2026高考蓝皮书高考关键能力培养与应用第2节　2.3　估值与近似计算能力

数学2.3估值与近似计算能力估值与近似计算采用近似处理的手段简化问题,是一种数学运算的方法技巧.它是以正确的算理为基础,采用近似的计算公式和方法等,使问题迅速、快捷地解决.估值与近似计算能力是一种较高层次的数学能力.例1

(2023新高考Ⅰ卷,12,多选题)下列物体中,能被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

)A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体[思维路径]

图①图②学友聊斋例2

(2023北京卷,18)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率.(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率.(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)[思维路径]

学友聊斋例3

(2025新高考Ⅰ卷,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:组别检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000

P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[思维路径]

学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1通过频率分布直方图,考查百分位数2借助问题情境,对满足正态分布的变量的概率进行合理估计3以遗忘曲线为背景,结合对数运算法则,考查基本运算能力4考查经验回归直线的有关知识1.☆(2025湖北省十一校一模)某工厂生产了500件产品,质检人员测量其长度(单位:厘米),将测量数据分成6组,整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过a厘米,根据直方图估计,下列最接近a的数是(

C

)A.93.5 B.94.1

C.94.7 D.95.5[解题过程]观察频率分布直方图,得1-0.05×1=0.95,1-(0.05+0.15)×1=0.8,0.8<0.9<0.95,则a∈(94,95),(a-94)×0.15+0.8=0.9,所以a≈94.67,与94.67最接近的数为94.7.故选C.

B组

综合性题组题号选题理由1借助问题情境,对满足正态分布的变量进行合理概率估计2以“光伏太阳能板的保有量”为背景,结合指数运算法则,考查基本运算能力3考查独立性检验,及依据偏差系数进行合理估计4依托真实生活情境,综合考查相互独立事件的概率计算以及概率分布列,对满足正态分布的变量进行合理估计

[解题过程]由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,∴A错误.P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,∴C正确,D错误.故选BC.

3.☆☆(2025山东齐鲁名校教研共同体第五次联考)某校开设农耕劳动教育课,共设置了两类课程:农作物种植和田间管理,学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计,数据记录在如下表格中.课程种类性别合计男生女生农作物种植课程16080240田间管理课程40120160合计200200400

α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

X08001

6002

400PC组

应用性题组题号选题理由1结合实际问题情境,研究随机变量的概率分布列2求解随机变量的概率分布列,并结合数列知识综合考查概率知识,多模块知识点融合3求解经验回归方程,并应用概率知识对实际问题进行决策1.☆☆(2025浙江台州二模)某市为了推广垃圾分类,在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果,市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万,且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果为了解情况非常了解一般了解不了解人数/人580320100

X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),根据二项分布的数学期望公式可得E(X)=3×0.6=1.8.

X01030P

3.☆☆☆(2025广东一调)近年来,中国新能源汽车产业,不仅技术水平持续提升,市场规模也持续扩大,取得了令人瞩目的成就,国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流.某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研,数据如下:时间2023年12月2024年1月2024年2月2024年3月2024年4月月份代码x12345销量y/千辆1415161819(1)若y与x线性相关,求y关于x的线性回归方程,并估计该地区新能源汽车在2025年1月份的销量;

D组

创新性题组题号选题理由1透过生活情境,结合正态分布对实际问题进行合理估计2新定义“似然函数”,结合导数知识对实际问题进行最大似然估计3考查数据平均数、方差,并结合新定义对伸缩率进行合理评估4结合实际问题情境,对变量进行独立性检验并在二项分布背景下研究概率最大值1.☆☆(2025湖北七市州高三下学期3月联合统一调研,多选题)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是(

BD

)A.P(X>38)<P(Y>38)B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36)C.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1,则t1<30D.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交[解题过程]由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大,即X的密度曲线较矮胖,Y的密度曲线更瘦高,则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方,可在同一坐标系中作出密度曲线,易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误;由3σ原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2),故B正确;

3.☆☆(2023全国乙卷,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

(1)填写如下的列联表,并根据列联表及α=0.001的独立性检验,判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关