2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析 第3节 成对数据的统计分析

第3节成对数据的统计分析

考试要求1.了解样本相关系数的统计含义2了解一元线性回归模型和2X2列

联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.

知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.变量的相关关系

(1)相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，

这种关系称为相关关系.

⑵相关关系的分类：正相关和负相关.

(3)线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近,

我们就称这两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量

非线性相关或曲线相关.

2.样本相关系数

⑴相关系数，•的计算

变量x和变量y的样本相关系数，•的计算公式如工：

n

7)(^,—7)

/=!

(2)相关系数,•的性质

①当,>0时，称成对样本数据正相关；当时，成对样本数据鱼相关；当〃=0

时，成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为「一1,11.

当团越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当忻越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

(1)经验回归方程与最小二乘法

我们将;，=£+：称为y关于％的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公

式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求

得的儿。叫做小。的最小二乘估计，

其中

X(J-.一3)(匕—~y)一〃~I~y

X(J*,—.r)■£?：­)ix2

/-=1r-i

a=y-I)x,

(2)利用决定系数&2刻画回归效果

士('f)2

R2=1--.........

n/—、2

一"一”,R2越大，即拟合效果越好，R?越小，模型拟合效果越差.

4.列联表与独立性检验

⑴2X2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛“，X2)和户｝,其

2X2列联表为

y

X合计

y=y\y="

x=x\aba+b

X=X1cdc+d

合计a+cb-\-dn=a-\-b-\rc~\rd

(2)临界值

〃(cid—be)"

2

/=(W(一一忽略Z的实际分布与该近似分布的误

A(c+d)(a+c)(/?+人

差后，对于任何小概率值蜃可以找到相应的正实数后,使得夕(/2兄)=。成立.

我们称心为«的临界值，这个临界值就可作为判断“2大小的标准.

(3)独立性检验

基于小概率值Q的检验规则是：

当/2此时，我们就推断“0不成立，即认为x和y不独立，该推断犯错误为概

率不超过a；

当/〈此时，我们没有充分证据推断“。不成立，可以认为x和y独立.

这种利用Z2的取值推断分类变量X和y是否独立的方法称为/独立性检验，读

作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

下表给出了z2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

常用结论

1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数；应充分利用回归直线过样本点

的中心（x,y）.

2.根据经验回归方程计算的;，值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

3.根据/的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若/越大，则两分类变

量有关的把握越大.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）“名帅出高徒”口：以解释为教师的教学水平与学生的水平成止相关关

系.（）

⑵通过经验回归方程；=£+：可以估计预报变量的取值和变化趋势.（）

（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.（）

⑷事件x,y关系越密切，则由观测数据计算得到的好的值越大.（）

答案⑴J（2）V（3）7（4）7

2.（多选）在统计中,由一组样本数据（xi,yi）,（12,”），…，（枭”%）利用最小二乘

法得到两个变量的经验回归方程为；=£+；那么下列说法正确的是（）

A.相关系数「不可能等于1

B.直线；=晨+：必经过点（达），）

C.直线；=£+Z表示最接近），与x之间真实关系的一条直线

D.相关系数为厂，且仍越接近于1,相关程度越大；团越接近于（），相关程度越小

答案BCD

解析相关系数的取值范围是mwi,故A错误；直线;，=晨+：必过样本点中心

即点。，），），故B正确；直线;=£+：是采用最小二乘法求解出的直线方程，接

近真实关系，故C正确；相关系数，•的绝对值越接近于1,表示相关程度越强，

越接近于0,相关程度越弱，故D正确.

3.（2022♦烟台模拟）某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是

否有关，运用2X2列联表进行独立性检验，经计算/=7.069,则认为“学生性

别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（）

A.0.1%B.l%C.99%D.99.9%

答案B

2

解析VZ=7.O69>6.635=AO.OI,

・・・认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.

4.（2020.全国I卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率），和温度

武单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据

（如>7）（/=1,2,…，20）得到下面的散点图：

100%

80%

/60%

欠40%

10203040

温度/七

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为发

芽率），和温度元的经验回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y^a+bx2

C.y=〃+加'D.y=〃+blnx

答案D

解析由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近.

5.（易错题）随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二

孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，

结果如下表.

