概率论与数理统计复习题带答案

一章

一、填空题

1.若事件AB且P(A)=0.5,P(B)=0,2,则P(A-B)=(0.3)。

2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为

0.8.求敌机被击中的概率为(0.94)。

3.设A、B、C为三个事件，则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为()。

4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为().9,0.8,

0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为(0.496).

5.某人进行射击，每次命中的概率为0.6独立射击4次，则击中二次的概率为

(0.3456

6.设A、B、C为三个事件，则事件A,B与C都不发生可表示为()。

7.设A、B、C为三个事件，则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为()；

8.若事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P(A|B尸(0.5)；

9.甲、乙各自同时向一枚机炮击，已知甲击中敌机的概率为().6,乙击中敌机的概率为().5.求

敌机被击中的概率为(0.8)；

1().若事件A与事件B互不相容，且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P()=(().5)

11.二台机拇相互独立运转，设第一，第二，第二台机器不发生故障的概率依次为080.8,

0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864)。

12.若事件AB且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P()=(0.3);

13.若事件A与事件B互不相容，且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P()=(0.5)

14.A、B为两互斥事件，贝lj(S)

15.A、B、C表示三个事件，则A、B、C恰有一个发生可表示为()

16.若，，0.1则(0.2)

17.A、B为两互斥事件，则=(S)

18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为()o

2、选择填空题

1.对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为(D)

A、样本空间B、必然事件C、不可能事件D、随机事件

2.某工厂每天分3个班生产，表示第班超额完成任务，那么至少有两个班超额完成任务可

表示为(B)

A、B、

C、D、

3.设当事件与同时发生时也发生，则(C).

(A)是的子事件；(B)或

(C)是的子事件；(D)是的子事件

4.如果A、B互不相容，则(C)

A、A与B是对立事件B、是必然事件

C、是必然事件D、与互不相容

5.若，则称与(B

A、相互独立B、互不相容C、对立D、构成完备事件组

6.若，则(C)

A、与是对立事件B、是必然事件

C、是必然事件D、与互不相容

7.A、B为两事件满足，则一定有(B)

A、B、C、D、

8.甲、乙两人射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示(D)

A、两人都没射中B、两人都射中C、至少一人没射中D-.至少一人射中

三、计算题

1用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为04040.2;各机床加工的零件的

合格品的概率分别为0.92093,0.95,求全部产品的合格率.

解:设表示产品合格，表示生产自第个机床()

2.设工厂A、B和C的产品的次品率分别为1%、2%和3%,A、B和C厂的产品分别占50%、

40%和1()%混合在一起，从中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属FA厂生产的概率是

多少？

解:设表示产品是次品，表示生产自工厂A、B和C

3.设某批产品中，甲，乙，内三厂生产的产品分别占45%.35%,20%,各厂的产品的次品率分

别为4%,2%,5%,现从中任取一件，

(1)求取到的是次品的概丞；

(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.

解:设表示产品是次品，表示生产自工厂甲，乙，丙

0.026

4.某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的60%,第二车间生产全部

产品的30%,第三车间生产全部产品的10%o各车间的不合格品率分别为0.01,0.05,0.04,

任取一件产品，试求抽到不合格品的概率？

解:设。表示产品是不合格品，％,42,4表示生产自第一、二、三车间

p(p)=^p(4)P(Z)14)=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0.025

/-I

5.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%

和40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是多少？

解：设。表示产品是次品，%,外表示生产自工)A和工JB

6.在人群中，患关节炎的概率为10%,由于检测水平原因，真的有关节炎能够检测出有关节炎

的概率为85%.真的没有而检测出有的概率为4%,假设检验出其有关节炎，问他真有关节炎

的概率是多少？

解:设4表示检验出其有关节炎，B表示真有关节炎

二P(B)P(*⑴Oh。.

0.7025

P(B)P(A|B)+P(B)P(A\B)0.1x0.85-0.9x0.04

第二章

一、填空题

1.已知随机变量X的分布律为：--1°—,则口％2=0｝=(0.4)o

P0.10.40.5

2.设球的直径的测量值X服从[1,4]上的均匀分布，则X的概率密度函数为(

-,l<x<4

/(%)=3).

0,其他

3.设随机变量X〜3(5,0.3),则E(X)为(1.5).

4.设随机变量X〜4(6,0.2)则X的分布律为(

P{X=k}=C：0.2*0.86“火=0,1,…6

已知随机变量的分布律为；-°———,则2

5.XP[X=1)=(0.6)o

P0.10.40.5

1--3x当x>0

6.设随机变量X的分布函数为/(x)=4e','则X的概率密度函数(

[0,当x<0.

