《建筑力学与结构》-第4章

4.1压杆平衡状态的稳定性

4.1.1压杆稳定的基本概念

工程中经常见到中心受压的杆件,如桁架中的压杆、中心受压的柱等.构件的承载力包括强度、刚度和稳定性三个方面.工程中有些构件具有足够的强度和刚度,却不一定能安全、可靠地工作.构件除强度和刚度不足而引起失效外,有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效,这种失效形式称为丧失稳定性.4.1.2常见构件失稳除压杆的失稳形式外,一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题.细长圆杆的纯扭转、薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆壳等,都有可能丧失原有的平衡状态而失效.下一页返回4.1压杆平衡状态的稳定性

承受轴向压力的细长压杆,当丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线时,称为丧失稳定,简称“失稳”.把这一类细长压杆所发生的问题称为“稳定问题”.稳定问题与强度和刚度问题一样,在结构和构件的设计中占有重要的地位.本章将主要讨论细长压杆的稳定性计算,其他构件的稳定性问题可参阅有关专著.上一页返回４.２临界力4.2.1两端铰支压杆的临界力设细长压杆的两端为球铰支座,如图４-３所示,轴线为直线,压力P与轴线重合.当压力达到临界值时,杆件将由直线平衡状态转变为微弯的曲线平衡状态.因此,临界压力Pcr也可以理解为压杆保持微小弯曲平衡的最小压力.4.2.2其他约束条件下压杆的临界力

由于失稳过程伴随着由直线平衡到弯曲平衡的突然转变,因此,影响弯曲变形的因素也必然会影响压杆的临界压力的大小,支座条件便是其中之一.因此,不同的支座条件,压杆的临界压力的公式相应不同.下一页返回４.２临界力

１.一端固定、一端自由的压杆设杆在微弯的形状下保持平衡,见表４-１中图(b).现把变形曲线延伸一倍,如图４-３所示,假想线与表４-１中图(a)比较,可见一端固定、另一端自由且长为l的压杆的挠曲线与两端铰支、长为２l的压杆的挠曲线的上半部分相同.因此,对于一端固定、一端自由且长为l的压杆,其临界压力应等于两端铰支长为２l的压杆的临界压力.即同样,依据表４-１中图(a)的变形情况,可得到其他支座情况下的临界压力公式.上一页下一页返回４.２临界力

２.两端固定的压杆３.一端固定、一端铰支的压杆式(４-１)、式(４-２)、式(４-３)、式(４-４)可以统一写成:上一页下一页返回４.２临界力

这是欧拉公式的普遍形式.式中μl表示把压杆折算成两端铰支压杆的长度,称为相当长度,μ称为长度系数.欧拉临界公式表明,细长压杆的临界压力与杆件的形状、大小、约束条件及所使用的材料有关.4.2.3压杆临界应力的欧拉公式欧拉公式是在线弹性条件下建立的,为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围,必须引入临界应力和柔度的概念.当压杆承受压力为临界值Pcr时,杆件横截面上的应力称为临界应力,此时,由于杆件仍可处于直线平衡状态,可以认为,杆件横截面上的应力与轴向压缩时一样是均匀分布的,则对于细长压杆,上一页下一页返回４.２临界力

临界应力为这是欧拉临界应力公式普遍表达式.上一页返回４.３压杆的稳定条件和应用4.3.1欧拉公式的适用范围

在推导临界压力公式的过程中,我们应用了微弯曲状态下的挠曲线微分方程,此方程的使用前提是材料在弹性范围内使用,即σ≤σp.因此,只有在临界压力小于比例极限σp时,上述公式才是正确的.令式(４-７)中的临界应力σcr小于σp,得下一页返回４.３压杆的稳定条件和应用可见,只有当压杆的柔度λ大于或等于极限值时,欧拉公式才是正确的.用λp表示这一极限值,即则欧拉公式的使用条件是:上一页下一页返回４.３压杆的稳定条件和应用λp是反映材料性能的量,材料不同,其值不同.如Q２３５钢,λp≈１００,铸铁λp≈８０.我们把前面所提到的欧拉公式所适用的细长压杆,也称为大柔度压杆.若压杆的柔度λ小于λp,则临界应力σcr大于材料的比例极限σp,这时欧拉公式已不能使用,属于超过比例极限的压杆稳定问题.综上所述,可将压杆的临界应力依柔度的不同归结如下:上一页下一页返回４.３压杆的稳定条件和应用4.3.2临界应力总图

由上面的讨论可知,压杆的临界应力的计算与压杆的柔度有关.依上述三种情况,我们以柔度λ为横坐标,以σ为纵坐标作σ－λ图,称为临界应力总图,如图４-５所示.稳定计算中,无论是欧拉公式或经验公式,都是以杆件的整体变形为基础的.局部削弱(如螺钉孔等)对杆件的整体变形影响很小,计算临界应力时,可采用未经削弱的横截面面积A和惯性矩I.而在小柔度杆中作压缩强度计算时,自然应该使用削弱后的横截面面积.上一页返回４.４压杆稳定性的分析工程中的压杆,往往需要根据稳定性的条件校核它是否安全或者设计它安全工作时需要的尺寸或截面形状.这一类问题统称为稳定性设计(stabilitydesign),其要求是:当压杆工作时,工作压力应小于临界压力,即失效准则为若杆件工作时的工作安全系数为n,稳定安全系数为nst,则压杆的稳定设计条件为下一页返回４.４压杆稳定性的分析

稳定安全系数nst一般要高于强度安全系数.这是因为一些不可避免的因素,如杆件的初弯曲、压力偏心、材料不均匀和支座缺陷等,都严重地影响压杆的稳定,降低了临界压力.上一页返回４.５提高压杆稳定性的措施压杆的临界应力或临界压力的大小,直接反映了压杆稳定性的高低.提高压杆稳定性,就是提高压杆的临界压力或临界应力,而影响压杆临界应力或临界压力的因素有:压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等.因而,当讨论如何提高压杆的稳定性时,应从这几方面入手.１.改变压杆的约束条件或者增加中间支座２.合理选择截面形状压杆的柔度与横截面的惯性半径成反比.在一定的截面面积下应设法增大惯性矩,以增大惯性半径从而减小柔度,提高临界应力,增加压杆的稳定性.空心圆环截面比实心圆截面合理;下一页返回４.５提高压杆稳定性的措施四根角钢组成的起重臂,其四根角钢分开放置在截面的四个角,较集中放置在截面形心附近合理;由槽钢组成的桥梁桁架或建筑物中的柱中,把槽型钢分开放置,槽口相对比槽口相反合理.３．合理选择材料由细长杆的欧拉公式可知,临界载荷或临界应力与材料的弹性模量有关.因此,应选用弹性模量大的材料,以提高压杆的稳定性.对于细长杆,选用优质钢材和普通钢材在强度方面虽有差