2024年高考专题讲义专题72 均值不等式与线性规划(1013~1047)

专题7.2均值不等式与线性规划

TIXING

第EI步试六题

[1013）.（2022•全国•高考真题•★★）

x+y>2,

若工，y满足约束条件<x+2y<4,则z=2r-），的最大值是（）

y>0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分^5】

作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】

由超意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数Z=2x-y^jy=2x-zt

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，z最大,

所以2侬=2x4—0=8.

故选：C.

【1014】.（2。22•浙江•高考真题•★★）

x-2>0,

若实数M丁满足约束条件•2"），-740,则2=3"4），的最大值是（）

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.

【详解】

不等式组对应的可行域如图所示：

lx=2[x=2

由1二。可得[y=3，故A（2,3）,

故2nm=3x2+4x3=18,

故选：B.

[1015].（2021•浙江•高考真题・★★）

x+l>0

A-y<0,则z=x-g），的最小值是（

若实数X,y满足约束条件•

2x+3y-l<0

A.-2B.—3C.—Dn.——1

2210

【答案】B

【解析】

【分析】

画出满足条件的可行域，目标函数化为），=2.r-2z,求出过可行域点，且斜率为2的直线在y轴I：截距的最

大值即可.

【详解】

\+1>0

画出满足约束条件，x-y<0的可行域，

2x+3y-l<0

如下图所示：

目标函数2=1-；丫化为y=2x-2z,

由1解得["=」,设4（T，D，

[2x+3y-\=0[y=1

当直线y=2x-2z过A点时，

I3

取得最小值为一刁.

故选：B.

[1016].（2021•全国•高考真题•★★★）

下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.>'=|sinx|+-i

|sin

4

C.y=2x+22-xD.y=\nx+——

Inx

【答案】C

【解析】

【分^5】

根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“•正二定三相等”，即可得Ma。不符

合题意，C符合题意.

【详解】

对于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3＞3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意;

对于B,因为。＜卜血1乂＜1,24=4,当且仅当卜^^=2时取等号，等号取不到，所以其

最小值不为4,B不符合题意;

对于C,因为函数定义域为R,而2、＞0，y=2'+22T=2'+2224=4,当且仅当才=2,即工=1时取

等号,所以其最小值为4,C符合撅竟:

4z

对于D,y=\nx+—,函数定义域为(04)U(l，+8)，而InxwA月.InxwO,如当lnx=-I,D不符合

题意.

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解

出.

[1017].（2021•全国•高考真题•★★）

x+j＞4,

若」“满足约束条件「一）”2,则z=3x+y的最小值为（）

二3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意作出可行域，变换目标函数为），=-3x+z,数形结合即可得解.

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

1x4-y=4/、

由可得点人（L3）,

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线），=-3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，

此时Zmin=3xl+3=6.

故选：C.

（10181（2017•全国•高考真题

2x+3y-3<0

设心），满足约束条件<2.丫-3），+3之0,则z=2x+），的最小值是（）

y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

作出可行域，z表示直线y=-2x+z的纵截距，数形结合知z在点8（—6,—3）处取得最小值.

【详解】

作出不等式组表示的可行域，如图所示，

目标函数Z=2x+y,Z表示直线）、=-2x+Z的纵截距,

2x+2y—3=0x=-6

'=><=5(-6,-3),

y+3=0y=-3

数形结合知函数），=-2x+z在点以一6,—3）处纵截距取得最小值，

所以z的最小值为一12—3=-15.

故选:A

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.

【1019】.（2019•浙江•高考真题•★★）

x-3y+4N0

若实数X，y满足约束条件＜3x-y-440,则z=3x+2），的最大值是

x十），之0

A.—1B.1

C.10D.12

【答案】C

【解析】

本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、

基本技能的考查.

【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以（4』）,（17）,（2,2）为顶点的三角形区域（包含

边界），由图易得当目标函数z=3x+2y经过平面区域的点（2,2）时，z=3x+2y取最大值2nm=3x2+2x2=10.

【点睛】

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能

在解方程组的过程中出错.

[10201（2014•安徽•高考真题•★★★）

:v-2^0

工J满足约束条件若二二J-G取得最大值的最优解不唯一，则实数。的傕为

I'lx-*v+2^0

A.〈或一】B.2或；C.2或ID.2或T

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：题中的约束条件表示的区域如下图，将z=J一"化成斜截式为y=〃+z,要使其取得最大值

的最优解不唯一，则y=以+z在平移的过程中与x+y-2=0重合或与21-），+2=0重合，所以。=2或-1.

