2026年高考数学复习难题速递之集合（2025年11月）

第34页（共34页）2026年高考数学复习难题速递之集合（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．“群”的定义是：设G为某种元素组成的一个非空集合，若在G内定义一个运算“*”，满足以下条件：①任意a，b∈G．有a*b∈G②如a，b，c∈G，有（a*b）*c＝a*（b*c）；③在G中有一个元素e，对任意a∈G，都有a*e＝e*a＝a，称e为G的单位元；④任意a∈G，在G中存在唯一确定的b，使a*b＝b*a＝e，称b为a的逆元；此时称（G，*）为一个群例如实数集R和实数集上的加法运算“+”就构成一个群（R，+），其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）A．G＝Q，则（G，+）为一个群 B．G={2m+3nC．G＝{﹣1，1}，则（G，×）为一个群 D．G＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，则（G，×）为一个群2．对于a∈R，设集合A={x|(x2-6x+aA．不存在实数a，使得S（a）＝6 B．存在实数a，使得T（a）＝9 C．存在无数的a，使得S（a）＝7 D．若T（a）＝3，则a＝33．设集合S，T中元素均为正整数，且至少有两个元素，若S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则yx则关于下面两个命题，说法正确的是（）命题α：若S有3个元素，则S∪T有4个元素．命题β：若S有4个元素，则S∪T有7个元素．A．α是真命题，β是真命题 B．α是真命题，β是假命题 C．α是假命题，β是真命题 D．α是假命题，β是假命题4．设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card（∅）＝0．已知集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅，若card（A）∉A，card（B）∉B，则满足条件的所有不同集合A的个数为（）A．3 B．6 C．10 D．645．设a，b，c为实数，记集合A＝{x|（x+a）（x2+bx+c）＝0，x∈R}，B＝{x|（ax+1）（cx2+bx+1）＝0，x∈R}．若card（A），card（B）分别为集合A，B的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．card（A）＝1且card（B）＝0 B．card（A）＝1且card（B）＝1 C．card（A）＝2且card（B）＝2 D．card（A）＝2且card（B）＝36．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值不可能是（）A．-22 B．0 C．3 D7．已知集合M＝{x|x∈N，0＜x≤15}，A1、A2、A3满足：①A1∪A2∪A3＝M；②每个集合都恰有5个元素．集合Ai（i＝1，2，3）中最大元素与最小元素之和称为Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（）A．37 B．39 C．48 D．578．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A、B是U的子集，若A∩B＝{1，2}，就称{A，B}为“好集”，那么所有“好集”的个数为（）A．24 B．27 C．32 D．36二．多选题（共4小题）（多选）9．设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩（∁UB）∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环．则下列说法正确的是（）A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的环 B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈F D．若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[3，5]∈F（多选）10．对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．下列命题中，是真命题的为（）A．若A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则A⊕B＝{﹣1，2} B．若A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A⊕B＝{x|﹣1≤x≤0}∪{x|1≤x≤2} C．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ D．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B（多选）11．定义全集U的子集A的特征函数fA（x）=1，x∈A0，x∈∁UA，这里∁UA．A⊆B⇒fA（x）≤fB（x） B．f∁UA（x）＝1﹣fA（C．fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x） D．fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）（多选）12．非空数集A⊆R，同时满足如下两个性质：（1）若a，b∈A，则ab∈A；（2）若a∈A，则1a∈A①若A为一个“封闭集”，则1∈A；②若A为一个“封闭集”且a，b∈A，则ab③若A，B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A；④若A，B都是“封闭集”，则A∪B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A．正确的是（）A．① B．② C．③ D．④三．填空题（共4小题）13．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤12}，集合A1、A2、A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai（i＝1，2，3）中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的积为．14．已知a，b，c为实数，用|S|表示集合S的元素个数，若集合A＝{x|（ax+1）（cx2+bx+1）＝0}，则|A|所有可能的值是．15．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义Card（T）为集合T中的元素个数，对于n元集合M，其展拓集合记为N，满足M⊆N，2n≤card（N）≤n2，其中n≥2．已知集合A＝{3，t}，B＝{4，s，s2}，若A∪B的展拓集合C满足Card（C）＝7，则s2+t2的最大值为．16．设A1，A2，A3，⋯，A7是均含有2个元素的集合，且A1∩A7＝∅，Ai∩Ai+1＝∅（i＝1，2，3，⋯，6），记B＝A1∪A2∪A3∪⋯∪A7，则B中元素个数的最小值是．四．解答题（共4小题）17．