一、(3e-3x,当x>0,、

/(X)=<);

[0,当xKO.

7.设随机变量X~,则随机变量y=上幺服从的分布为(

(J

X〜N(0,l));

X-2013

8.已知离散型随机变量X的分布律为则常数

P3。1/63aa11/30

。=(1/15);

A

9.设随机变量X的分布律为：。｛矛=左｝二看，攵=1,2,…,10.则常数4=(1)。

1().设离散型随机变量¥的分布律为工-32__±_,/(x)为X的分布函数，则/(2)=

P0.20.50.3

(0.7);

5e~Sxx>0

11.己知随机变量X的概率密度为/(刈=1'<0,则X的分布函数为(

l-e-5xx>0

尸(%)=)

0,A<0

A.与〃和。有关B.与M有关，与。无关

C.与。有关，与〃无关D.仅与k有关

4.己知随机变量的分布率为

X-1012

P0.10.20.30.4

3

产(x)为其分布函数，则叱)=(C).

A.0.1B.0.3C.0.6D.1.0

5.己知X〜N（0,l）,y=2X-l,则丫〜（B）o

A.7V（0,l）B.N（—1,4）C.N（—1,3）D.N（—1,1）

6.已知随机变量X的分布率为

X0123

P0.10.10.20.6

则P（X>2）=（D）,>

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

7.在相同情况下，独立地进行5次射击，每次射击时，命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数

X的概率分布率为(A)。

A.二项分布B(5,0.6)B.泊松分布P(5)C.均匀分布U(0.6,5)D,正态分布

8.p(x)=•匚7""""上是(C)分布的概率密度函数.

0,其他

A.指数B.二项C.均匀D.泊松

三、计算题

1.设随机变量X~N(1,4),求：F(5)和尸{OvXWl.6}。

v_15—1

解：F(5)=P{X<5}=<寸}=①(2)=0.9772

2.设X~N(3,4?),求尸{4<XW8},P{0WXW5}(可以用标准正态分布的分布函数表示)。

3.设随机变量X〜N(2,02),且尸{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。

4.设随机变量X的分布律为

X-I-201

求y=x2-i的分布律。

X-1-201

Y=X2-

03-10

1

Y-103

5.某工厂生产螺栓和垫圈，螺栓直径(以亳米计)X~N(10,0.22),垫圈直径(以毫米计)

y~N(10.5,0.22),X,Y相互独立，随机的选一只垫圈和一个螺栓，求螺栓能装入垫圈的

概率。

解：X-y~N(—0.5,2x0.2?)

6.设随机变量X的概率分布率如下表

123

求X的分布函数和

解：P{沁.P{X=2}=1

0.2,(-l<y<0)

7.设随机变量y的概率密度函数为p(y)=0.2+cy,(0<yWl),求⑴常数c;

0,(其他)

(2)P{0<y<0.5}o

解.⑴J：p(yMy=0.初,+£(0.2+cy)dy=0.2+0.2+|=1

c=1.2

(2)P{0<r<0.5}=£5(0.2+\.2y)dy=0.2x0.5+0.6x0.25=0.25

第三章

一、填空题

1.设连续型随机变量的概率密度分别为/x(x),/y(y),且x与丫相互独立，则(x,y)的

概率密度/、(x,y)=()。

2.已知x〜N(—i,32),y〜N(I4),且x与y相互独立，则x+y〜(

X〜N(0,25))

二、计算题

1.设X与Y相互独立，其概率分布如表所示，求：（1）（X,Y）的联合分布，（2）E（X）,

D（Y）o________________________________________________________________

X-1-200.5Y-0.513

Y-0.513

X

-1

-2

0

0.5

2.设（X；）的分布律如下

X123

11/61/91/18

21/31/92/9

求x与y的边缘分布.并判别x与Y是否独立。

X12

P

Y123

P

X与Y不独立。

3.设随机变量（X,Y）的概率分布如下表所示:

-1012

-10.20.150.10.3

20.100.10.05

求X与Y的边缘分布，X和Y是否独立

X-12

P0.750.25

Y-1012

P0.30.150.20.35

X与Y不独立

第四章

一、填空题

1.若随机变量X服从泊松分布X-p(入)，则D(X)=(X)o

2.若随机变量X和Y不相关，则。(X—y)=(D(X)+D(Y))。

3.若随机变量X和Y互相独立，则七(XY)=(E(X)E(Y))»

4.若随机变量X服从正态分布X〜N(〃,cr2),则D(XA(cr2)o

5.若随机变量X在区间［1,4］上服从均匀分布X〜U(l,4),则E(X)=(2.5)。

6.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X尸3,E(Y)=5,随机变量Z=3X-2Y,则期望E亿尸

(-1)o

9.若随机变量X服从二项分布X〜B(4,0.5),则D(X)=(I);;

11若已知E(X),D(X),则E(X2)=Q(X)+((E(X))2)。

12.已知随机变显X与Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=5,随机变显Z=5X-2Y,则期望E(Z)=

(0).

