数列的递推公式及前n项和公式课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章

数列人教A版选修第二册4.1数列的概念第2课时数列的递推公式和前n项和公式复习回顾数列的概念数列的相关概念数列项数列的分类按项的个数有穷数列无穷数列按项的变化趋势递增数列递减数列常数列数列与函数的关系数列的表示方法有序性可重复性列表法图象法数列的通项公式函数数列定义域解析式值域R或R的非空子集

自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成值域.复习回顾与函数类似，我们可以定义数列的单调性.递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.常数列各项都相等的数列叫做常数列.复习回顾周期数列从某一项开始，每隔固定项数就重复出现的数列叫做周期数列.数列的单调性的符号表示：

复习回顾学习目标1.了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确他们的异同；2.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和公式求出数列的通项公式.意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题：

如果

1对兔子每月能生一对兔子（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生一对兔子，假定在不死的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？

在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有2对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对兔子长大，有3对兔子。如此推算下去，我们可以得到一个表格：初生兔子成熟兔子兔子总数（对）第1月第2月第3月第4月长大生生第5月1+0=10+1=11+1=21+2=32+3=5长大

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，.........此数列的递推公式环节一创设情境，引入课题环节一创设情境，引入课题思考：已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…你能用数学语言

归纳出后一项与前两项的关系吗？具体内容参考课本P10-P11阅读材料数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列雪花的周长比地球直径大？详解分形几何的奥秘欣赏科普视频：谢尔宾斯三角形的分形艺术大家所熟悉的游戏动画，如何产生三维既视感，这就是得益于谢尔宾斯三角形。三角形的美不仅仅是稳定性！环节一创设情境，引入课题图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.例4（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）着色三角形的个数13927取值规律

环节一创设情境，引入课题

题中数列的项的取值规律并不是很明显，遇到此种情况，该如何处理呢？

当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律，如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.环节一创设情境，引入课题观察图中的4个图形，你还能发现这个数列的项的其它取值规律吗？（1）（2）（3）（4）139273倍3倍3倍从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.环节一创设情境，引入课题你能用数学语言描述这一规律吗？（1）（2）（3）（4）13927

环节一创设情境，引入课题递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.仅由数列的递推公式是否可以确定数列？

用递推法求数列的项

知道数列的递推公式递推的基础递推的依据环节二抽象概念，内涵辨析例如：数列的递推公式与通项公式的关系类别递推公式通项公式区别联系

①都是表示数列的一种方法；②由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式.环节二抽象概念，内涵辨析例5

解：由题意可知

环节二抽象概念，内涵辨析环节二抽象概念，内涵辨析小结已知数列递推公式求数列各项时，依次将项数n的值代入即可．练

习1：学以致用教材P8

2.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.211335课本P8学以致用教材P8教科书第9页习题4.1第5题5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项．学以致用教材P8教科书第9页习题4.1第5题环节二抽象概念，内涵辨析练

习4：周期数列：0

环节二抽象概念，内涵辨析类比函数周期性：证明如下：练习1环节二抽象概念，内涵辨析环节二抽象概念，内涵辨析练习2√环节二抽象概念，内涵辨析练习3

在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.

环节二抽象概念，内涵辨析

环节二抽象概念，内涵辨析

环节二抽象概念，内涵辨析解：

01

02

03

环节二抽象概念，内涵辨析环节二抽象概念，内涵辨析例3：已知数列{an}的前n项和公式为Sn

=2n2－n＋1，求{an}的通项公式.解：（1）当n≥2时，

故数列{an}的通项公式为当n=

1时，不符合上式强调：(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示.环节二抽象概念，内涵辨析练习1环节二抽象概念，内涵辨析

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an.

练习2.环节三典例应用，举一反三

由于通项公式直接反映了an与n之间的关系,而递推关系则是直接反映相邻项之间的关系，间接表示数列，故，我们往往要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式

环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式

环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式

环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式练习1

环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式

环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式解析

∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，练习3环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式

取倒数

环节三典例应用，举一反三一累加法求通项公式

取倒数

环节三典例应用，举一反三二累乘法求通项公式环节三典例应用，举一反三二累乘法求通项公式例5:已知数列{an}满足

写出这个数列的通项公式.解：由递推式可得∴数列的通项为.

n∈N*把以上n-1个式子相乘得又a1=1满足上式总结：一般递推关系为an+1=f(n)·an,即

时，可用累乘法求通项公式.环节三典例应用，举一反三二累乘法求通项公式

环节三典例应用，举一反三二累乘法求通项公式解：环节三典例应用，举一反三三已知Sn求通项公式an

∴an=na1=n×2=2n(n≥2).

∵a1=2满足上式,∴an=2n.环节三典例应用，举一反三三已知Sn求通项公式an练习1.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3，求{an}的通项公式．环节三典例应用，举一反三三已知Sn求通项公式an练习2.环节三典例应用，举一反三练

习1例7环节三典例应用，举一反三练

习1环节三典例应用，举一反三练

习2环节三典例应用，举一反三例8.在数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是A.105B.106C.107 D.108√

数列的概念数列的递推公式定义数列的递推公式与通项公式的关系

定义公式

环节四小结提升，形成结构

A.2 B.4 C.