设正整数n≥4，若由实数组成的集合A＝{a1，a2，…，an}满足：“对A中任意三个不同的元素a，b，c，均有a+b+c∈A或abc∈A”，则称A具有性质P．（Ⅰ）分别判断A1＝{﹣2，﹣1，0，1，2}和A2={1（Ⅱ）设a＞b＞c＞0，集合B＝{﹣c，﹣b，﹣a，a，b，c}具有性质P，记B中不小于1的元素个数为k，求k的取值范围；（Ⅲ）若集合A具有性质P，求n的最大值．18．已知集合S为非空实数集，定义：A＝{x|x＝a+b，a，b∈S}，B＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈S}（注：a和b可相等，也可不相等）．（1）若集合S＝{0，1，4}，写出集合A，B；（2）若集合S＝{0，2，x，y}，2＜x＜y，且B＝S，求x，y的值；（3）若集合S⊆{x|0≤x≤100，x∈N}，A∩B＝∅，记card（S）为集合S中元素的个数，求card（S）的最大值．19．记集合X的元素个数为|X|．对于集合An＝{x∈N*|x≤2n}（n∈N*且n≥2），如果∀P⊆An且|P|＝k，均∃a，b∈P（a≠b），使得a+b＝2n+1，那么就称k是集合An的一个“平衡数”．（Ⅰ）当n＝2时，直接判断k＝2和k＝3是否为A2的“平衡数”；（Ⅱ）若k为集合A6的“平衡数”，求证：k≥7；（Ⅲ）求集合An的“平衡数”的最小值（用n表示）．20．已知n为正整数，集合Mn＝{（x1，x2，⋯，xn）|xi∈{0，1}，i＝1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α＝（a1，a2，⋯，an）和β＝（b1，b2，⋯，bn），定义：α﹣β＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）；d（α，β）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|an﹣bn|．（1）当n＝3时，设α＝（1，0，1），β＝（0，1，1），写出α﹣β，并计算d（α，β）；（2）若集合S满足S⊆M2，且∀α，β∈S，d（α，β）＝2，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，不用证明；（3）若α，β∈M，任取γ∈M，证明：d（α﹣γ，β﹣γ）＝d（α，β）．

2026年高考数学复习难题速递之集合（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DCCCDDAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABCACDABDABD一．选择题（共8小题）1．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．“群”的定义是：设G为某种元素组成的一个非空集合，若在G内定义一个运算“*”，满足以下条件：①任意a，b∈G．有a*b∈G②如a，b，c∈G，有（a*b）*c＝a*（b*c）；③在G中有一个元素e，对任意a∈G，都有a*e＝e*a＝a，称e为G的单位元；④任意a∈G，在G中存在唯一确定的b，使a*b＝b*a＝e，称b为a的逆元；此时称（G，*）为一个群例如实数集R和实数集上的加法运算“+”就构成一个群（R，+），其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）A．G＝Q，则（G，+）为一个群 B．G={2m+3nC．G＝{﹣1，1}，则（G，×）为一个群 D．G＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，则（G，×）为一个群【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新文化类；新定义类．【答案】D【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可．【解答】解：因为①任意a，b∈G．有a*b∈G②如a，b，c∈G，有（a*b）*c＝a*（b*c）；③在G中有一个元素e，对任意a∈G，都有a*e＝e*a＝a，称e为G的单位元；④任意a∈G，在G中存在唯一确定的b，使a*b＝b*a＝e，称b为a的逆元；此时称（G，*）为一个群，结合定义分析各选项：A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律，设a∈Q，单位元为e，则a+e＝a，故e＝0，所以每一个数的相反数为其逆元，故（G，+）为一个群，选项A正确；B选项：G={2m求和满足结合律，设2x+3则2x+3y+每一个数的相反数为其逆元，（G，+）为一个群，故选项B正确；C选项：G＝{﹣1，1}中的两个元素相乘，其积可能为1或﹣1，又1∈G，﹣1∈G，设a∈G，单位元为e，则a×e＝a，故e＝1，1的逆元为1，﹣1的逆元为﹣1，所以则（G，×）为一个群，故C正确；D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合律，设a∈G，单位元为e，则a×e＝a，故e＝1，又3∈G，故存在b∈G，使得3b＝1，则b=故（G，×）不为一个群，故D错误．故选：D．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了学生分析解决问题的能力，属于难题．2．对于a∈R，设集合A={x|(x2-6x+aA．不存在实数a，使得S（a）＝6 B．存在实数a，使得T（a）＝9 C．存在无数的a，使得S（a）＝7 D．若T（a）＝3，则a＝3【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；分类法；集合；运算求解．【答案】C【分析】先将分式方程转化为整式方程，确定方程有解的条件（分母不为零），然后对一元二次方程的判别式进行分类讨论，求出不同情况下集合A的元素，进而计算S（a）和T（a）最后对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据已知，要使(x2-6x+a)(x-1)x+a=0，只需（x2﹣6x+a）（x﹣1）＝0且x+a≠0，则由（x2﹣6x+a）（x﹣1）＝0可得x对于一元二次方程x2﹣6x+a＝0，其判别式Δ＝36﹣4a，当Δ＝0，即a＝9时，集合A＝{1，3}，S（a）＝4，T（a）＝3；当Δ＜0，即a＞9时，集合A＝{1}，S（a）＝T（a）＝1；当Δ＞0，即a＜9时，一元二次方程x2﹣6x+a＝0的解为x=3①a＝0时，x≠0，则集合A＝{1，6}，则S（a）＝7，T（a）＝6，②当a＝﹣7时，x≠7，则集合A＝{﹣1，1}，则S（a）＝0，T（a）＝﹣1，③当a＝﹣1时，x≠1，则集合A＝{﹣1，1}，则S（a）＝6，T（a）＝﹣1，④当a＝5时，x≠﹣5，则集合A＝{1，5}，则S（a）＝6，T（a）＝5，⑤当a≠5，0，﹣1，﹣7时，集合A={1，3-9-a，3+9-a}，则S选项A，当a＝5时，S（a）＝6，所以A错误；选项B，T（a）的可能值为﹣1，1，3，5，6，a（a＜9），无T（a）＝9，所以B错误；选项C，当a＜9，且a≠5，﹣1，﹣7时，S（a）＝7，有无数个a满足，所以C正确；选项D，当T（a）＝3时，有a＝3和a＝9满足，所以D错误．故选：C．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于难题．