2=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知α∈(0,π),且3cos2α—8cosα=5,则sinα等于()

B.

4.记时钟的时针、分针分别为OA、OB(O为两针的旋转中心).从12点整开始计时，经过m分钟

后，OA·OB的值第一次达到最小时，则m的值是()

B.C.30D.31

5.若曲线y=xe×有两条过点(a,O)的切线，则实数a的取值范围是()

A.(0,+∞)B.(-4,+0)C.(-4,0)D.(-∞,-4)U(0,+∞)

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6.已,则它们的大小关系正确的是()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<C

7.已知实数a,b,c构成公差为d的等差数列，若abc=16,b<0,则d的取值范围为()

A.(-∞,-2√3)[2√3,+B.[-,-12]U[12,+]

c.(-∞0,-2√5)U[2√5,+]D.(-,-16)U[16,+]

8.已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，

则红球的表面积为()

A.B.C.49πD.98π

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的是()

A.若a.b<0,则向量a与b的夹角为钝角

B.若a=(3,4),b=(0,1),则向量a在向量b方向上的投影向量为(0,4)

C.两个非零向量a,b,若la-b=1a+|5,则a与6共线且方向相反

D.若0为△ABC的外心，PA+PB+PC=2PO,则P为△ABC的垂心

10.已知a,b均为正实数，且a+2b=ab,则()

A.ab≥8B.2a+b≥10

D.

11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上一个动点，则()

A.当P在面BCC₁B₁上运动时，三棱锥P-AAD的体积为定值

B.当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是

C.若F是A₁B₁的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF⊥BD₁

时，PF长度的最小值是√5

D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为

π+4√2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若p=xa+yb+zc,则称(x,y,z)为p在基底{a,b,c}下的坐标，若一向量p在基底{a,b,c}下的坐

标为(2,4,4),则向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为_

13.数列{aa}的前n项和为Sₙ,若数列{a}的各项按如下规律排列：

,…,n∈N+,若存在正整数k,使

S≤11,S+1>11,则ac=

14.已知函数,若x∈(0,π),则的取值范围_

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且sinC=cosA.

(1)求角A、B、C的大小；

(2)设函,求函数单调递减区间.

16.已知数列{a}中，a=1,aₙ+a₄+1=5×4”.

(1)证明：数列{aₙ-4”}是等比数列；

(2)求{aₙ}的前n项和Sn;

,求数列{b}的最大项.

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17.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2,AB=2√2,SC=4,M是SB的中点，

SA⊥平面ABCD.

(1)证明：MC⊥BD;

(2)若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为,求的值.

18.在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠(如图1所示),按工程设计要求，引水渠过水横断

面需要设计为圆弧形，当过水面积S为定值时，其湿周I(浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧AB的

长)越小，则用料越省.

(1)设扇形OAB的圆心角为θ(如图2所示),试将湿周l表示为θ的函数；

(2)当θ为何值时，用料最省?

图2

图1

19.已知f(x)=e×+ax²,f'(x)是f(x)的导函数，其中a∈R.

(1)当a>0时，证明：存在唯一的,使得f'(xo)=0;

(2)若函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围；

(3)若存在实数a,b,使得f(x)≥b恒成立，求a-b的最小值.

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数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的.

1.【答案】D

【详解】因为集合A={x|x²-11x+28<0}={x|4<x<7}

所以A∩N={5,6},所以A∩N中元素的最大值为6.

故选：D.

2.【答案】C

【详解】当m=-1时，直线-x-y+1=0与x+y+2=0平行；

当直线mx-y+1=0与(m+2)x-my+2=0平行时，

有-m²=-m-2,解得m=2或m=-1,

当m=2时，2x-y+1=0与4x-2y+2=0重合，不合题意；

当m=-1时，直线-x-y+1=0与x+y+2=0平行；

故“m=-1”是“直线mx-y+1=0与(m+2)x-my+2=0平行”的充要条件，

故选：C

3.【答案】A

【详解】由3cos2α-8cosα=5,得3(2cos2α-1)-8cosα=5,

即3cos2α—4cosα—4=0,解得或cosα=2(舍去).

又因为α∈(0,π),所以sinα>0,所

4.【答案】A

【详解】设OA,OB的夹角为θ,|O4=a,|OB=b,则OA·OB=|o4||oB|cosθ=abcosθ,

当cosθ=-1,即θ=π时，

又时针一分钟旋转的角度为

分针一分钟旋转的角度为

又经过m分钟，OA,OB夹角第一次达到π,则

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解得,所以经过分钟，OA·OB的值第一次达到最小.

故选：A.

5.【答案】D

【详解】设切点(x₀,xoe×0),f'(x)=(x+1)e×,k=(xo+1)ex0,切线y-xoe×0=(xo+1)eˣo(x-xo),过

(a,0),—xoex0=(xo+1)e0(a-xo),∴xo²-axo-a=0有两根，△>0,∴a<-4或a>0.

