2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第1节　1.2　探究和开放性问题

数学1.2探究和开放性问题数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.开放性问题在2021年全国新高考卷中首次出现.近几年的开放性试题的分类主要有条件开放型、结论开放型、综合开放型、情景开放型、解法开放型等.在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用,同时也给不同层次的考生提供了充分发挥自己数学能力的空间.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.例1

(2021新高考Ⅱ卷,14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):

.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.[思维路径]

学友聊斋例2

(2022新高考Ⅰ卷,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:

.

[思维路径]

学友聊斋

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1考查带参数的正弦型函数的图象性质,体现复合函数的分析方法2考查带参数的正弦型函数的对称性,注意参数的取值范围3考查直线与抛物线的位置关系,注意过定点直线系的设法4考查正弦型函数的图象性质,正弦型函数周期的求法

B组

综合性题组题号选题理由1考查双曲线的图象性质,双曲线渐近线的夹角2考查三角形三边关系在动态条件下的应用,涉及数列和不等式的综合分析3考查双曲线的图象性质,双曲线渐近线的斜率4考查离散型随机变量的分布列,注意对题意的理解和转化1.(☆)(2025山东潍坊模拟,多选题)已知A,B,C,D四点均在双曲线E:x2-y2=1上,则四边形ABCD可能为(

AC

)A.等腰梯形

B.菱形C.矩形

D.正方形

2.(☆☆)(2025上海卷,16)已知数列{an},{bn},{cn}的通项公式分别为an=10n-9,bn=2n,cn=λan+(1-λ)bn,若对任意的λ∈[0,1],an,bn,cn的值均能构成三角形,则满足条件的正整数n有(

B

)A.4个

B.3个

C.1个

D.无数个

C组

应用性题组题号选题理由1考查利用导数分析函数的单调性和最值,注意实际问题定义域2考查弦长公式,正弦定理和余弦定理,空间几何体体积3考查空间向量在立体几何中的应用,求空间线面夹角4考查导数的综合应用问题,涉及函数的零点和不等式证明

2.(☆☆)(2025福建厦门模拟,多选题)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图,球O的半径为R,A,B,C为球面上三点,劣弧BC的弧长记为a,设Oa表示以O为圆心,且过B,C的圆,同理,圆Ob,Oc的劣弧AC,AB的弧长分别为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形,若a=b=c,则称其为曲面等边三角形,平面OAC,OBC,OAB与曲面三角形ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥,记为球面三棱锥O-ABC.

3.(☆☆☆)(2025上海浦东二模)如图,四边形ABCD为长方形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=3.(1)若E,F分别是PB,CD的中点,求证:EF∥平面PAD;(2)线段BC上是否存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为30°?若存在,求BG的长;若不存在,说明理由.

D组

创新性题组题号选题理由1考查解三角形和平面动态轨迹问题,通过引入角度构造函数求范围最值2考查概率乘法公式和随机变量的均值,注意列举随机变量时应不重不漏3考查全概率公式和随机变量的分布列,情境创新需具备较强的逻辑思维能力4考查新定义的数列变换和充要条件的证明,需具备较强的逻辑推理能力

2.(☆☆☆)(2025浙江温州二模)网页排名算法是某搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是通过分析网页之间的链接关系,评估每个网页的相对重要性.假设一个小型的互联网由A,B,C,D四个网页组成,它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接,假设某用户从网页A开始浏览(记为第1次停留).(1)求该用户第3次停留在网页D上的概率;(2)某广告公司准备在网页B,C中选择一个投放广告,以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页?请说明理由.

3.(☆☆☆☆)(2025江苏七市二模)经典比特只能处于0态或1态,而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有p的概率发生改变,记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.

4.(☆☆☆☆)(2024北京卷,21)已知集合M={(i,j,k,w)|i∈{1,2},j∈{3,4},k∈{5,6},w∈{7,8},且i+j+k+w为偶数}.给定数列A:a1,a2,…,a8和序列Ω:T1,T2,…,Ts,其中Tt=(it,jt,kt,wt)∈M(t=1,2,…,s),对数列A进行如下变换:将A的第i1,j1,k1,w1项均加1,其余项不变,得到的数列记作T1(A);将T1(A)的第i2,j2,k2,w2项均加1,其余项不变,得到的数列记作T2T1(A);…;以此类推,得到数列Ts…T2T1(A),简记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出Ω(A).(2)是否存在序列Ω,使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4?若存在,写出一个Ω;若不存在,说明理由.(3)若数列A的各项均为正整数,且a1+a3+a5+a7为偶数,求证:“存在序列Ω,使得Ω(A)的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.

(3)证明:设数列A经C次变换,Ω(A)为a1+m,a2+n,a3+p,a4+q,a5+s,a6+t,a7+u,a8+v,则有m+n=p+q=s+t=u+v=C.若a1+m=a2+n=a3+p=a4+q=a5+s=a6+t=a7+u=a8+v,则a1+m+a2+n=a3+p+a4+q=a5+s+a6+t=a7+u+a8+v,又m+n=p+q=s+t=u+v,所以a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8,必要性得证.若a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=y,y∈N*,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=4y.因为a1+a3+a5+a7为偶数,所以a2+a4+a6+a8为偶数.由i+j+k+w为偶数,可得m+p+s+u为偶数,n+q+t+v为偶数,故存在a1+a3+a5+a7+m+p+s+u=a2+a4+a6+a8+n+q+t+v的情形.又a