3．设集合S，T中元素均为正整数，且至少有两个元素，若S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则yx则关于下面两个命题，说法正确的是（）命题α：若S有3个元素，则S∪T有4个元素．命题β：若S有4个元素，则S∪T有7个元素．A．α是真命题，β是真命题 B．α是真命题，β是假命题 C．α是假命题，β是真命题 D．α是假命题，β是假命题【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；转化法；集合；运算求解；新定义类．【答案】C【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除假命题，然后证明命题的正确性即可．【解答】解：若取S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，此时S∪T＝{2，4，8，16，32}，包含5个元素，则命题α是假命题；若取S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，此时S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，包含7个元素，则命题β可能是真命题；下面来证明：设集合S＝{p1，p2，p3，p4}，且p1＜p2＜p3＜p4，p1则p1p2＜p2p4，且p1p2，p2p4∈T，则p4同理p4若p1＝1，则p2≥2，则p1=1＜p3又p4＞p4p故S={1，p2若p1≥2，则p2p1＜p又p4＞p4p故S={p若q∈T，则qp13∈S，故存在i∈{1，2，3故q=p13+i此时S∪T={p1，故选：C．【点评】本题主要考查元素与集合的关系、集合新定义，属于难题．4．设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card（∅）＝0．已知集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅，若card（A）∉A，card（B）∉B，则满足条件的所有不同集合A的个数为（）A．3 B．6 C．10 D．64【考点】集合交集关系的应用；集合并集关系的应用．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】C【分析】设card（A）＝k，由题意结合两集合元素个数和为6，可推理出k∈B，6﹣k∈A，按k的取值分类求解即可．【解答】解：若A＝∅时，B＝{1，2，3，4，5，6}，则card（A）＝0，则card（B）＝6∈B，这与题意card（B）∉B矛盾，故不满足题意；故A≠∅．设A中元素的个数为card（A）＝k（k＝1，2，⋯，6），则B中元素的个数为card（B）＝6﹣k，且6﹣k∈A∪B，由k∉A且6﹣k∉B，得k∈B，6﹣k∈A．①当k＝5时，则由card（A）＝5∉A，得5∈B，又card（B）＝1，所以B＝{5}，A＝{1，2，3，4，6}满足题意；②当k＝2时，则2∉A，4∉B，则2∈B，4∈A，又card（A）＝2，若A＝{4，5}，则B＝{1，2，3，6}；若A＝{4，6}，则B＝{1，2，3，5}；若A＝{1，4}，则B＝{2，3，5，6}；若A＝{3，4}，则B＝{1，2，5，6}；以上情况都满足题意；③当k＝3时，即card（A）＝3，则3∉A，3∈B，但此时card（B）＝6﹣3＝3∉B，故产生矛盾，所以不满足题意；④当k＝4时，则由card（B）＝6﹣4＝2∉B且card（A）＝4∉A，得2∈A，4∈B，又card（B）＝2，与②同理可得不同集合B的个数有4个，即不同集合A的个数有4个；⑤当k＝1时，则5∈A，又card（A）＝1，所以A＝{5}，B＝{1，2，3，4，6}满足题意；综上，满足条件的所有不同集合A的个数为1+4+4+1＝10．故选：C．【点评】本题主要考查集合交集、并集关系的应用，属于难题．5．设a，b，c为实数，记集合A＝{x|（x+a）（x2+bx+c）＝0，x∈R}，B＝{x|（ax+1）（cx2+bx+1）＝0，x∈R}．若card（A），card（B）分别为集合A，B的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．card（A）＝1且card（B）＝0 B．card（A）＝1且card（B）＝1 C．card（A）＝2且card（B）＝2 D．card（A）＝2且card（B）＝3【考点】判断元素与集合的属于关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】由方程x+a＝0，ax+1＝0，x2+bx+c＝0，cx2+bx+1＝0根的关系，结合a＝0，c＝0及判别式对根的个数的影响，通过假设方程ax+1＝0有一解，方程cx2+bx+1＝0有两解，逆推方程（x+a）（x2+bx+c）＝0的解的个数即可得答案．【解答】解：若card（B）＝3，则方程ax+1＝0有一解，方程cx2+bx+1＝0有两不等解，且x=-1a不是方程cx2+bx+1∴ca2-ba+1≠0，则a2﹣ab+c≠0，即x＝﹣a不是方程x2+又方程cx2+bx+1＝0有两不等解，所以Δ＝b2﹣4c＞0，也就是方程x2+bx+c＝0有两不等根，则card（A）＝0有三个元素，可知D不可能成立；对于（x+a）（x2+bx+c）＝0，此方程至少有一个根x＝﹣a，当Δ＝b2﹣4c＝0时，方程还有一根x=-b2，只要b≠2a时，方程（x+a）（x2+bx+c当b＝2a时，方程（x+a）（x2+bx+c）＝0只有一个根，当Δ＝b2﹣4c＜0时，方程（x+a）（x2+bx+c）＝0只有一个根，当Δ＝b2﹣4c＞0时，方程（x+a）（x2+bx+c）＝0有两根或三个根，当a＝b＝c时，card（A）＝1且card（B）＝0，故A正确；当a＞0，b＝0，c＞0时，card（A）＝1且card（B）＝1，故B正确；当a＝c＝1，b＝﹣2时，card（A）＝2且card（B）＝2，故C正确．故选：D．【点评】本题考查元素与集合间的关系，考查集合中元素个数的求法，属难题．6．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值不可能是（）A．-22 B．0 C．3 D【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；分类法；集合；运算求解；新定义类．【答案】D【分析】先确定C（A），再由新定义得C（B）的可能值，然后分情况讨论方程根的个数，逐一验证选项．【解答】解：由A＝{x|x2﹣1＝0}得A＝{1，﹣1}，故C（A）＝2．由A*B＝1得|2﹣C（B）|＝1，即C（B）＝1或C（B）＝3．对于集合B，方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0可拆为ax2+3x＝0和x2+ax+2＝0．当a＝0时，ax2+3x＝0的根为x＝0，x2+2＝0无实根，故B＝{0}，C（B）＝1，符合条件．当a≠0时，ax2+3x＝0的根为x＝0和x=若C（B）＝3，则x2+ax+2＝0有一个根与0或-3若根与-3a重合，代入x2+ax+2＝0得(-3aa＝3时，B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合；a＝﹣3时，B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合．