2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第1节　1.3　数学转化

数学1.3数学转化数学转化是指借助数学知识与数学方法,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,把有待解决或难以解决的问题转化并归结为一类比较容易解决或已经解决的问题,使原有问题得到最终解决的一种思维和策略.数学转化的本质是揭示内在联系、实现本质转化,它是一切数学思想方法的核心,是解决问题的有效策略,也是获取成功的思维方式.

[思维路径]

[答案]ABC学友聊斋

[思维路径]

[思维路径][解题过程]

(1)(1,2),(1,6),(5,6).(2)证明:当m≥3时,将数列a1,a2,…,a4m+2剔除a2和a13后,剩余的项可以平均分成如下m组:a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14;…;a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2.以上各组的四个数依次成等差数列.故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列.(3)证明:记使数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列的(i,j)有bm组.当m变为m+1时,数列a1,a2,…,a4m+2变为a1,a2,…,a4m+2,a4m+3,a4m+4,a4m+5,a4m+6,可将其分为3组.第1组:(a1,a2,a3,a4).第2组:(a5,a6,…,a4m+2).第3组:(a4m+3,a4m+4,a4m+5,a4m+6).①当ai,aj都在第2组时,数列a5,a6,…,a4m+2共有4m-2项,相当于把m换成了m-1,所以此时的(i,j)共有bm-1组.②当ai在第1组,aj在第2组,或ai,aj都在第1组时,前两组组成的数列共有4m+2项,用排除法可知,此时的(i,j)共有bm-bm-1组.

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1本题需将命题q转化为正弦函数性质进行简化,然后结合充分必要条件的定义即可判断2需要利用等比数列的性质及前n项和公式对已知式进行转化,进而求解3通过平移,将异面直线夹角转化为同一平面的两直线夹角,利用余弦定理求解4将函数的递推式,转化为函数的周期定义式,利用周期性求f(2

025)的值5

4.☆☆(2025湖北武汉二模)函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+f(x+2),若f(1)=2,f(11)=3,则f(2025)=(

D

)A.1 B.-1 C.5

D.-5[解题过程]

由题意可得f(x+2)=f(x+1)-f(x),用x+1代替x可得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),两式相加得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数,所以f(11)=f(5)=3.又f(5)=-f(2),所以f(2)=-3,所以f(3)=f(2)-f(1)=-3-2=-5,所以f(2

025)=f(337×6+3)=f(3)=-5.故选D.

B组

综合性题组题号选题理由1由题设实现an与Sn的转化,再结合数列各项正负情况去绝对值即可求解2根据题意,对解析式进行适当的转化和变形,然后判断函数的奇偶性和单调性,最后进行求解3根据复数模的定义,我们可以将复数的长度转换为两点间的距离,进而确定动点P的轨迹,并通过逐项求解来获得结果4(1)将边转化角或角转化边来求得cos

A,即得角A;(2)结合图形,将大三角形的面积转化为两个小三角形的面积之和,根据面积相等列方程求解即可题号选题理由51.☆☆(2025天津卷,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(

C

)A.112 B.48

C.80

D.64[解题过程]

因为Sn=-n2+8n,所以当n=1时,a1=S1=-12+8×1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9,经检验,a1=7满足上式,所以an=-2n+9(n∈N*).当an>0时,n≤4;当an<0时,n≥5.所以{|an|}的前12项和T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80.故选C.2.☆☆(2025广东大湾区一模)设函数f(x)=ln(e2x+1)+|x|-x,则不等式f(2x-1)-f(x+1)≤0的解集为(

B

)A.(-∞,2] B.[0,2]C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞)

3.☆☆(2025河南郑州二模,多选题)已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则下列说法正确的是(

ABC

)A.|z|≤2B.|z-1|≥1C.若z∈R,则|z|=2D.若z2∈R,则|z|=2

C组

应用性题组题号选题理由1观察分段函数的特点,结合x的取值范围,对不等式进行变形转化,进而转化成求最值,即可求解2通过换底换高将体积比进行转化,利用向量等式得到高之比,根据棱锥的体积公式,即可求得答案3联想指数函数、对数函数的图形特点,将问题转化成公共点个数进行求解4根据已知,选择基底,实现向量的转化,借助夹角,将数量积转化为三角函数,利用三角函数式求值5(1)考查点的轨迹问题,利用曲线的定义求解方程;(2)结合不同解题思路,转化出|PQ|的表达式,求其最小值

5.☆☆☆(2025福建厦门一模)已知动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=9内切,且与圆C2:(x-1)2+y2=1外切,记圆心M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设点P,Q在C上,且以PQ为直径的圆E经过坐标原点O,求圆E面积的最小值.

D组

创新性题组题号选题理由1分析两个函数的单调性,求出它们的值域,再根据函数的值域相同,得到一个方程组,进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解2根据新定义对曲线方程进行转化,结合图象来确定选项的对错3明确新定义的内涵和要求,根据曲线方程的特点,分别从对称性、顶点个数、与直线的交点个数以及动点到定点距离最值等角度出发,转化为相应的数学知识和方法进行分析题号选题理由4(1)应用线面、面面垂直的判定定理直接进行证明;(2)根据给定的点法式和一般式的定义,转化为求解平面的法向量;构建合适的空间直角坐标系,应用向量法求面面角的余弦值,进而可求正弦值5仔细阅读,充分理解题意,通过特例理清解题思路,再转化为一般情形,根据概率、组合数的性质,结合导数化简,求出期望,再利用作差比较法判断单调性,利用单调性确定取值范围即可

3.☆☆☆(2025四川成都二模)对于一个平面图形,如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形,则称这个图形被这个圆能够完全覆盖,其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆,则曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0的最小覆盖圆的半径为

2

.

[解题过程]

因为把x换成-x,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于y轴对称;因为把y换成-y,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于x轴对称;因为把x换成-x,同时把y换成-y,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于坐标原点对称;因为把x换成y,同时把y换成x,方程不变,所以曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0关于直线y=x对称,因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点,从而最小覆盖圆的半径为曲线x4+y4-x2y2-x2-y2=0上点到原点距离的最大值.

4.☆☆(2025陕西咸阳二模)在空间直角坐标系中,若平面α过点P(x0,y0,z0),且平面α的一个法向量为n=(a,b,c),则平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,该方程称为平面α的点法式方程,整理后为ax+by+cz+t=0(其中t=-ax0-by0-cz0),该方程称为平面α的一般式方程.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,点E,F分别为棱AC,CC1的中点,AB⊥AC.(1)求证:平面A1B1E⊥平面ABF;(2)若AC=AB=2.(ⅰ)求平面A1B1E的点法式方程和一般式方程;(ⅱ)求平面A1B1E与平面BEC1所成二面角的正弦值.

因为AB⊥AC,且AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以AB⊥平面ACC1A1,又A1E⊂平面ACC1A1,所以AB⊥A1E.因为AF∩AB=A,且AF,AB⊂平面ABF,所以A1E⊥平面