九计数原理与概率统计-2024届高考数学考前模块强化练(含答案)

（9）计数原理与概率统计——2024届高考数学考前模块强化练

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一、选择题

1.某中学的高中部共有男生.1200人,其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400

人.现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）

A.9B.12C.15D.18

2.某校举办了迎新年知识竞赛，将1（）0人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则

根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）

A.中位数7（）B.众数75C.平均数68.5D.平均数7（）

3.在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜

色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（）种.

D.120

4.心__!__215的展开式中/的系数为（）

IxJ

A.-80B.Y0C.40D.80

5.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支

队是随机的,其中选“初心''队获胜的概率为0.8,选“使命”队荻胜的概率为0.7,单位在比赛

中获胜的条件下，选"使命”队参加比赛的概率为（）

22「8「7

AA.—BD.—C.——D.——

951515

6.投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表：

甲种股票收益分布列乙种股票收益分布列

收益-102收益012

概率0.1030.6概率0.20.50.3

则下列说法正确的是（）

A.投资甲种股票期望收益大B.投资乙种股票期望收益大

C.投资甲种股票的风险更高D.投资乙种股票的风险更高

7.在卜_1）（>2）（工-3）卜-4）的展开式中口的系数为（）

A.-50B.-35C.-24D,-I0

8.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺"礼”,主要指德育;“乐''，主

要指美育;“射''和"御",就是体育和劳动;“书''，指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国

学社团开展“六艺''课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下

要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排

课顺序共有种（）.

A.408B.I20C.156D.240

二、多项选择题

9.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛

选，其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行

抽样检验.记A表示事件“其芯片通过智能检测系统筛选”乃表示事件“某芯片经人工抽

检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标4服从正态分布N（5.40,0.052），现

从中随机抽取M个，这历个芯片中恰有m个的质量指标J位于区间（5.35,5.55）,则下列

说法正确的是（）（若入N（〃Q21则

P（JLI+0.6826,P（//-3cr<<//+3cr）«0.9974）

A.P（B|A）>P（B）

B.P（A忸）vP（A忸）

C.P（5,35<^<5.55）^0.84

D.P（m=45）取得最大值时,M的估计值为53

10.下列结论正确的是（）

A.若C；［=Ck,则根=3

B.若A3-A：=12,则〃=6

C.ffi（l+x）2+（l+x）3+（l+x）4+...+（l+x）"的展开式中，含/的项的系数是220

的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

11.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）

A.可组成360个不重复的四位数

B.可组成156个不重复的四位偶数

C.可组成96个能被3整除的不重复四位数

D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310

12.甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有2个红球,3个白球.先从甲盒中随机取出一球

放入乙盒用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件8表示“从甲盒中取出的是白

球再从乙盒中随机取出一球,用事件。表示“从乙盒中取出的是红球“，则（）

A.事件A与事件B是对立事件B.事件B与事件C是独立事件

QQ

cp（c）=mD.P（A|C）=百

三、填空题

13.二项式（我+展开式中常数项为.

7I

14.甲、乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是4,平局的概率是工，则乙获胜的概率

312

是_________.

15.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和

一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求

相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有

种.

16.某病毒会造成“持续的人传人”，即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象那么

48,C就被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、

第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,06己知健康的小明参加了一次多人

宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者.若小明

参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为.

四、解答题

⑴二项式（5厂十）

17.展开式中所有二项式系数和为64,求其展开式中含炉项的

系数.

326

(2)已知(l-x)(2x+l)=00+a1x+a2x+•••+a6x・分别求生+%+%和%的值•

18.一个口袋内有.3个红球，4个白球.

（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分

的取法有多少种？

19.某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选

拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答

其中的4道,乙能正确解答每个题目的概率均为2,假设甲、乙两名学生解答每道测试题

3

都相互独立、互不影响,现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答

（1）求甲、乙共答对2道题目的概率；

（2）设甲答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差；

（3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？

20.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A,B,C三首

歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只

有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获徨本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜

对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下

表:

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

（1）求甲按“4,B,的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

（2）甲决定按“A,B,。或者“C,B,A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉

宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并

说明理由.