若x2+ax+2＝0有两个相等实根，即Δ＝a2﹣8＝0，解得a=a=22时，B={0，-324a=-22时，B={0，3当a＝2时，ax2+3x＝0的根为0和-32，x2+2x+2＝0无实根，故B={0，-32}，C（B）＝2，A故选：D．【点评】本题主要考查集合新定义、方程根的个数与判别式的关系，属于难题．7．已知集合M＝{x|x∈N，0＜x≤15}，A1、A2、A3满足：①A1∪A2∪A3＝M；②每个集合都恰有5个元素．集合Ai（i＝1，2，3）中最大元素与最小元素之和称为Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（）A．37 B．39 C．48 D．57【考点】元素与集合关系的判断．【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解．【答案】A【分析】根据题意得到集合Ai（i＝1，2，3）的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使X1+X2+X3最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使X1+X2+X3最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合A1，A2，A3中的元素，从而推得X1+X2+X3的取值范围，由此得解．【解答】解：因为集合M＝{x|x∈N，0＜x≤15}＝{1，2，3，⋯，15}，又因为集合A1，A2，A3中，每个集合恰有5个元素，且A1∪A2∪A3＝M有15个元素，所以集合A1，A2，A3中没有重复元素，因为1是集合M中数值最小的元素，15是集合M中数值最大的元素，所以在Ai的特征数构成中，必有1和15，不妨设1∈A1，15∈A1，要使X1+X2+X3最大，则应该在集合A1中首先放置数值较小的元素，即A1＝{1，2，3，4，15}，所以5与14是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设5∈A2，14∈A2，接着在A2中再次放置数值较小的元素，即A2＝{5，6，7，8，14}，则A3＝{9，10，11，12，13}，此时X1+X2+X3有最大值为1+15+5+14+9+13＝57，即X1+X2+X3≤57；要使X1+X2+X3最小，则在集合A1中首先放置数值较大的元素，即A1＝{1，12，13，14，15}，所以2与11是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设2∈A2，11∈A2，接着在A2中再次放置数值较大的元素，即A2＝{2，8，9，10，11}，则A3＝{3，4，5，6，7}，此时X1+X2+X3有最小值为1+15+2+11+3+7＝39，即X1+X2+X3≥39，综上，39≤X1+X2+X3≤57，显然，选项A不满足39≤X1+X2+X3≤57，故A正确；选项BCD都满足39≤X1+X2+X3≤57，故BCD错误．故选：A．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属难题．8．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A、B是U的子集，若A∩B＝{1，2}，就称{A，B}为“好集”，那么所有“好集”的个数为（）A．24 B．27 C．32 D．36【考点】集合交集关系的应用；子集的个数．【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】对A∪B的元素个数进行分类讨论，列举出集合A、B，即可得出结果．【解答】解：由题意可知，{1，2}⊆A，{1，2}⊆B，分以下几种情况讨论：（1）A∪B＝{1，2}，则A＝B＝{1，2}，只有1种情况；（2）当A∪B有5个元素时，则A∪B＝{1，2，3，4，5}，因为{A，B}为“好集”，有以下8种情况：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2}；A＝{1，2，3}，B＝{1，2，4，5}；A＝{1，2，4}，B＝{1，2，3，5}；A＝{1，2，5}，B＝{1，2，3，4}；A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，5}；A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4}；A＝{1，2，4，5}，B＝{1，2，3}；A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}．（3）当A∪B有4个元素时，则A∪B＝{1，2，3，4}或A∪B＝{1，2，3，5}或A∪B＝{1，2，4，5}，如A∪B＝{1，2，3，4}，因为{A，B}为“好集”，有以下4种情况：A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}；A＝{1，2，3}，B＝{1，2，4}；A＝{1，2，4}，B＝{1，2，3}；A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．此时，共有3×4＝12种情况．（3）当A∪B有3个元素，有3种情况，如A∪B＝{1，2，3}时，因为{A，B}为“好集”，有2种情况：A＝{1，2，3}，B＝{1，2}；A＝{1，2}、B＝{1，2，3}．此时，共有3×2＝6种情况．综上所述，所有“好集”的个数为1+8+12+6＝27．故选：B．【点评】本题主要考查集合的新定义，考查分类讨论思想，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩（∁UB）∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环．则下列说法正确的是（）A．若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的环 B．若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈F D．若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[3，5]∈F【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合；运算求解．【答案】ABC【分析】利用题设中的信息，结合集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解．