城市级别

二孩生育意愿合计

非一线一线

愿生452065

不愿生132235

合计5842100

n(ad-be)2

由/一

(a+〃)(c+d)(a+c)1+d)'

㈤，100X(45X22-20X13)?”,

得58X42X35X65^9.616.

参照下表:

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

根据小概率值”=0.01的独立性检验，可以得到的结论是.

答案生育意愿与城市级别有关

6.（2021・广州一模）若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额），（单位：万元）

之间有如下表所示的定应数据：

X24568

y2040607080

根据表中数据，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为（=晨十1.5,根

据预测，当投入10万元时，销售额的估计值为万元.

答案106.5

11

解析x=^X（24-4+54-6+8）=5,），=5义（20+40+60+70+80）=54,

・・・样本中心为（5,54）,

将其代入经验回归方程;，=,人十1.5中，有54=5,+1.5,解得,=10.5,

所以经验回归方程为（=1（）&+1.5,

A

当x=10时，＞'=10.5X10+1.5=106.5.

1考点突破,题型剖析

考点一成对数据的相关性

1.（2022.重庆诊断）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统

计表如下:

月份123456

人均销售额658347

利润率（%）12.610.418.53.08.116.3

根据表中数据，下列说法正确的是（）

A.利润率与人均销售额成正相关关系

B.利润率与人均销售额成负相关关系

C.利润率与人均销售额成正比例函数关系

D.利润率与人均销售额成反比例函数关系

答案A

解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系,

排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误.

2.下列四个散点图中，变量工与），之间具有负的线性相关关系的是（）

A

y

••

o

c

答案D

解析观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量X与y之间具有负

的线性相关关系.

3.在一组样本数据（%i,yi）,⑴,户），…,（xnt词（〃22,xi,JO,…，工”不全相

等）的散点图中，若所有样本点（r,刈0=1,2,…，〃）都在直线），=一5+1上,

则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.-lB.OC.-|D.1

答案A

解析因为样本点在直线y=-%+l上，呈现完全负相关，样本相关系数为-

1.

4.两个变量），与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数炉

如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A.模型1的决定系数A?为0.98

B.模型2的决定系数火2为0.80

C.模型3的决定系数网为0.50

D.模型4的决定系数R2为0.25

答案A

解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的决定系数R?越接近1,模型拟合

效果越好，在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.

感悟提升判断相关关系的两种方法：

（1）散点图法：如果样木点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就

有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有

线性相关关系.

（2）决定系数法：利用决定系数判定，N越趋近1,拟合效果越好，相关性越强.

考点二回归分析

角度1线性回归分析

例1（2021・广州模拟）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量），（百千克）与

某种液体肥料每亩使用量M千克）之间的对应数据的散点图如图所示：

）（百千克）

r

6-----------------

5.....................：

4-------•::

3---：：：：

°24568%（千克）

⑴依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与工的关系，请计算相

关系数并加以说明（若团＞0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求），关于犬的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红

柿亩产量的增加量约为多少.

附：相关系数

n

^Xiyi-nxy

经验回归直线;，=鼠+：的斜率和截距的最小二乘估计分别为一=

〃〃——

g（XLx）（y，-y）gx»一yA一八一

'H：=一"；），a=y-bx.

£（XLX）2YyXT-nX1

2+4+5+6+8_

解⑴尸c=5

3+4+5+6+7

产s=5.

g(H—x)G，/—y)=(—3)X(—2)+(—l)X(—l)+0X0+lX1+3X2=14,

玄(X/-X)2=(-3)24-(-1)2+02+12+32=20,

5-

X(>>/-y)2=(-2)2+(-l)2+02+l2+22=10.

:"1

=淋5=3

・•・可用线性回归模型拟合,，与X的关系.

5--

AX（H-X）（V一），）14

Q）b=5=-9?）-0.7,

£（刘一x）2

则。=厂"=5—0.7乂5=1.5,

/.y=0.7x+1.5.

A

当x=12时，y=0.7X12+1.5=9.9,

・・・预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千

克.

角度2非线性回归分析

例2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费犬(单位：

千元)对年销售量)，(单位：t)和年利润Z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传

费*和年销售量2,…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一

些统计量的值.

v620

甘6(K)

芋5«()♦*

奈56()♦

萍540.

3520

500♦

4«0

4042i1464«5()56

年宣传戕/千元

8£⑴L

8-8-

)2)2

XyW苫(Xi-X篙(Wi-W

-y)助•(y—y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中助=«,W=-^JVi.