参考答案

1.答案：C

解析：高三年级被抽到的男生人数为36X120°二夕一400=36X[=15.

I200I2

故选：C.

2.答案：D

解・析：[4。,5。）的频率为＞（035+0925；。.035+0.005）x1。=。]

因为最高小矩形的中点横坐标为75,显然众数是75,故B正确；

[40,50）的频率是0.1,[50,60）的频率是0.15,[60,70）的频率是0.25,其频率和为0.5,所以

中位数为70,故A正确；

平均数=45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x0.05=68.5,所以C正确•

故选：D.

3.答案：B

解析：先进行编号：新疆A、甘肃8、青海。、西臧。、四川E,

按A-B-C-。一＞石的顺序进行涂色，其中以。颜色可以相同或不相同，

所以不同的涂色方法数有4乂3乂2、”2+以1）=72种.

故选：B.

4.答案：B

解析:因为（戈」_2）=＞

故f可以来自5个因式的2个因式提供x,余下3个因式提供_2，

或者5个因式的3个因式提供乂余下1个因式提供-L一个因式提供_2，

故/的系数为仁（-2）3+C；C；（-2）'（-1）=-8（）+40=-40，

故选:B.

5.答案：D

解析：依题意，记选“初心”队为事件A,选“使命”队为事件8,该单位获胜为事件M则

P（A）=P（B）=0.5,P（M|A）=0.8,P（MB）=0.7.所以

7

P(B|”半=/-7)1))一广，.故选D.

'7P(M)P(A)P(MA)+P(3)P(M|8)0.5x0.8+0.5x0.715

6.答案：C

解析：投资甲种股票收益的期望E(X)=—1X0.1+0X0.3+2X0.6=1.1,

D(X)=(-1-1.1)2X0.1+(0-1.1)2X0.3+(2-1.1)2X0.6=1.29.

投资乙种股票收益的期望凤丫)=0乂0.2+以0.5+2乂0.3=1.1,

D(y)=(0-l.l)2x0.2+(l-l.l)2x0.5+(2-l.l)2x0.3=0.49,故£(X)=E(Y),

£>(X)>D(r).

故投资甲、乙两种股票的期望收益相等，投资甲种股票比投资乙种股票的风险高.

7.答案：A

解析：(x-l)(x-2)(x-34x-4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择

另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(X-1)CE-2)(X-3)(X-4)的展开式中，

含x的项为

(-l)x(-2)x(-3)x+(-l)x(-2)x(-4)x+(-l)x(-3)x(^)x+(-2)x(-3)x(-4)x=-50x,

所以x的系数为-50.

故选：A.

8.答案：A

解析：根据题意,首先不做任何考虑直接全排列则有A：=720(种)，

当“乐”排在第一节有&=120(种)，

当“射”和“御”两门课程相邻时有A；A；=240(种),

当“乐”排在第一节，且“射''和"御”两门课程相邻时有A；A：=48(种)，

则满足“乐”不排在第一节，"射"和''御''两门课程不相邻的排法有

720-120-240+48=408(种)，

故选：A.

9.答案：ACD

解析：直接利用题意判断A;利用条件概率，全概率公式等进行转化判断B;利用正态分

布的性质判断C;设/(x)=C?x0.8445x0.16i5,由函数的单调性判断D.

10.答案：BC

解析:若C；；=C^-2C?J=C智三则m=3tn-2m=3m-2或加+3〃?-2=10m4-3m-2=10,解

得〃z=lm=1或"?=3m=3,故A错误;若A3-A：=12A%%=12,则

=12(n+l)n-n(n-l)=12,求得〃=6,故B正确;在

(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+...+(1+x)11(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)ii的展开式

中,含.dx2的项的系数是C；+C；+C；+...+C]=220最+髭+鬃+…+Cfx=220,故C正

确;在（1-1/（x-l）8的展开式中，第4项的二项式系数为C；,第5项的二项式系数为C：最，

故只有第5项的二项式系数最大，故D错误.