考点：I.线性规划求参数的值.

【1021】.(2012•浙江•高考真题•★★)

若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是

2428

A.—B.—C.5D.6

55

【答案】C

【解析】

【详解】

由已知可得3+4=1,贝ij3x+4y=(m+J)(3x+4y)=W+：+二+二之二+?=5,所以3x+4y的最小

5x5y5x5y555x5y55

值5,应选答案C.

[1022].(2010•重庆•高考真题・★★)

已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是

Q11

A.3B.4C.-D.—

22

【答案】B

【解析】

【详解】

解析：考察均值不等式x+2y=8-.「(2)，)28-(^^),整理得(x+2y)2+4。+2)，)-3220即

(.V+2y-4)(.r+2y+8)0,又x+2y>0,x+2)，*4

[1023].(2011•安徽•高考真题•★★★)

设变量x，F满足|乂+“|«1,则2x+y的最大值和最小值分别为

A.1,—1B.2,—2C.1,—2D.2,-1

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：由约束条件x-)41,作出可行域如图,

设z=2x+），，则），=-2x+z，平移直线），=-2x，当经过点4】,（））时，Z取得最大值>当经过点B（-IQ）

时，Z取得最小值一2,故选8.

考点：线性规划.

[1024].（2007•海南•高考真题•★★★）

已知x>0,），>。，成等差数列，x,c,4y成等比数列，则更迎的最小值是

cd

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】

【详解】

解：・・・x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列

根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y,cd=xy,

（a+O）2_（x+y）2（诉）2_

_乙_4

cdxyxy

当且仅当x=y时取“=”，

【1025】.（2021•天津•高考真题•★★★）

若a>0,b>0,则*芯+。的最小值为.

【答案】2&

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

6?>0.b>0,

•••”+，*2仁+武>此2即=2人，

当且仅当且：=〃，即a=b=五时等号成立，

ah~b

所以g+齐+8的最小值为2&.

故答案为：2&.

【1026】.（2016•江苏•高考真题•★★★）

x-2y+4>0,

已知实数汽y满足（2x+），-2>0,则f+y2的取值范围是.

3x-y-3<0»

【答案】03]

【解析】

【详解】

画出不等式组表示的平面区域，

由图可知原点到直线2%+），-2=0距离的平方为f+,2的最小值，为|。|2=，原点到直线公2），+4=0与

3x-），-3=0的交点（2,3）距离的平方为I?+）,2的最大值为13,因此f+,2的取值范围为£1”

【考点】

线性规划

【名师点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚

线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的

距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.

[1027].（2016•全国•高考真题

2x-y+\>0.

若儿），满足约束条件（x—2），—lK0,则z=2x+3y-5的最小值为.

x<1,

【答案】-10

【解析】

【详解】

试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z=2x+3y-5经过点A（-1,-1）时

取得最小值,即Zmin=2x（-l）+3x（-1）-5=-10.

【考点】简单的线性规划问题

【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：（1）作出可行域.将约束条件中的每一个不等式

当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；（2）作出忖标函数的等

值线（等值线是指目标函数过原点的直线）；（3）求出最终结果.

【1028】.（2020•天津•高考真题•★★★★）

IQ

已知且"=1,则五+九+力的最小值为

【答案】4

【解析】

【分析】

根据已知条件'将所求的式子化为何+盘，利用基本不等式即可求解•

【详解】

8ahab8

'/£•>0,Z?>0,+Z?>0,ab=1,---1--------卜---------=--------1--------1----------

2a2ba+b2a2ba+b

a+2h+*/'盘=4,当且仅当…=4时取等号,

结令"=1,解得4=2-6,〃=2+6，或4=2+6泊=2-6时，等号成立.

故答案为：4

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

[1029).(2022•全国•郑州一中模拟预测

x+y>3

X—y<3

已知X,y满足约束条件｛J，则Z=2x+y的最小值为()

彳20

y>0

A.-3B.0C.3D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解.

【详解】

不等式组表示的可行域如图所示阴影部分，作直线1:2x+)，=(),

在直线2x+y=z中，z表示直线的纵截距，向上平移直线z增大，向下平移直线z减小,

平移该直线，当它过点40,3)时，z=2x+y=3为最小值.