⑴根据散点图判断y=a^bx与＞=c十八&哪一个适宜作为年销售量)，关于年宣

传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立)，关于R的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与X,y的关系为z=0.2)，一工

根据⑵的结果回答下列问题：

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据。1),(〃2,V2),…,(〃”,C'〃)，其回归直线。=。+//的斜

率和截距的最小二乘估计分别为：

n~~

Ag(Ui~u)(OLU)A-A-

n-,O.-V-B

宫(〃L〃)2

解(1)由散点图可以判断，y=c+，M.适宜作为总销售量关于年宣传费工的回

归方程类型.

(2)令讪=,,先建立y关于训的线性回归方程，由于

8一一

Ag（如一“）-（y—y）108.8

d=8="T?~=68，

（wi—w）-.

c=y一由0=563—68X6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为;=100.6+68〃，，因此y关于x的回归方程为；=

100.6+68也.

(3)①由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值

A

y=100.6+68相=576.6,

年利润z的预报值

2=576.6X0.2-49=66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

A

Z=0.2X(100.6+685)—X

——x+13.6m+20.12.

所以当-2—=6.8,即1=46.24时,

;取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

n--

A

Ay八-

感悟提升(1)求经验回归方程：利用公式方=———一一求从利用。=》一以求

Y^cr—nx1

a,写出经验回归方程.

(2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当仍越趋近于1时，两

变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R?越大,拟合效果越好.

(3)非线性经验回归方程转化为线性经脸回归方程的方法

AAAAAAAAA

①若y=〃+Z?S，设t=yjxt则)，=。+初；②若满足对数式：y=a+Z?lnx,设t

AAA

=lnxf则丁=。+4；③若满足指数式：y=cie，2x,两边取对数解Iny=lnci+czx,

3殳z=lny,/7=lnci,/?=c?,如Iz=〃+/zx.

训练1下图是某地区2（）05年至2021年环境基础设施投资额），（单位：亿元）的折

线图.

为了预测该地区2023年的环境基础设施投资额，建立了），与时间变量/的两个

线性回归模型.根据2005年至2021年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…，

17）建立模型①：；，=—30.4+13.5，；根据2015年至2021年的数据（时间变量，的

值依次为1,2,…，7）建立模型②：；=99+17.5/.

⑴分别利用这两个模型，求该地区2023年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解（1）利用模型①，该地区2023年的环境基础设施投资额的预测值为；=-30.4

+13.5X19=226.1（亿元）.

利用模型②，该地区2023年的环境基础设施投资额的预测值为

A

y=99+17.5X9=256.5（亿元）.

⑵利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（i）从折线图可以看出，2005年至2021年的数据对应的点没有随机散布在直线

），=-30.4+13.5/上下，这说明利用2005年至2021年的数据建立的线性模型①

不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2015年相对2014年的环境基

础设施投资额有明显增加，2015年至2021年的数据对应的点位于一条直线的附

近，这说明从2015年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利

用2015年至2021年的数据建立的线性模型），=99+17.5,可以较好地描述2015

年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可

（ii）从计算结果看，相对于2021年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①

得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比

较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.

考点三独立性检验

例3（2020•全国W卷）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等

级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

炼人次

空气质量等小[0,2001(200,4001(400,600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

⑵求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质

量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X2

列联表，并根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为一天

中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次W400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

n(ad-be)2

附：关=(〃+Z?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

a0.0500.0100.001

Q3.8416.63510.828

解（1）由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值

如下表：

空气质量等级~~1~~~~~3~~4

概率的估计值0.430.270.210.09

(2)一天中到该公园锻煤的平均人次的估计值为

击(1()0X20+300X35+50()X45)=35().

(3)根据所给数据，可得2X2列联表：

人次W400人次>400

空气质量好3337

空气质量不好228

零假设为Ho:

一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.

根据列联表得

,100X(33X8-22X37)2

刀二55X45X70X30^5.820>3,841=笈.

根据小概率值。=0.050的/独立性检验，可推断Ho不成立，所以在犯错误的概

率不超过0.05的前提下，可认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气

质量有关.