11.答案：BC

解析：A选项，有C；A；=300个，错，

B选项，分为两类：0在末位，则有A：=60种,0不在末位，则有C；C；A：=96种，

「•共有60+96=156种，对，

C选项，先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，

即先选：（0,123）,（0,135）、（023,4）、（0,3,4,5）、（1,2,4,5）,

它们排列出来的数一定可以被3整除,「•共有：4C；-A；+A：=96种，对，

D选项,首位为1的有A；=60个，前两位为20的有A；=12个，前两位为21的有A：=12个,

此时共有60+12+12=84个，

因而第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301,错，

故选：BC.

12.答案：AD

解析：对于A:事件BCD与事件B不能同时发生，且没有其他的可能结果，事件A与事件

8是对立事件，故A正确；

对于B:事件B发生与否与事件C有关，事件B与事件C不是相互独立事件，故B错误；

对于加。噌母唱故c错误;

对于D：尸（力3令4收）噌噌+3会唱

9

一9

所以P（A|C）=^W=30=一

13一13

30

故选:AD.

13.答案：28

解析：（加+的展开式的通项公式为

/।8-4r

r

Tr+l=c^y-一""了，

令4上=（）,解得〃=2,故M的展开式中常数项为C；=28.

3Ix）

14.答案：-

4

解析：设事件4表示“乙获胜”，则。口）=2+_1=3,则P（A）=I—P（W）=I—3=L

312444

15.答案：48

解析：由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有A：=24种涂色方

法，

第二步，对于区域③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩

下的区域有1种选法，则有2种涂色方法，

所以共有24x2=48种涂色方法，

故答案为：48.

16.答案：0.81

解析：设事件£="小明与第一代传播者接触“，

事件F="小明与第二代传播者接触二

事件G="小明与第三代传播者接触”，

事件"小明被感染“，

则P（E）=0.5,P（/）=0.3,P（G）=0.2,

P（D|E）=0.9,P（D|F）=0.8,P（D|G）=0.6，

P(D)=P(D|E)P(£)+P(D|F)P(F)+P(D|G)P(G)

=0.9x0.5+0.8x0.3+0.6x0.2=0.81，

所以所求概率为0.81.

故答案为：081.

17.答案：(1)-2500；

(2)生+%+%=一2，%=-4

解析：⑴由题意得2〃=64,解得〃=6，

故(5x-"f展开式的通项公式为加产鼠(5%广(-;3[=q5-(-1丫」十,

IWI)

令6-士厂=2得,r=3，

3

故7；=C^53(-1)\2=-2500X2，故其展开式中含尤2项的系数为一2500；

326

(2)(l-x)(2x+1)=aQ+aix+a2x+…+&x中，

令x=0得4=1,

令x=1得4+4+出+/+4+/+4=0，①

a+a

令户一1得%-a]+a2-%+4~56=-2,②

②+①得2ao+2生+24+2%=-2,

又4()=1,故生+%+=-2，

(2x+l)3的展开式通项公式为(讨=C；(2/>f,

当"=1得7=。.(2力2=12l2,令r=0得7；=。(203=81,

故(1-x)(2x+1)3中含/的项为12F(-%)+"=-4X3,

所以生=-4.

18.答案：(1)13

(2)22

解析：(1)有2种取法：3个红球，2个红球和1个白球.

当取3个红球时，取法有1种；

当取2个红球和1个白球时，取法有C；C：=12种.

根据分类计数原理知，共有1+12=13种取法.

（2）有2种取法：2个红球和2个白球，3个红球和1个白球.

当取2个红球和2个白球时，取法有C；C：=18种；

当取3个红球和1个白球时，取法有C；C；=4种.

根据分类计数原理知，共有18+4=22种取法.

19.答案：（1）—

15

（2）答案见解析

（3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛

解析：（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率:

（2）设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.

P（X=1）卡=/”=2）=攀="（X=3）=m

X的分布列为:

所以E（X）=1X，+2X3+3XL2,O（X）」（1_2『+3（2-2）2+，（3-2）2=2.

5555555

（3）设学生乙答对的题数为y,则y的所有可能取值为0,1,2,3.则y〜8（3,2'

、3,

所以E（y）=3x|=2,O（y）=3x|x（l-|）二|.

因为E（x）=E（Y）,D（X）＜O（y）,即甲、乙答对的题