故选:C.

l:2x^y=O

【1030】.（2022•山东泰安•模拟预测•★★★★）

已知4/+9吐尸+2）,4=1,则5/+3V的最小值是（)

125

A.2B.—C.-D.3

72

【答案】A

【解析】

【分析】

对原式因式分解得（4/+），2）任+2/）=1,然后利用基本不等式即可求解.

【详解】

得（4人力（42月=14空泊产可2

由+9f),2+2),4=],"5x+3/'

I2]

即4,5/十3y2））所以5/十3），2t2,当且仅当4/十），？=/十2/,即时，等号成立，所以

5/+3）尸的最小值是2.

故选：A.

[10311.（2022•浙江•镇海中学模拟预测•★★★）

2x-y>0

若实数x,），满足'y>x,且z=3x+y的最大值为8,则实数用的值为（）

y<-x+2m

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

2x-y>0

画出不等式组•）亚工表示的可行域，利用线性规划去求实数〃?的值即可.

y<-x+2m

【详解】

2x-y>0

画出不等式组，y>A-表示的可行域如图所示,

y<-x+2m

.y2x_”o

由图中直线斜率关系知：

当直线y=-3x+z向上平移时，依次经过点o,B,A.

故经过点A时，z有最大值4〃z,由4/〃=8,得〃?=2.

故选：C.

[1032].(2022•上海松江•二模•★★★)

己知正实数〃、〃满足《+)+4=2ab,则a+b的最小俏为.

【答案】4

【解析】

【分析】

根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.

【详解】

因为〃>0/>0,

所以“+"4=2。丛2(•j,当且仅当a=力时等号成立，

即(a+b)2-2(a+b)-S>0,

解得a+Z?24或a+〃W-2(含去)，

即〃+〃的最小值为4,当且仅当a=〃=2时等号成立.

故答案为：4

【1033】.(2022•上海•位育中学模拟预测•★★★★)

2112

已知a>0,b>0,且ab=l,则—+—+的最小值为

3a2b3a+4〃

【答案】2&

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求最小值.

【详解】

21123a+4b123a+4b12

---1---H-------=-------1-------=--------F------

3a2b3a+4b6ab3a+4〃63a+4〃

而然匕目22夜，当且仅当%+八6a时等号成立,

3五-R3人+C

a=-------a=-------

3a+4b=6>/23或，3

由，心可得,3&+石或

3叵一瓜，

b--------

44

372-763V2+V6

Q=-------a=---；---

故空+—之2日当且仅当3或.一厂等号成立,

卜3叵+03V2-V6

b=-------

44

7I|9

故丁丁品的最小值为25

故答案为：2VL

【1034】.（2022•上海市嘉定区第二中学模拟预测•★★★）

41

若〃>0、b>0,且一+1=1,则曲的最小值为（）.

ab

A.16B.4C.--D.—

164

【答案】A

【解析】

【分析】

根据基本不等式计算求解.

【详解】

41即后心

因为〃>0、。>0,所以±+上22,所以疯24,即H216,当仅当±=4,

abab

即〃=8,〃=2时，等号成立.

故选:A.

[1035].（2022•浙江湖州•模拟预测

x+2y-3>0

若实数工，y满足约束条件•3X-〉-220,则2=尤+>的最小值为（）

4x+y-12<0

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

作出可行域，绘制出目标函数，考虑截距最小的情况.

【详解】

如图，作出可行域，目标函数丁=-1+2经过点8(1,1)时在)，轴上有最小的截距，因为截距即Z,故此时

z最小，Zmm=1+1=2.

故选：A

[1036].(2022•河南安阳•模拟预测•★★)

x+y>2

已知实数%,)，满足，则z=x-2y()

0<y<3

A.最小值为-7,最大值为2B.最小值为-2,最大值为7

C.最小值为・7,无最大值D.最大值为2,元最小值

【答案】C

【解析】

【分析】

作出可行域，利用平移法即可求*FI标函数的最大最小值.

【详解】

作出可行域，如图所示阴影部分：

z=A-2y,即）,=；工一直线越往上移z的取值越小，当直线往上平移至经过点A（-1,3）时，z取最小值，

此时z*=T-2x3=-7,当直线柱下平移至经过点5（2,0）时，z=2,因为该点取不到，所以z无法取到最

大值，即z=x-2y的最小值为-7,无最大值.