感悟提升1.在2X2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足./一bc^.\ad

一区|越小，说明两个变量之间关系越弱；|公/一庆|越大，说明两个变量之间关系

越弓支

2.解决独立性检险的应用问题，一定要按照独立性检脸的步骤得出结论.独立性检

脸的一般步骤：

(1)根据样本数据制成2X2列联表:

(2)根据公式/=

__________一(ad-be)2__________笆2

(〃+£>)(〃+c)(6+d)(c+d))"'

(3)通过比较z2与临界值的大小关系来作统计推断.

训练2(2021•全国甲卷改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级

品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产

品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)依据小概率值«=0.01的独立性检验分析甲机床的产品质量与乙机床的产品

质量有差异.

..,___________〃(ad-be)2____________

附：丈=(a+b)(c+d)(〃+c)()+d)'

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是薪=0.75,乙

机床生产的产品中一级品的频率是指=06

⑵需假设Ho为：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.

根据题表中的数据可得

,400X(150X80—120X50)2400「_

元=200X200X270X130=骸弋1O.256>6.635=XO.OI.

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断从不成立，即认为甲机床的产

品质量与乙机床的产品质量有差异.

此推断犯错误的概率不大于0.01.

I分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数

据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的

是()

脂肪含量/%

35

30

25

20

15

1()

5

°1520254)354045505560年龄/岁

A.人体脂肪含量与年龄止相关,且脂肪含量的中位数等于20%

B.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%

C.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%

D.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%

答案B

解析观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于

20%.

2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做试验，并用回

归分析方法分别求得样本相关系数〃与残差平方和加，如下表:

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

则哪位同学的试验结果体现A,B两个变量有更强的线性相关性?

A.甲BZC.丙D.T

答案D

解析「越大，加越小，线性相关性越强.

3.（2022・南昌模拟）某公司在2015〜2019年的收入与支出情况如下表所示:

收入M亿元）2.22.64.05.35.9

支出），（亿元）0.21.52.02.53.8

根据表中数据可得经验回归方程为;=0.8工+〃，依此估计该公司收入为8亿元时

的支出为（）

A.4.2亿元B.4.4亿元

C.5.2亿元D.5.4亿元

答案C

解析根据表中数据，计算x=：X（2.2+2.6+4.0-5.3+5.9）=4,），=：X（0.2+1.5

JJ

+2.0+2.5+3.8)=2,

••a=y-0.8x=2—0.8X4——1.2,

经验回归方程为;，=().网一1.2,

当x=8时，y=0.8X8—1.2=52

4.已知某地的财政收入x与支出），满足经验回归方程;，=葭+：+贸单位：亿元），

其中.=0.8,：=2,|0<0.5,如果今年该地区的财政收入为1（）亿元，那么支出

预计不会超过（）

A.9亿元B.10亿元

C.9.5亿元D.10.5亿元

答案D

解析），=0.8X10+2+e=10+eW10.5.

5.（多选）（2022.衡水调研）己知变量x,y之间的线性经验回归方程为;，=-0.71+

103,且变量达y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（）

A.变量X,y之间成负相关关系

B.可以预测，当x=20时，y=-3.7

CJ〃=4

D.该经验回归直线必过点（9,4）

答案ABD

解析由-0.7V0,得变量x,y之间成负相关关系，故A正确；

A

当x=20时，y=-0.7X20+10.3=-3.7,故B正确；

1111+〃2

由表格数据可知x=WX（6+8+10+12）=9,3=1乂（6+机+3+2）=^—,则

旦产=-0.7X9+10.3,解得机=5,故C错误；

由m=5,得尸6+平+2=4,所以该回归直线必过点（9,4）,故D正确.

6.（多选）（2021•枣庄模拟）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查

了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得

到如下所示的列联表，经计算三弋4.762,则可以推断出（）

不满意

男3020

女4010

a0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

3

A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为段

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意

C.认为男、女生对该食堂服务的评价有差异此推断犯错误的概率不超过0.05

D.认为男、女生对该食堂服务的评价有差异此推断犯错误的概率不超过0.01

答案AC

（）

解析对于A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为不言3彳=]3,故A

JUINUJ

正确；

对于B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为而40*=]4＞]3,故B错误;

因为＞3.841=知.05,认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推

断犯错误的概率不超过0.05,故C正确，D错误.

7.己知x和），的散点图如图所示，在相关关系中，若用y=oe3拟合时的决定系

数为此，用;=£+:拟合时的决定系数为心，则用，阳中较大的是.