故选：D.

6.【答案】B

【详解】根据题意可知ln,∴b<c,

∴C²<a²

∵C<a

选B.

7.【答案】A

【详解】根据题意可知a=b-d,c=b+d,

由abc=16可得(b-d)b(b+d)=16,因止

,x∈(-∞,0),,令f'(x)=0,解得x=-2,

所以当x∈(-∞,-2)时，f'(x)<0,此时f(x)在(-∞,-2)上单调递减，

当x∈(-2,0)时，f'(x)>0,此时f(x)在(-2,0)上单调递增，

所以当x=-2时，f(x)取得极小值，也是最小值，易知f(-2)=12;

因此f(x)≥f(-2)=12,即d²≥12,解得d≥2√3或d≤-2√3.

因此d的取值范围为(-∞,-2√3)U[2√3,+co].

故选：A

8.【答案】C

【详解】如图，作出符合题意的图形，

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设三个半径为3的白球的球心分别为A,B,C,设红球半径为r,球心为D,

连接AB,BC,AC,AD,BD,CD,

则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G,可得

三棱锥D-ABC为正三棱锥，侧棱DB=r+3,

再设大球的球心为0,由对称性可得，O在线段DG上，要使大球与四个小球都内切，

则OD=7-r,OB=7-3=4,OG=√OB²-BG²=2,

又∵BG²+DG²=BD²,12+(2+7-r)²=(r+3)²,解得；,则红球的表面积S=4πr²=49π.

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】BCD

【详解】对于A:因为cos(a,b)<0,即,所以向量a与6的夹角为钝角或平角，A错误；

对于B:若a=(3,4),5=(0,1),则ab=4,5|=1,,所以向量a在向量6方向上的投影向量为B

正确；

对于C:将a-b|=lal+|b两边平方，化简得-2a·b=2|a5|,所以cos<a,b>=-1,结合向量夹角的范围得夹

角为π,C正确；

对于D:因为0为△ABC的外心，PA+PB+PC=2PO,则-PA=(PB-PO)+(PC-PO)=OB+OC,

所以-PA·BC=(OB+OC)·BC=(OB+0C)(oC-OB)=Oc²-OB²=0,

所以PA⊥BC,同理可得PB⊥AC,PC⊥AB,故P为△ABC的垂心，D正确.

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故选：BCD

10.【答案】AD

【详解】选项A:∵a+2b≥2√2ab,当且仅当a=2b时取等号，又∵a+2b=ab,∴ab≥2√2ab,

∵a,b均为正实数，(ab)²≥8ab,即ab≥8,当且仅当a=4,b=2时取等号，故A正确；

选项B:∵a+2b=ab,

,当且仅当,即a=b=3时，2a+b=9,

而9<10,故B错误；

选项C:∵a+2b=ab,令a=4,b=2,则4+2×2=4×2,等式成立，此时,故C错

误；

选项D:

∵a+2b=ab,变形可得(a-2)(b-1)=2,设m=a-2,n=b-1,则mn=2,故m,n同号，

当m>0,n>0时，

当且仅当m=2,n=1,即a=4,b=2时等号成立；

当m<0,n<0时，∵a>0,b>0,∴0>a-2>-2,0>b-1>-1,则mn<2,与mn=2矛盾，故m<0,n<0不符

合题意.

当且仅当a=4,b=2时等号成立，故D正确.

故选：AD.

11.【答案】ABD

【详解】对A:当P在平面BCC₁B₁上运动时，P点到平面AAD₁D的距离为2,

所以,故A正确；

对B:如图：取AC中点H,连接D₁H,则D₁H⊥AC.

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当P在线段AC上运动时，因为AC//A₁C₁,且∠D₁PH≤90°,所以∠D₁PH为异面直线D₁P与A₁C₁所成角.

当P与H重合时，异面直线D₁P与AC₁所成角为·

当P与H不重合时，因为所以tan∠D₁PH≥√3,所以

所以异面直线D₁P与AC₁所成角的范围为,故B正确；

对C:如图：

根据正方体的结构特点，BD₁⊥平面AB₁C,F为AB₁中点，

因为FP⊥BD₁,所以P点轨迹是过点F且平行于平面AB₁C的平面，即为平面FGMNHK,其中G,M,N,H,K

分别为所在棱上的中点.

故当P在底面ABCD上运动，且满足PF⊥BD₁时，P点的运动轨迹为线段MN.

其中M,N分别为AD,CD中点.易知六边形FGMNHK为正六边形，所以当P与M重合时，FP⊥MN,

此时FP为点F到直线MN的垂线段，取得最小值，,故C错误；

对D:如图：

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当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，因为∠B₁AB=45°,所以P不可能在四边形B₁BCC₁内(B₁除外);

同理P不可能在四边形C₁CDD₁内(D₁除外).