【解答】解：由题意知：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩（∁UB）∈F且A∪B∈F，对于选项A，由于全集U＝{1，2，3，4，5，6}且F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}，满足∅∈F且当A，B∈F时，可得A∩（∁UB）∈F且A∪B∈F，故选项A正确；对于选项B，由U＝{a，b，c}，U的所有子集构成的集合为{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}共8个，若F是U的子集构成的集合，所以集合F有8个元素，满足环的定义，故选项B正确；对于选项C，若{2}∈F，{3，5}∈F，可得{2}∪{3，5}＝{2，3，5}∈F，所以{2}∪{3，5}＝{2，3，5}∈F＝{∅，{2}，{3，5}，{2，3，5}}是个环，其中F中含有4个元素，故选项C正确；对于选项D，若[0，3]∈F，[2，4]∈F，可得[0，3]∩∁R[2，4]＝（0，2）∈F，[2，4]∩∁R[0，3]＝（3，4]∈F，[2，4]∪[0，3]＝[0，4]∈F，[0，3]∩∁R[0，2）＝[2，3]∈F，[0，4]∩∁R[2，3]＝[0，2）∪（3，4]∈F，且∅∈F，所以集合F中至少有8个元素，故选项D错误．故选：ABC．【点评】本题是一道新定义题目，是中档题．（多选）10．对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．下列命题中，是真命题的为（）A．若A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则A⊕B＝{﹣1，2} B．若A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A⊕B＝{x|﹣1≤x≤0}∪{x|1≤x≤2} C．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ D．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维；新定义类．【答案】ACD【分析】根据定义可得A⊕B＝[（∁RA）∩B]∪[A∩（∁RB）]，对于A，B，结合集合运算法则求∁RA∩B，A∩∁RB，再求A⊕B即可判断，对于C，由A⊕B＝B可得∁RA∩B＝B，A∩∁RB＝∅，由此可得B⊆∁RA，A⊆B，由此证明A＝∅，即可判断，对于D，由A⊕B＝∅可得∁RA∩B＝∅，A∩∁RB＝∅，结合集合关系推出A＝B即可判断．【解答】解：对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差，∴A⊕B＝[（∁RA）∩B]∪[A∩（∁RB）]，对于A，∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，∴∁RA∩B＝{2}，A∩∁RB＝{﹣1}，∴A⊕B＝{﹣1，2}，故A正确；对于B，∵A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴（∁RA）∩B＝{x|1＜x≤2}，A∩∁RB＝{x|﹣1≤x＜0}，∴A⊕B＝{x|﹣1≤x＜0}∪{x|1＜x≤2}，故B错误；对于C，若A⊕B＝B，则∁RA∩B＝B，A∩∁RB＝∅，∁RA∩B＝B⇒B⊆∁RA，A∩∁RB＝∅⇒A⊆B，∴A＝∅，故C正确；对于D，若A⊕B＝∅，则∁RA∩B＝∅，A∩∁RB＝∅，由∁RA∩B＝∅可得B⊆A，由A∩∁RB＝∅可得A⊆B，∴A＝B，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查新定义、交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．（多选）11．定义全集U的子集A的特征函数fA（x）=1，x∈A0，x∈∁UA，这里∁UA．A⊆B⇒fA（x）≤fB（x） B．f∁UA（x）＝1﹣fA（C．fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x） D．fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维．【答案】ABD【分析】利用特征函数的定义知，由A⊆B，对x与A、B关系分类讨论，可得A正确；利用特征函数的定义可判断B的正误；取特殊值情况A∩B≠∅，利用定义可判断C的正误；利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D的正误，综合可得出结论．【解答】解：对于A：∵A⊆B，分类讨论：①当x∈A，则x∈B，此时fA（x）＝fB（x）＝1；②当x∉A，且x∉B，即x∈∁UB，此时fA（x）＝fB（x）＝0；③当x∉A，且x∈B，即x∈（∁UA）∩B时，fA（x）＝0，fB（x）＝1，此时fA（x）≤fB（x）．综上有fA（x）≤fB（x），故A正确；对于B：f∁UA(x)=1，x对于C：假设A∩B≠∅，任取x∈A∩B，则x∈A∪B，则fA∪B（x）＝1，fA（x）+fB（x）＝2，则fA∪B（x）≠fA（x）+fB（x），故C不正确；对于D：（1）若A∩B＝∅，则fA∩B（x）＝0，有三种情况：①当x∈A时，fA（x）＝1，fB（x）＝0；②当x∈B时，fA（x）＝0，fB（x）＝1；③当x∉A且x∉B时，fA（x）＝0，fB（x）＝0，以上均满足fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）．（2）若A∩B≠∅时，有以下4种情况，①当x∈A且x∉B时，fA（x）＝1，fB（x）＝0，fA∩B（x）＝0；②当x∉A且x∈B时，fA（x）＝0，fB（x）＝1，fA∩B（x）＝0；③当x∈A∩B时，fA∩B（x）＝fA（x）＝fB（x）＝1；④当x∈∁U（A∪B）时，fA∩B（x）＝fA（x）＝fB（x）＝0，以上均满足fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）．综上所述，fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x），故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查集合包含关系及其应用，考查逻辑推理能力，属于难题．（多选）12．非空数集A⊆R，同时满足如下两个性质：（1）若a，b∈A，则ab∈A；（2）若a∈A，则1a∈A①若A为一个“封闭集”，则1∈A；②若A为一个“封闭集”且a，b∈A，则ab③若A，B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A；④若A，B都是“封闭集”，则A∪B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A．正确的是（）A．① B．② C．③ D．④【考点】集合的包含关系的应用；元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解；新定义类．【答案】ABD【分析】对于①②，由封闭集的定义可得正确；对于③，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确．【解答】解：对于①，因为A是非空“封闭集”，取a∈A，则1a∈A，故a对于②，若a，b∈A，则1b∈A，又a∈A，所以a对于③，A={12，1，2}，B对于④，充分性：A，B都是“封闭集”，若A⊆B或B⊆A，易知A∪B是“封闭集”，必要性：若A∪B是“封闭集”，令A∪B＝C，假设A⊂B且则存在a∈A，a∉B，b∈B，b∉A，同时a∈C，b∈C，因为A∪B＝C是“封闭集”，所以ab∈若ab∈A，又a∈A，则1a∈A若ab∉A，又b∈B，则1b∈B故假设不成立，原结论A∪B是“封闭集”则A⊆B或B⊆A．