13.若随机变量X服从二项分布X〜B(n,p),则D(X)=(np(1-p))。

14.设X〜U(1,3),则E(X)=(2)(>

15.随机变量X和Y相互独立，且D(X)=5,D(Y)=6求随机变量Z=2X-3Y的方差D亿尸

(74)

16.X是随机变量，且X〜〃(5),则E(X)=(5),,

二、选择填空题

3A

已知，则2

1.X〜P(X=k)=—e-\k=0,1,2,3,…)E[3(X-1)]=_D

A.3B.12C.30D.33

2.随机变量X〜N(0,l),y,则相关系数2次=(B)

A.-1B.0C.1D.2

3.随机变量X的分布率为P{X="}=—「(〃=0,1,2,3…)，则D(2X)=—D—o

e~k\

A.1B.2C.4D.8

4.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=L44,则二项分布的参数〃，P的值分别为

(B)。

A./?=4,/?=0.6B.=6,p=0.4C./?=8,/?=0.3D.n=24,p=0.1

,、f0.5,xG[0,2]

5.已知X的密度函数为p(x)=J其他」则*的数学期望E(X)=(B)。

A.-B.IC.2D.4

2

6.是互相独立的随机变量，E(x)=6,E(y)=3,则E(2X-y)=(A)o

A.9B.15C.21D.27

1~

Z\--PI。Y>0

7.设X的概率密度函数为p(x)=jio，，则E(2X+1)=(C)o

0,x<0

A.1.4B.41C.21D.20

8.是互相独立的随机变量，o(x)=6,。(丫)=3,则。(2、-丫)=(D)。

A.9B.15C.21D.27

三、计算题

1.设二维随机变量的联合概率分布为

01

0.30.10.1

10.050.20

20.200.05

求：(I)X与Y的边缘分布，(2)E(X),D(Y)o

X-112Y-201

0.50.250.250.55().30.15

1vV

2.已知*~"(1,32),丫~"(0,42),夕制二一一，设Z=—十一，求Z的期望与方差，求X与Z

3

的相关系数。

3.设(X,Y)服从分布

012

03/289/283/28

13/143/140

21/2800

,试求cov(X,Y)及p0

77Q

D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=---=0.4018

cov(%,r)

P*―晒Xi/b(Y)=-0.447

13,(x,y)GG

4.设随机变量(X,Y)具有密度函数f(x,y)=八'二:，其中区域G由曲线

0,其匕

»二工2与1=/围成，求COV(X,Y)及/7Ay。

解:

cov(%,r)

=0.434

2则用晒Y)

5.设(X,Y)服从分布

012

03/289/283/28

13/143/140

21/2800

试求E(X),E(XY),D(Y).

解：

27Q

D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=---=0.4018

――,i»―24^,0<x<l,0<y<l,x+y<l

6.设随机变量(XJ)具有概率密度，/(x,y)=《八八

求E(X),E(Y),E(XY)O

1vy

7,已知，X〜NQh),Y-7V(O,16),pAT=-,设Z=—+—求Z的期望与方差，求X与Z

3

的相关系数。

：^(Z)=1/?(Y)4-1/?(7)=1

第五章

一、填空题

1.如果从总体X中抽取样本为乂,工，丫3，一，七，则样本均值为(

区」江)。

〃/=1

2.如果从总体X中抽取样本为乂,丫2，占，一，丫“，则样本方差为(

S?=工之(X-廿2)。

3.设X〜N(2,16),S?为样本方差，则E(§2)=(16)。

4.样本(Xi，…，Xn)取自标准正态总体N(0,1),X,S分别为样本均值及样本标

准差,则nX1(N((),l))。

5.样本（Xi,…，Xn）取自标准正态总体N（0,1）,X,S分别为样本均值及样

2

本标准差，则支戈2-（z（/?-l））。

/=1

6.样本（Xi，…，Xn）取自正态总体N（〃，。2）,又,S分别为平均数及标准差，

则N（小一））.