3M\

rl

2(nM|\

M7

25X/1

1nX

1(M

X3nM

-A

(789

M5

答案必

解析由散点图知，用拟合的效果比;二鼠+联拟合的效果要好，所以

呼＞虺,故较大者为催

8.某市物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5

家商场的售价M元/件）和销售量），（件）的数据如下表所示：

售价X99.5m10.511

销售量yIIn865

由散点图可知，销售量），与售价X之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程

是y=-3.2x+40,且阳+〃=20,则其中的〃=.

答案10

9+9.5+"?+10.5+11m

解析-------------5-------------=8+亍

11+〃+8+6+5,।〃

产------5----------=6+小

回归直线一定经过点（x,y）,

即6+2=—3.2（8+1）+40,即3.2m+〃=42.

=

又mn201所以〃，=10,〃=10.

9.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作月，把500名使用血清的人与另

外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设Ho；“这种血清

不能起到预防感冒的作用”，利用2X2列联表计算得^^3.918,经查临界值表

知回.05=3.841.则下列结论中，正确结论的序号是.

①认为“这种血清能起到预防感冒的作用”犯错误的概率不超过0.05；②若某人

未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的

有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.

答案①

解析/^3.918^3.841=^.05,所以认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，

这种推断犯错误的概率不超过0.05.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清

预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混清.

10.某城市地铁将于2023年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价

格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：

月收入（单[15,[25,[35,[45,[55,[65,

位：百元）25)35)45)55)65)75]

赞成定价

123534

者人数

认为价格偏

4812521

高者人数

(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定

价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；

(2)由以上统计数据填下面2X2列联表，依据小概率值。=0.()1的独立性检验，

可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.

人均月收入

对地铁定

不低于55百低于55百

价的态度合计

元的人数元的人数

认为价格偏高者

赞成定价者

合计

附：/=(a+b)(；；累(b+d)，其中”=a+8+c+d

参考数据：

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

解(1)“赞成定价者”的月平均收入为川=

20X1+30X2+40X3+50X5+60X3+70X4

1+2+3+5+3+4

心50.56.

“认为价格偏高者”的月平均收入为X2=

20X4+30X8+40X12+5QX5+6QX2+70X1

4+8+12+5+2+1

=38.75,

.,・“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是Xi-x2=50.56

一38.75=11.81(百元).

(2)根据条件可得2X2列联表如下：

人均月收入

对地铁定

不低于55百低于55百元合计

价的态度

元的人数的人数

认为价格偏高者32932

赞成定价者71118

合计104050

零假设为"o：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异.

50X(3X11-7X29)2

一心6.27<6.635=xo.oi，

r=10X40X18X32

，根据小概率值。=0.01的独立性检验，没有充分证据推断“0不成立，因此可

以认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”.

11.(2020・全国H卷)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数

量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地

块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取2(1个作为样区，调查得到样本数

据⑶，＞7)(/=1,2,20),其中为•和y分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单

202020-

位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得名即=60,gv=l200,g(x-x)2

20-20

=8(),NGLy)2=9000,苫(Xi-x)(yi-y)=800.

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这

种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

⑵求样本(H,yi)(i=1,2,…，20)的相关系数(精确到0.01)；

⑶根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以

获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一•种你认为更合理的抽样方

法，并说明理由.

附：样本相关系数〃=

gCxi-x)(yi-y)

u“•,72^1.414.

§(xi~x)2g(y—y)2

解⑴由已知得样本立均数为y=去1否20y，=60,从而该地区这种野生动物数量的

估计值为60X200=12000.

(2)样本(H,yi)(i=1,2,…，20)的相关系数为

20~

否(XLX)("一))

(X/-X)2£(/一)，)2

8002^2

N0.94.

—480X900()―3

(3)分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对20()个地块进行

分层随机抽样.

理由如下：由⑵知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关

关系.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差

异也很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致

性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

B级能力提升

12.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是

()

A.若/=6.635,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，

那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌

B.由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患捕癌

有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌

C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有

关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误

D.以上三种说法都不正确

答案C

解析独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多

大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注

意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误

的解释.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过().()1的前提下认为吸烟与患肺

癌有关系，是指有1%妁可能性使得判断出现错误.

13.(2022•海南调研)在一组样本数据3,yi),(xi,(北,泗)的散点图中