必要性成立，故正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查集合的新定义问题，属于难题．三．填空题（共4小题）13．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤12}，集合A1、A2、A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai（i＝1，2，3）中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的积为1485．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；数据分析；新定义类．【答案】1485．【分析】判断集合A1，A2，A3中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可．【解答】解：因为A1、A2、A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3＝M，所以A1、A2、A3一定各包含4个不同数值，根据题意A1、A2、A3的最小元素必有1，最大元素必有12，要使X1+X2+X3最小，则A1、A2、A3中最小元素分别为1，2，3，而除12外的另两个最大元素要尽量小，如A1的最小元素为1，最大元素为12，此时要使A2、A3中最大元素尽可能小，则11，10必属于A1，此时还剩下的最大数为9，则9必为A2、A3中的最大元素，不妨令9∈A2，要使A3中最大元素尽可能小，则8、7必属于A2，此时还剩下的最大数为6，即A3中最大元素为6，如A1＝{1，10，11，12}，特征数为X1＝13A2＝{2，7，8，9}，特征数为X2＝11；A3＝3，4，5，6，特征数为X3＝9，此时X1+X2+X3最小，最小值为13+11+9＝33；同理，当集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时，特征数的和X1+X2+X3最大，如：A1＝1，2，3，12，特征数为X1＝13；A2＝4，5，6，11，特征数为X2＝15；A3＝{7，8，9，10}，特征数为X3＝17；则X1+X2+X3最大，最大值为13+15+17＝45，故X1+X2+X3的最大值与最小值的积为45×33＝1485．故答案为：1485．【点评】本题考查了元素与集合的关系，考查了集合思想，属于难题．14．已知a，b，c为实数，用|S|表示集合S的元素个数，若集合A＝{x|（ax+1）（cx2+bx+1）＝0}，则|A|所有可能的值是0或1或2或3．【考点】判断元素与集合的属于关系．【专题】集合思想；转化法；集合；运算求解；新定义类．【答案】0或1或2或3．【分析】分情况讨论方程解的情况，即可得|A|的所有可能的值．【解答】解：由已知得|A|的取值即为方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0的解的情况，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0，即ax+1＝0①或cx2+bx+1＝0②；当a＝0时，方程①无解；当a≠0时，方程①的解为x=当c＝0，b＝0时，方程②无解，当c＝0，b≠0时，方程②只有一解为x=当c≠0时，若满足b2﹣4c＜0，方程②无解；若满足b2﹣4c＝0，方程②只有一解为x=若满足b2﹣4c＞0，方程②有两个不同的解，为x=-b综上所述，当a＝0，且c≠0，b2﹣4c＜0时，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0无解，此时|A|＝0；当a＝0，且c＝0，b≠0时，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有一解为x=-1b，此时|A当a＝0，且c＝0，b＝0时，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0无解，此时|A|＝0；当a＝0，且c≠0，b2﹣4c＝0时，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0解为x=-2b，此时|A当a＝0，且c≠0，b2﹣4c＞0时，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有两个解，分别为x=-b+b2-4c当a≠0，且c＝0时，若a＝b，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有一解为x=-1b=-1a若a≠b，且b≠0，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有两个解，分别为x=-1a或x=-1若a≠b，且b＝0，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有一个解，分别为x=-1a，此时|A当a≠0，且c≠0，b2﹣4c＜0时，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有一解为x=-1a，此时|A当a≠0，且c≠0，b2﹣4c＝0时，若a=12b，方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有一解为x=-2若a≠12b，方程（ax+1）（cx2+bx分别为x=-1a或x=-2当a≠0，且c≠0，b2﹣4c＞0时，若-1a=则方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有两个解，分别为x=-b+b2-4c若-1a≠-b+b2-4c2c，且分别为x=-1a或x=-b+b故|A|的可能取值为0或1或2或3．故答案为：0或1或2或3．【点评】本题主要考查集合新定义，属于难题．15．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义Card（T）为集合T中的元素个数，对于n元集合M，其展拓集合记为N，满足M⊆N，2n≤card（N）≤n2，其中n≥2．已知集合A＝{3，t}，B＝{4，s，s2}，若A∪B的展拓集合C满足Card（C）＝7，则s2+t2的最大值为90．【考点】集合中元素个数的最值．【专题】集合思想；转化法；集合；运算求解；新定义类．【答案】90．【分析】先确定A∪B的元素个数n，再根据A⊆B分情况讨论s和t的取值，进而求出s2+t2的最大值．【解答】解：设Card（A∪B）＝n，由拓展集合定义得2n≤7≤n2，n∈N*且n≥2，解得n因Card（B）＝3，故A∪B＝B，即A⊆B．若s＝3，则B＝{4，3，9}，t∈{4，9}，此时s2+t2的最大值为32+92＝90；若s2＝3，即s=±3，则B={4，此时s2+t2的最大值为3+42＝19；综上，s2+t2的最大值为90．故答案为：90．【点评】本题主要考查集合的包含关系、新定义问题及最值求解，属于中档题．16．设A1，A2，A3，⋯，A7是均含有2个元素的集合，且A1∩A7＝∅，Ai∩Ai+1＝∅（i＝1，2，3，⋯，6），记B＝A1∪A2∪A3∪⋯∪A7，则B中元素个数的最小值是5．【考点】集合中元素个数的最值．