2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第2节　2.1　运算与数据处理能力

数学第二节数学运算能力能力阐释数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求解运算结果等.通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟严谨求实的科学精神.能力表现数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理,也是计算机解决问题的基础.进行数学运算的思维路径如下:

第一步:理解运算对象理解运算对象就是要明确地知道对谁进行运算、进行什么运算、运算对象的本质是什么.理解运算对象是正确进行数学运算的前提和根本.只有做到心中有数,才能利用运算对象的概念、性质等选择适当的运算方法进行后续的运算,才能更好地解决数学问题.通过审题、数形结合明确本题运算对象为△OBC的面积.第二步:掌握运算法则掌握运算法则是正确解决数学运算问题的关键.不同的运算对象有不同的运算法则,只有正确理解了运算对象,熟练灵活地选择相应的运算法则,才能正确解答运算题.数学运算法则的使用不是生搬硬套,而是在熟记和理解的基础上灵活运用,做到正用、逆用、变形用,从而达到综合应用.本例中为了表达△OBC的面积,涉及的运算法则有直线方程的设法、点到直线的距离公式、三角形面积公式、根与系数的关系等.第三步:探究运算思路运算思路是进行数学运算的路线图,具有很强的逻辑性,蕴含着丰富的演绎推理过程.近年来,高考试题更注重数学思维和思想方法的考查,其目的就是为了“反套路”和杜绝“机械刷题”现象,从而提高学生的数学核心素养.运算思路是体现数学运算素养的精华,是解决数学问题的关键,通过探究运算思路,能够促进数学思维发展.因而,只有实现数学知识与数学思维和思想方法的有机整合,培养学生利用数学思想方法解题的意识和能力,才能促进学生优化运算方法和思路,更好地理解数学,体会数学的美.

第四步:求得运算结果求得运算结果需要正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路.在高中阶段,求得运算结果的能力分为应用运算能力和过程运算能力.应用运算能力主要考查根据已知量算出未知量的运算技能.而高考题重点不在于应用运算,而在于过程运算,过程运算能力基于应用运算能力,是理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、求得运算结果的综合体现.因此,在数学运算的学习与实践中,不但要知道运算是一种重要的工具和方法,更重要的是一种思维模式,即“理性思维”.数学运算的训练还有助于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和批判性能力等.上例中学生在正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路的基础上,便可成功获得如下正确运算结果.

运算技能是依据运算法则和运算程序,对运算对象实施数学变形的技巧和能力,是求得正确结果的必备技能.培养运算技能,有助于我们理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题.在解决问题时,要尝试发现数学运算中隐含的规律,这有助于深入理解数学问题,培养逻辑和分析能力;要尝试从各个角度考虑可能的解决方案,这有助于培养创造力,提高解决问题的能力;要进行反复的数学计算和操作,从而使数学运算成为一种自然而然的思考方式;还要学会将复杂的数学问题拆分成更小的部分,并找到更简单的解决方法.通过运算促进数学思维发展,形式规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.能力评价水平质量描述水平一能够在熟悉的数学情境中了解运算对象,提出运算问题.能够了解运算法则及其适用范围,正确进行运算;能够在熟悉的数学情境中,根据问题的特征建立合适的运算思路解决问题.在运算过程中,能够体会运算法则的意义和作用,能够运用运算验证简单的数学结论.在交流的过程中,能够用运算的结果说明问题水平质量描述水平二能够在关联的情境中确定运算对象,提出运算问题.能够针对运算问题,合理选择运算方法设计运算程序来解决问题.能够理解运算是一种演绎推理;能够在综合利用运算方法解决问题的过程中,体会程序化思想的意义和作用.在交流的过程中,能够借助运算探讨问题水平三在综合情境中,能把问题转化为运算问题,确定运算对象和运算法则,明确运算方向.能够对运算问题构造运算程序,解决问题.能够用程序化的思想理解与表达问题,理解程序化与计算机解决问题的联系.在交流的过程中,能够用程序化思想理解和解释问题高考链接高考题重视对数学运算能力的考查,小到运用运算公式进行数值计算,大到通过探究运算思路选择运算方法都有涉及.从考查方式来看,主要是和其他知识点结合,运用记忆、理解、推理的方式沟通不同的知识点,建构解决问题的思路.集合、复数、向量、指对幂函数等内容的考查以运算法则和性质定理为主,圆锥曲线、导数等内容的考查以运算思路和演绎推理为主,三角函数、解三角形、数列、概率统计等内容的考查以运算方法为主.近3年高考中考查数学运算能力的试题分布情况如下:关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学运算运算与数据处理能力7,13,164,8,9,12,13,15167理13,理1710,2013文3,文8,理4,理19,理20理15,理17,文17关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学运算运算路径选择能力10,18,1911,16,18166,7,8,13,15,16,19理4,文46,16,20,215,6,8,14,17,18文7,文10,理11,理16,理17,理20,理21文6,理9估值与近似计算能力15