n

7.若随机变量X”占，X,相互独立,服从同一分布，且£（X）="O（XJ=1>0,

令了」nX,,则。国二（—）«

二、选择填空题

1.设总体X〜乂（〃,。2）,其中〃已知，未知，牙|,牙2是取自总体X的样本，则下列

各量为统计量的是（A）

AX+XB2X1+//C乂+〃+。2D―—-

i2（7

2.样本丫1,丫2,…，X”是来自正态总体的简单随机样本；下列各统计量服从标准正态分布的

是（D）

A.—（X]+X,+…+）B.X；+X：+…+X；

n

c.-L-^X^X）D.乙子

n-\z.ioZn

3.从总体中抽取容量为5的一个样本1.10.91.21.21.L贝l」x=(B)

A.lB.l.lC.1.2D.5.5

4.若X~%2(5).则D(X)=(B)

A.lB.10C.5D.0

5.从总体中抽取容量为5的一个样本10』9.910.210.210.1,则1=(B)

A.10B.10.1C.10.2D.5O.5

6.若X~/(5),则E(X)=(C)

A.lB.10C.5D.0

三、计算题

1.从正态总体中抽取5个样本如下：8.1,8.2,8.3,7.8,7.6,；求样本均值与样本方差。

⑺_8.1+8.2+8.3+7.8+7.6。

解：x=--------------------------------=8

5

2.从总体抽取5个样本如下：5.1,5.2,544.6,4.7,求样本均值和样本方差。

3.从正态总体中抽去了容量为5的一个，样本，数据如下：7.3、7.2、7.1、6.8、6.6；求样本

均值与样本方差。

第七章

一、填空题

1.设。是未知参数。的一个估计量，若E（@）=e,则称3为参数o的一个（无偏）估计量。

2.设总体X〜N（〃,b2）,为未知，〃为未知，设乂,万2,…为来自总体X的一个样

7Q27V2

本，则。2的置信度为0.95的置信区间为（（Y—，―2—））。

四必⑺总班式7），

3.设。是未知参数。的一个估计量，若（E（G）=9）,则称。为参

数夕的一个无偏估计量。

4.设总体X〜〃为已知，〃为未知，设乂，招,…,X”为来自总体X的一个

样本，则〃的置信度为1-。的置信区间为（叵一Nza，亍+-^Za））。

VH2VH2

二、选择填空题

1.下列统计量（A）既是总体均值4的无偏估计量又是矩估计量.

_1一

AXBS2CS：D-X

n

2.在单正态总体期望〃区间估计中（/已知），已知置信度为0.95,下面说法正确的是

（A）。

A.使用分位数〃0025=1-96B.使用分位数之5（15）=1.7531

C.加大样本容量会使置信区间变大D.降低置信度会使置信区间变大

三、计算题

1.设总体X服从正态分布N（5,1）,丫1,x2，丫3为一个样本，试验证

都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。

2.设总体X的概率密度为

其中。是未知数，乂，工产・,尤是取自x的样本，求参数。的矩估计。

解：

3.以X表示某种小包装糖果的重量（单位以克计），X-Ng）,今取得样本容量为10

的样本均值为56.61,求"的置信度95%的置信区间。(%。”=196,%05=1.645)

解：〃的置信度95%的置信区间为

4.设总体X服从正态分布N(m,l),Xi，*?为一个样本，试验证

—14—12

町=-X+-X^=-%,+-%,都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。

5x,5223132

5.以X表示某种小包装糖果的重量(单位以克计)，X〜Ng),今取得样本容量为10

的样本均值为56.61,求"的置信度95%的置信区间。(uOO25=1.96,«005=1.645)

解:〃的置信度95%的置信区间为

6.设总体X服从正态分布为一个样本，试验证

1713

/«,=-%,+*X,,而,=2X1都是m的无偏估计量，哪一个估计量的估计效果

313224142

更好。

解：

7.设总体X具有分布。其中参数未知，已经取得样本玉=1,£=2,七=1，求。

的最大似然估计值。

P[X=x}=2"g)/-XQ-8)1

=立2-行与(-尸=2)-夕»"一夕)£一

C=1

333

解：In=Z(3—巧)(无一1)In2+(三3—七)In。+(2七一1)ln(l—0)

j=l/=1J=1

33

=J"*=o

doe\-o

o=-

6

g.有一大批葡萄。从中随机抽取样30份袋,算经检测糖含量的均值与方差如下：

X=14.72,52=(1.381)2=1.9072,并知道糠的含量服从正态分布，求总体均值〃的置信水平

为0.95的置信区间。

(QO2，(29)=2.0452,rOO25(30)=2.0432"。0，(29)=1.6991,ZOO5(3O)=1.6973)