故选：C.

【1037】.（2022•河南安阳•模拟预测

x+y>2

已知实数x,），满足，x—则z=x—2），的最大值为（）

0<y<3

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】

作出可行域如图所示：

把z=x-2y转化为直线），=；x-：z,经过点A时，纵截距最小，z最大.

x+y=2

由y-y=2解得:4（2,0）,此时z=2-0=2.

0=y

故选：A

[1038].（2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测•★★★★）

已知正实数”，〃满足=则下列结论不正确的是（）

A.有最大值;B.：的最小值是8

2ab

C.若心b,则卜，D.Iog24+log2〃的最大值为-2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

对A：a>（）,/>>0,\=a+h>2y/ab,当且仅当。=/?=；时，等号成立，故A正确；

对B：'：=0■+©（〃+力）=5+却学29,当且仅当为=〃，即〃=等时，等号成立，故B错误;

ab\ab）ab33

对C：a>/?>0t>*a1>b2>,故C正确；

a'b-

对D：由A“J知故log"+log?》=1暇而<1唱]=-2,当且仅当。=〃=!时，等号成立，故DjE

442

确.

故选：B.

[1039].（2022•上海市嘉定区第二中学模拟预测♦★★）

y>0

若实数x、>满足<工-"0,则z=2.r+y的最大值为.

2x-y<2

【答案】6

【解析】

【分析】

先画出不等式组表示的可行域，然后由z=2x+y,得y=-2x+z,作出直线），=-2x,向上平移过点A时,

目标函数取得最大值，求出点A的坐标，代入目标函数可求得结果

【详解】

不等式组表示的可行域如图所示

1

由z=2x+y,得y=-2x+z,作出直线y=-2x,向上平移过点A时，目标函数取得最大值，

x=2

由C，即4（2.2）,

0%得］J=2

所以2=2工+'的最大值为2又2+2=6,

故答案为：6

[1040].（2022•上海奉贤•二模•★★）

2x+y<3

x+2y<3

满足线性约束条件"的目标函数z=x+.v的最大值是_________.

x>0

y>0

【答案】2

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=x+y,找出使得该支线在），轴上的截距最大时对应的最优解,

代入FI标函数即可得解.

【详解】

2x+.y<3

作出不等式组，x+2y43所表示的可行域如下图所示:

x>0

y>()

平移直线z=x+y,当该直线经过可行域的顶点A时，直线z=x+y在)，轴上的截距最大，此时z取最大值,

即.=1+1=2.

故答案为：2.

[1041].(2022•内蒙古•乌兰浩特一中模拟预测

y>x

若变量X，满足约束条件，2文-y20,则z=x+2)，的最小值是______

x+y>1

【答案】*31.5

【解析】

【分析】

作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图：

z=x+2y,化简可得：y=-Lx+LZt由图可知，点A为最优解，

联立匕:;=1解得，名小所以心外

所以Zmin=；+2xg='|，

故答案为：I3

【1042】.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测•★★）

x+y-2>0

设工，1y满足约束条件,x-y-lKO,则z=2x+），的最大值为.

x-2y+2>0

【答案】11

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=），+2x,观察该直线在y轴上载距最大值即可求出答案.

【详解】

作出不等式组所表示的可行域，如下图，

平移直线z=y+2x,当直线y=-2x+z过点A时，z取得最大值，

1—V—1N0

r:,八，解得：A（4,3），所以Z取得最大值为：11.

{x-2y+2<0

故答案为：11.

[1043].（2022•上海虹口•二模）

9

函数/（x）=x+-（x>0）的值域为.

X

【答案】[6,内）

【解析】

【分析】

根据基本不等式即可解出.

【详解】

9/-

因为x>0,所以/（X）=X+—N279=6,当且仅当x=3时取等号.

故答案为：[6,+oc）.

[1044].（2022•江苏•阜宁县东沟中学模拟预测•★★★★）

01

己知。>0,b>0,直线）'=x+〃与曲线）=eZ-20+l相切，则4+工的最小值为

ab

【答案】8

【解析】

【分析】

设直线）'=x+a与曲线y=ei-2b+l相切于点（%,%），根据导数的几何意义先求出飞，进而得到关系

a+2b=\,再由均值不等式可得出答案.

【详解】

设直线y=x+4与曲线y=--23+1相切于点（必治）

由函数y=-2）+1的导函数为3，'=©i,则k