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】5．【分析】先得到A1与A2的元素不同，则A1∪A2元素个数为4，并得到B中元素个数至少4个，进而对元素的个数由小到大进行分类分析验证是否满足．【解答】因为A1∩A7＝∅，Ai∩Ai+1＝∅（i＝1，2，3，⋯，6），所以A1∪A2元素个数为4，所以B中元素个数至少4个，①假设集合B中含有5个元素，可设A1＝A6＝{x1，x2}，A2＝A7＝{x3，x4}，A3＝{x5，x1}，A4＝{x2，x3}，A5＝{x4，x5}，满足题意．②假设集合B中含有4个元素，可设A1＝{x1，x2}，则A2＝A4＝A6＝{x3，x4}，A3＝A5＝A7＝{x1，x2}，这与A1∩A7＝∅矛盾；综上所述，集合B中元素个数最少为5．故答案为：5．【点评】本题主要考查集合中元素个数的最值，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．设正整数n≥4，若由实数组成的集合A＝{a1，a2，…，an}满足：“对A中任意三个不同的元素a，b，c，均有a+b+c∈A或abc∈A”，则称A具有性质P．（Ⅰ）分别判断A1＝{﹣2，﹣1，0，1，2}和A2={1（Ⅱ）设a＞b＞c＞0，集合B＝{﹣c，﹣b，﹣a，a，b，c}具有性质P，记B中不小于1的元素个数为k，求k的取值范围；（Ⅲ）若集合A具有性质P，求n的最大值．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．【答案】（1）A1具有性质P，A2不具有性质P，理由如下：对于A1＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于A1当任意三个元素中有0，则三个元素的乘积为0∈A1，当任意三个不同元素不含0，则﹣2+（﹣1）+1＝﹣2∈A1，﹣2+（﹣1）+2＝﹣1∈A1，﹣1+1+2＝2∈A，﹣2+1+2＝1∈A1，可知A1具有性质P，A1＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，对于A2={16，13，12，1，2}，任意三个不同的元素的和或因此A2不具有性质P；（2）{1，2}；（3）9．【分析】（1）根据集合A具有性质P的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质；（2）根据条件对k的取值进行分类讨论，根据集合A具有性质P的定义进行判断；（3）根据集合A具有性质P，对于b1bk的范围进行分类讨论即可得到结果．【解答】解：（1）A1具有性质P，A2不具有性质P．对于A1＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于A1当任意三个元素中有0，则三个元素的乘积为0∈A1，当任意三个不同元素不含0，则﹣2+（﹣1）+1＝﹣2∈A1，﹣2+（﹣1）+2＝﹣1∈A1，﹣1+1+2＝2∈A，﹣2+1+2＝1∈A1，可知A1具有性质P，A1＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，对于A2={16，13，12，1，2}，任意三个不同的元素的和或因此A2不具有性质P；（2）设a＞b＞c＞0，集合B＝{﹣c，﹣b，﹣a，a，b，c}具有性质P，记B中不小于1的元素个数为k，当k＝0时，a，b，c＜1，﹣a﹣b﹣c∉B且﹣abc∉B，不具有性质P，当k＝1时，a≥1，b，c＜1，例如B＝{﹣2，﹣0.5，﹣0.4，0.5，0.4，2}具有性质P，当k＝2时，a，b≥1，c＜1，例如B＝{﹣0.5，﹣1.5，﹣2，0.5，1.5，2}具有性质P，当k＝3时，a，b，c≥1，a+b+c∉B且abc∉B不具有性质P，所以k的取值范围为{1，2}；（3）显然n取最大时，0∈A，因为0•ai•aj＝0∈A，设集合A有k个正实数，且不妨设b1＜b2＜⋯＜bk，现取三元集{b1，bi，bk}，其中2≤i≤k﹣1，由于b1+bi+bk＞bk，故b1+bi+bk∉A，只能是b1b1bk∈A，注意到b1bibk（2≤i≤k﹣1）是两两不等的实数，①当b1bk＞1时，有b1bibk＞bi（2≤i≤k﹣1），又因为这k﹣2个元素都在A中，所以只能是b1bibk＝bi+1（2≤i≤k﹣1），则b2～bk为等比数列，取i＝k﹣1，则有b1bk﹣1＝1（*）显然有k≤3，否则若k≥4，再取三元集{b2，bi，bk}，其中3≤i≤k﹣1，又因为b2bk＞b1bk＞1，同理可得b2bibk＝bi+1（3≤i≤k﹣1），取i＝k﹣1，则有b2bk﹣1＝1与（*）式矛盾，②当b1bk＝1时，有b2bk＞1，由①同理可得k≤4，③当b1bk＜1时，有b1bibk＜bi（2≤i≤k﹣1），则b1bibk＝bi﹣1（2≤i≤k﹣1），则b1～bk﹣1为等比数列，取i＝2，则有b2bk＝1，则b3bk＞1，有b3bibk＞bi（4≤i≤k﹣1），由①同理可得b3bk﹣1＝1，k≤5，当k＝5时，由前面分析可知bk=b对于三元集{b1，b2，b3}和{b1，b2，b4}，b1b2b3=b13q3显然b13q3，b13q4∉{b1，b2b3b4则b1+b2+b3，b1+b2+b4∈\{b1，b2b3b4b5}，即b1+b2+b3＝b4，b1+b2+b4＝b5，即1+q+q2=同理可得A集合中负数的个数小于等于4．构造A＝{﹣4，﹣2，-12，-14，0，14，1综上所述，n的最大值为9．【点评】本题考查了集合新定义问题，考查了分类讨论思想，是难题．18．已知集合S为非空实数集，定义：A＝{x|x＝a+b，a，b∈S}，B＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈S}（注：a和b可相等，也可不相等）．（1）若集合S＝{0，1，4}，写出集合A，B；（2）若集合S＝{0，2，x，y}，2＜x＜y，且B＝S，求x，y的值；（3）若集合S⊆{x|0≤x≤100，x∈N}，A∩B＝∅，记card（S）为集合S中元素的个数，求card（S）的最大值．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．【答案】（1）A＝{0，1，4，2，5，8}，B＝{0，1，3，4}；（2）x＝4，y＝6；（3）67．【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合A，B；（2）根据给定的定义求出集合B，再利用集合相等求出x，y；（3）设集合S＝{m，m+1，m+2，⋯，100}（m∈N），求出对应的集合A，B，再由A∩B＝∅建立不等式关系，求出对应的值即可．【解答】解：（1）因为集合S＝{0，1，4}，所以0+0＝0，0+1＝1，0+4＝4，1+1＝2，1+4＝5，4+4＝8，|0﹣0|＝0，|0﹣1|＝1，|0﹣4|＝4，|1﹣1|＝0，|1﹣4|＝3，|4﹣4|＝0，所以A＝{0，1，4，2，5，8}，B＝{0，1，3，4}；（2）集合S＝{0，2，x，y}，2＜x＜y，则集合B中元素为：0，2，x，y，x﹣2，y﹣2，y﹣x，显然0＜x﹣2＜y﹣2＜y，y﹣x＜y﹣2，因为B＝S，所以y-x=2x-2=2y-2=此时S＝{0，2，4，6}，B＝{0，2，4，6}，满足B＝S，所以x＝4，y＝6；（3）设S={a1，a2，⋯，a则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜...＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜...＜ak﹣1+ak＜2ak，则card（A）≥2k﹣1，又因为0＝a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜...＜ak﹣a1，则card（B）≥k，由A∩B＝∅，得card（A∪B）＝card（A）+card（B）≥3k﹣1，由题意可知，A∪B中最小的元素为0，最大的元素为2ak，所以card（A∪B）≤2ak+1，所以3k解得k≤67，下面证明当S＝{34，35，36，⋯，100}时满足题意，证明：设S＝{m，m+1，m+2，⋯，100}，m∈N，则A＝{2m，2m+1，2m+2，⋯，200}，B＝{0，1，2，⋯，100﹣m}，由A∩B＝∅，得100﹣m＜2m，解得m＞因此m的最小值为34，即当m＝34时，S中元素最多，S＝{34，35，36，⋯，100}时满足题意，所以card（S）的最大值是67．【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于难题．19．记集合X的元素个数为|X|．对于集合An＝{x∈N*|x≤2n}（n∈N*且n≥2），如果∀P⊆An且|P|＝k，均∃a，b∈P（a≠b），使得a+b＝2n+1，那么就称k是集合An的一个“平衡数”．（Ⅰ）当n＝2时，直接判断k＝2和k＝3是否为A2的“平衡数”；（Ⅱ）若k为集合A6的“平衡数”，求证：k≥7；（Ⅲ）求集合An的“平衡数”的最小值（用n表示）．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】转化思想；综合法；集合；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）k＝2不是A2的“平衡数”；k＝3是A2的“平衡数”；（Ⅱ）证明：A6＝{x∈N*|x≤12}，2×6+1＝13，若k＝6，取P＝{1，2，3，4，5，6}，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13，即k＝6不是A6的“平衡数”，同理k＜6，更不满足定义；事实上，A6中的元素满足和为13的有（1，12），（2，11），（3，10），（4，9），（5，8），（6，7）六组，而当k≥7时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个在同一组，其和为13，所以若k为集合A6的“平衡数”，则k≥7；（Ⅲ）n+1．【分析】（Ⅰ）根据定义结合集合的子集可——判定；（Ⅱ）利用反证法集合抽屉原理证明即可；（Ⅲ）利用抽屉原理结合定义计算即可．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，A2＝{1，2，3，4}，2n+1＝5，若k＝2，取P＝{1，2}，显然a+b＝1+2≠5，所以k＝2不是A2的“平衡数”，若k＝3，则P可以为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，以上四个集合，含元素1，4或2，3的各两个，1+4＝2+3＝5，均可满足定义，所以k＝3是A2的“平衡数”；（Ⅱ）证明：A6＝{x∈N*|x≤12}，2×6+1＝13，若k＝6，取P＝{1，2，3，4，5，6}，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13，即k＝6不是A6的“平衡数”，同理k＜6，更不满足定义；事实上，A6中的元素满足和为13的有（1，12），（2，11），（3，10），（4，9），（5，8），（6，7）六组，而当k≥7时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个在同一组，其和为13，即证得k为集合A6的“平衡数”，k≥7；（Ⅲ）对于集合An={x∈N*|x≤2n}能组成和为2n+1的有（1，2n），（2，2根据抽屉原理，要保证任取k个元素，都至少有一对的和为2n+1，则k至少为n+1，假设k＝n，同上道理，取P＝{1，2，3，…，n﹣1，n}，在P中找不到两个不同的数a，b，使得a+b＝2n+1，所以集合An的“平衡数”的最小值为n+1．【点评】本题考查元素与集合关系的应用及新定义的应用，属于难题．20．已知n为正整数，集合Mn＝{（x1，x2，⋯，xn）|xi∈{0，1}，i＝1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α＝（a1，a2，⋯，an）和β＝（b1，b2，⋯，bn），定义：α﹣β＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）；d（α，β）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+⋯+|an﹣bn|．（1）当n＝3时，设α＝（1，0，1），β＝（0，1，1），写出α﹣β，并计算d（α，β）；（2）若集合S满足S⊆M2，且∀α，β∈S，d（α，β）＝2，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，不用证明；（3）若α，β∈M，任取γ∈M，证明：d（α﹣γ，β﹣γ）＝d（α，β）．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维；新定义类．【答案】（1）α﹣β＝（1，1，0），d（α，β）＝2；（2）最大值是2，S＝{（0，1），（1，0）}或S＝{（0，0），（1，1）}；（3）证明见解析．【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．【解答】（1）解：由定义可得α﹣β＝（1，1，0），d（α，β）＝2；（2）解：若α＝（0，1）∈S，由d（α，β）＝2，可得β＝（1，0），若α＝（0，0）∈S，由d（α，β）＝2，可得β＝（1，1），若α＝（0，0），β＝（0，1），则d（α，β）＝1，与已知矛盾，∴集合S中元素个数的最大值是2，此时S＝{（0，1），（1，0）}或S＝{（0，0），（1，1）}；（3）证明：设α＝（a1，a2，⋯，an），β＝（b1，b2，⋯，bn），γ＝（c1，c2，⋯，cn），∴ai，bi，ci∈{0，1}，|ai﹣bi|∈{0，1}（i＝1，2，3，⋯n），从而α﹣β＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）∈Mn，又d（α﹣γ，β﹣γ）＝||a1﹣c1|﹣|b1﹣c1||+||a2﹣c2|﹣|b2﹣c2||+⋯+||an﹣cn|﹣|bn﹣cn||，当ci＝1时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||＝|（1﹣ai）﹣（1﹣bi）|＝|ai﹣bi|；当ci＝0时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||＝|ai﹣bi|．∴d（α﹣γ，β﹣γ）＝d（α，β）．【点评】本题主要考查新定义问题，考查分类讨论及反证法的应用，属于中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数