解：//的置信水平为0.95的置信区间

9.设总体X的概率密度为

X123

P

/6。）=|（,+1）=，了＜1,其中。（＜7＞-1）为待估参数，设M，X—X,是来自X

0,其他,

的样本求。的矩估计量

解：

10.从总体X〜N（〃,25）中抽取容量为4的样本，其中〃未知，则以下估计量哪一个更好。

11.设总体X〜N（〃42）,〃与b?均未知，从总佃中抽取容量为12的样本，算得

X=66.3,s=9.4,求置信度为0.95的〃的置信区间，（其中

r0.025(H)=2.2010,r0025(12)=2.1788,r005(ll)=1.7959,Z005(12)=1.7823)

解：〃的0.95置信区间

12.以X表示某工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设X~N（〃,1296）,今取得一容量

为27的样本，测得样本均值为1478,求4的置信水平为0.95的置信区间。

解：〃的置信水平为0.95的置信区间

第八章

一、填空题

I.假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上不会发生的，该原

理称为（实际推断原理）。

2.在正态总体中，抽取样本%“丫2，*3,…X.进行检验，其中总体的均值和方差都未知，要

对总体的方差进行假设检验，则使用（Z2）检验进行检验。

3.设显著水平为a,当原假设不正确时，由于样本的随机性，作出了“接受假设”的决策，

因而犯了错误，称为犯了（取伪）错误。

4.在检验问题中，当水平。确定后，为了减少决策时犯错误的概率，我们通常采用的方法是

（增大样本量）。

5.设总体X〜%（小。2）,〃、已知，弘，名,…,X”是取自总体X的样本，则检验统计

量为U=（上"）o

o-fyjn

6.设显著水平为a,当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了“拒绝接受假设”的决策,

因而犯了错误，犯该错误的概率为（a）o

7.设总体X〜阳〃。2）,〃、/未知，乂，花,…,X”是取自总体X的样本，

则检验统计量T=（今先）

二、选择填空题

1.如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在而总体的期望进行检验时要采用的检

验方法是(D)检验。

A.72B.FC.UD.t

2.在检验总体的未知参数的过程中，我们一般采用的水平==(C)o

A.100B.90C.0.05D.95

3.一般情况下，如果总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用大样本的方

法，这里的大样本是指样本的容量(D)。

A.10B.20C.40D.100

4.在双正态总体方差相等的检验中，从两个总体中抽取样本容量分别为9和10的简单随机样

S2

本。则/二甘~(D)o

A.F(9,10)B.F(8,10)C.F(9,9)D.F(8,9)

三、计算题

1.两种型号的绞线其拉断强度的抽样数据的样本均值和样本均方差如下：

A种：9个，%=93.78,5/=4.2065,B种：5个=87.40,=7.9561,两样本都来自

正态总体，它们的总体均值和方差都未知，两样本独立，问在显著性水平0.05下检验方差

是否相等。

(/g(9)=19.022,力短⑼=2.700云％(9)=16.919,ZJ.95(9)=3.325

盐。25(8,4)=8.98,£)35(4,8)=5.05)

解：H。:0；=近,H]:

拒绝域：F>"025(&4)=8.98或者F<^.975(8,4)=^-=0.198

接受原假设，认为方差相等。

2.电工器材厂生产一批保险丝，抽取1()根，测得M=62.4,s=32.1假设熔断时间服从正态

分布，在水平a=0.05下，能否认为该批保险丝的熔断时间为64?

(仇25(9)=2.2622/0°式9)=1.8331,ho25(lO)=2.2281/oo5(lO)=1.8125)

解:“o：〃=64,〃1:〃工64

拒绝域：|，|Nho25(9)=2.2622

接受原假设，认为熔断时诃为64.

3.某种标准类型电池的容量(以A.h计)的标准差。=1.66,随机地取10只新型的电池，

测得它们的样本均值为140,样本的均方差为3.4641,问在显著性水平0.05下标准差是否有

变动。

(忌。25⑼=19.022,就邠⑼=2.700,Z；05(9)=16.919,/%(9)=3.325)

解：/70:cr=1.66,H]:er*1.66

拒绝域：z2>/皿(9)=19.022或者/<忌9乃(9)=2.700

2(n-1)s2°

Z=-------=