P在平面ABB₁A与平面ADD₁A的运动轨迹为线段AB₁和AD₁,且AB₁=AD₁=2√2;

当P在平面A₁B₁C₁D₁时，作PE⊥平面ABCD,垂足为E,连接AE,

因为∠PAE=45°,所以AE=EP=2=A₁P,

所以P在四边形A₁B₁C₁D₁上的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆的

所以P点的轨迹长度为：,故D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】(3,-1,2)

【详解】由条件可知，p=2a+4b+4c,

设向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为(x,y,z),

所以p=x(a+b)+y(a-b)+2ze=(x+y)a+(x-y)b+2ze,所以得x=3,y=-1,z=2,

所以向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为(3,-1,2).

故答案为：(3,-1,2)

13.【答案】

【详解】由于

当n=5时，当n=6时，

所以S≤11,S+1>11,

即此时的

14.【答案】

【详解】方法1:因为x∈(0,π),所!,设,则

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x∈(0,π),因为sinx>0,2+cosx>0,所以t>0.

设h(x)=3sinx-x(2+cosx),x∈(0,π),

则h'(x)=3cosx-(2+cosx)-x.(-sinx)=2(cosx-1)+xsinx,

令p(x)=2(cosx-1)+xsinx,x∈(0,π),则p'(x)=-2sinx+sinx+xcosx=xcosx-sinx,

当时，p'(x)=cosx(x-tanx)<0;当时，p'(x)=xcosx-sinx<0,

所以p(x)单调递减，p(x)<p(0)=0,即h'(x)<0在(0,π)上恒成立.

所以h(x)在(0,π)上单调递减.所以h(x)<h(0)=0.即3sinx-x(2+cosx)<0→3sinx<x(2+cosx),

又x(2+cosx)>0,所以即

综上：,所,即

方法2:因为x∈(0,π),所,设,则

,x∈(0,π),

则m'(x)=1-cos2x-2xsinx=2sin²x-2xsinx=2sinx(sinx-x),当x∈(0,π),sinx<x,∴m'(x)<0

∴m(x)在(0,π)上单调递减，∴m(x)<m(0)=0,∴t<0,∴t在(0,π)上单调递减.当

π-,t→0,∴t,即

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15.(13分)【答案】(1)

(2)单调递减区间为

【详解】(1)由题设及正弦定理知,化简得sin2A=sin2B,

∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+.

当A=B时，有sinC=sin(π-2A)=sin2A=2sinAcosA=cosA,因为cosA不为0,

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则sin

寸，有不符题设，

………………7分

(2)由(1)及题设知，

为减函数，

即的单调递减区间为……………13分

16.(15分)【答案】(1)答案见详解

3

【详解】(1)因为q=1,an+an+1=5×4”,所以an+1-4n+1=4”-an=-(an-4”),a₁-4=-3

数列{an-4”}是以-3为首项-1为公比的等比数列………………4分

(2)由(1)得an-4”=-3(-1)”-1=3(-1)”∴an=4”+3(-1)”所以

化简得.………………………9分

(3)由(2)得an=4”+3(-1)",所

易得f(1)=2,,又f(n)单调递减，当n≥2时，即,bn+<b,又当n=1时，

所以数列{b}的最大项…………………15分

17.(15分)【答案】(1)答案见详解

(2)

【详解】(1)取AB的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于Q点，

在底面矩形ABCD中，易矢,所以∠BNC=∠DBC→BD⊥CN,

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因为SA⊥平面ABCD,MN//SA,∴MNIABCD,又BDCABCD,所以BD1MN,

因为MN∩CN=N,∴BD1平面MNC,又MCc平面MNC,

所以MC⊥BD…7分

(2)以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)、S(0,0,2)、c(2,2√2,0)、B(0,2√2,0)、M(0,√2,1),

设平面AMC的法向量为m=(x,y,z),则AC=(2,2√2,0),AM=(o,√2,1),

则取x=√2,则m=(√2,-1,√2),

设SP=ASC=z(2,2√2,-2)=(22,2√22,-22),其中0≤a≤1,

则AP=AS+SP=(0,0,2)+(22,2√2λ,-22)=(22,2√22,2-22),

因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为.

解得,即

18.(17分)

【答案】(1),9e(0,2π)

(2)θ=π时，用料最省。

【详解】(1)设扇形半径为r(如图所示)

注：AB为优弧时，此式也成立)

1

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,θe(0,2π)…7分

(2)由(1)得：

求导得：图2

∵0<θ<2π,

①当,

,即θ=π时，l²取得最小值，即L取得最小值，

所以，当θ=π时，用料最省。………………17分

19.(17分)

【答案】(1)答案见详解

(2)

(3)a-b的最小值为

【详解】(1)由题意，f'(x