94理17919文19,理19

2.1运算与数据处理能力新高考背景下,对数学的考量标准由单一成绩考量向多维度考量方向发展.高中生的运算与数据处理能力也是考量标准重要的组成部分,其对学生数学素养的提升及学生今后的成长具有不可小觑的作用.在平时的学习中,首先要加强对数据的直接感官,掌握收集、整理、分析、抽取、运用数据的相应手段;其次,要学会在实际案例中收集、整理数据并得出相应结论,避免出现死记硬背、机械套用公式等现象,学会从实际案例中感知数据的重要性,充分培养数学思维.

学友聊斋例2

(2024全国甲卷,理17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:单位:件车间优级品合格品不合格品合计甲车间2624050乙车间70282100合计96522150(1)填写如下列联表:单位:件车间优级品非优级品甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[思维路径][解题过程](1)单位:件车间优级品非优级品甲车间2624乙车间7030

学友聊斋

[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1借助频率分布直方图进行数据处理,考查平均数、百分位数的计算2通过观察条件式的结构特点,熟练选择三角恒等变换公式求解问题3通过观察条件式的结构特点,准确选择向量公式求模长45把握对等比数列基本量的求解,考查运算求解能力1.☆(2025河北廊坊模拟,多选题)某商场统计了180天的日收入(单位:万元),并分组如下:[0,2),[2,4),[4,6),…,[10,12],得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是(

AD

)A.这180天中日收入不低于8万元的有54天B.用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天,则这14天中有6天的日收入低于4万元C.这组数据的平均数约是5万元(每组数据以区间中点值为代表)D.这组数据的第75百分位数为8.5万元[解题过程]由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有(0.100+0.050)×2×180=54(天),故A正确;日收入低于8万元的各组[0,2),[2,4),[4,6),[6,8)的频率比为0.050∶0.075∶0.100∶0.125=2∶3∶4∶5,所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天,各组抽取的天数依次为2,3,4,5,则这14天中有2+3=5(天)的日收入低于4万元,故B错误;这组数据的平均数是(0.050×1+0.075×3+0.100×5+0.125×7+0.100×9+0.050×11)×2=6.2(万元),故C错误;

B组

综合性题组题号选题理由1抽象出问题情境中的数学问题是解题关键,综合考查等比数列和二项式定理2考查圆台的基础知识,突出空间想象和运算求解能力3本题综合考查直线与圆、圆与圆的位置关系4通过观察条件式的结构特点,合理构造即可求出数列的通项公式

C组

应用性题组题号选题理由1结合问题情境,考查化学器皿即圆台的体积公式2以“进位制”转化为背景,考查二项式定理3理解“马赫数”的概念,运用对数式与指数式的互化解决问题4综合考查等差数列基本量的运算、裂项相消法求和以及数列中的恒成立和最值问题,对运算求解能力有较高要求

D组

创新性题组题号选题理由1通过题目设置的新情境,考查椭圆的离心率2根据结构式特点,证明等差数列并求解数列的通项公式,并在此基础上结合导数考查错位相减法,题目创新意识强3以新定义的比赛为背景,综合考查概率分布列、条件概率、全概率公式及证明不等式4以等腰三角形的循环变换为背景,从特殊到一般,层层递进考查解三角形知识

X135P

4.☆☆☆☆(2025山东济南二模)如图,已知给定线段B1C1长为2,以B1C1为底边作顶角为θ(0°<θ≤90°)的等腰三角形A1B1C1,取△A1B1C1的腰A1B1的三等分点B2,C2(B2靠近A1),以B2C2为底边向△A1B1C1外部作顶角为θ的等腰三角形A2B2C2……依次类推,取△An-1Bn-1Cn-1的腰An-1Bn-1的三等分点Bn,Cn(Bn靠近An-1),以BnCn为底边向△