2026年高考数学复习难题速递之直线与方程（2025年11月）

第37页（共37页）2026年高考数学复习难题速递之直线与方程（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．四条不重合直线l1、l2、l3、l4都经过点P（3，2），且其中任意一条直线与两坐标轴围成的三角形面积都是为S，则S的取值范围是（）A．（0，12） B．（0，12] C．（12，+∞） D．[12，+∞）2．曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪赫尔曼﹣闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），它们之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知点B（1，0），点M是直线kx﹣y+k+3＝0上的动点，点N是直线x+ky﹣4k+1＝0上的动点，其中k≥0．则d（B，M）+d（B，N）的最小值为（）A．4 B．245 C．5 D．3．已知两条平行直线l1：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y+4λ﹣7＝0，l2：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y﹣2λ﹣9＝0，当l1，l2之间的距离最大时，λ＝（）A．-12 B．-211 C．54．已知实数a，b，c，d满足4a+3b﹣3＝0，8c+6d+5＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．85 B．6425 C．1110 5．已知直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦，且|AB|=23，点D是线段AB的中点，则|A．[22，42]C．(22-1，6．已知直线x+2y﹣3＝0与直线ax+4y+b＝0关于点A（1，0）对称，则实数b的值为（）A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣67．在平面直角坐标系xOy中，P（x0，y0）为第一象限内的动点且在直线x+y﹣3＝0上，则x0+(A．45 B．1 C．2 D．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM＝PD，则点P的轨迹长度是（）A．112 B．142 C．11 D二．多选题（共4小题）（多选）9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，M为BC的中点．动点P满足AP→=2xAB→+xADA．点P一定在平面AA1M内 B．当y＝2x时，点P轨迹的长为3 C．当A1，P，M三点共线时，y﹣2x＝1 D．PA→⋅（多选）10．设坐标原点为O，直线l1：ax+2y+2a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+4﹣a＝0，则（）A．l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝﹣2 B．若l1⊥l2，则a=C．点O到直线l1的距离的最大值是2 D．若经过点（1，3）的直线l3与l2始终垂直，则垂足P与原点距离的最大值是2+（多选）11．已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x﹣my+m﹣2＝0和过定点B的动直线l2：mx+y﹣4+2m＝0交于点P（P与A，B不重合），下列命题正确的是（）A．|AB|＝5 B．|PA|2+|PB|2为定值 C．S△PAB的最大值为252 D．|PA|+|PB|的最大值为（多选）12．直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为32，且l1⊥l2A．直线l2关于点（0，0）对称的直线经过点（-52，﹣2B．直线l1与l2的交点坐标为（2，1） C．已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则l3的方程为2x+y﹣5＝0 D．已知动直线l3经过l1与l2的交点，当原点到13的距离最大时，点（4，2）到l3的距离为5三．填空题（共4小题）13．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则y+2x-2的取值范围是，（x+2）2+y2的取值范围是14．在平面直角坐标系中，已知一个正方形四条边所在的直线l1，l2，l3，l4分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），且l1的斜率为正数，给出下列三个结论：①若l1∥l2，则该正方形的面积是1617②若l1⊥l2，则该正方形的面积是365③若该正方形的面积为365，则l1的斜率为2其中正确结论的序号是．15．无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点．16．已知直线l经过点P（1，0）且与以A（2，1），B（3，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．四．解答题（共4小题）17．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的k∈N*且1≤k≤n，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为n连续共线点集．（1）若S＝{（x，y）|x∈{0，1，2}，y∈{0，1，2，3，4}}，判断S是否为3连续共线点集？是否为4连续共线点集？（2）已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为|S|．（i）若|S|＝6，求n的最大值；（ii）对给定的正整数n，求|S|的最小值．18．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点A（x1，y1），B（x2，y2），记D（A，B）=(x1-x2)2+(y1-y2)2，d（A，（I）若D（O，A）＝d（O，A）＝2，求点A的坐标；（Ⅱ）若点M（2，1），点N（x，y），且d（M，N）＝1，求D（M，N）的最大值；（Ⅲ）已知点P，Q是直线l：y﹣1＝k（x﹣1）上的动点，是否存在直线1使得d（O，P）min＝D（O，Q）min？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．19．已知直线l1：x﹣2y﹣5＝0，l2：3x+2y﹣7＝0．（1）求经过点A（2，4）且与直线l1垂直的直线方程；（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程．20．如图所示，已知三角形的三个顶点为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3），求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高AD所在直线的方程；（3）设M，N分别是线段AD，AB的中点，求直线MN所在直线的方程．（注意：最后结果统一用一般式表示）

2026年高考数学复习难题速递之直线与方程（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CADDBADB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDBCDABDABD一．选择题（共8小题）1．四条不重合直线l1、l2、l3、l4都经过点P（3，2），且其中任意一条直线与两坐标轴围成的三角形面积都是为S，则S的取值范围是（）A．（0，12） B．（0，12] C．（12，+∞） D．[12，+∞）【考点】点到直线的距离公式．【专题】解题思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】由题意，设直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），得三角形面积为：S=12⋅(3k-2)2|k|【解答】解：设过点P（3，2）的直线斜率为k≠0（否则无法围成三角形），则直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），令y＝0，得x=3-2k，即直线与令x＝0，得y＝2﹣3k，即直线与y轴交点为（0，2﹣3k），则三角形面积为：S=①当k＞0时，|k|＝k，则S=由均值不等式，有9k当且仅当k=23函数f(k)=9k2+2k且对任意S＞0，方程f（k）＝S有两个不同正解（分别在(0，23②当k＜0时，令t＝﹣k＞0，则|k|＝t，代入得：S=由均值不等式，有9t2+2t≥6，当且仅当t=函数g(t)=9t2+2t且当S＞12时，方程g（t）＝S有两个不同正解（对应两个不同负k值）；当S＝12时，有一个解；当S＜12时，无解；综上，S＞12时，k＞0有2解，k＜0有2解，共4条直线；S＝12时，k＞0有2解，k＜0有1解，共3条直线；0＜S＜12时，k＞0有2解，k＜0无解，共2条直线；S≤0时，无解；若存在四条不重合直线满足题意，则有S＞12．故选：C．【点评】本题考查直线方程与基本不等式的应用，属中档题．2．曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪赫尔曼﹣闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），它们之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知点B（1，0），点M是直线kx﹣y+k+3＝0上的动点，点N是直线x+ky﹣4k+1＝0上的动点，其中k≥0．则d（B，M）+d（B，N）的最小值为（）A．4 B．245 C．5 D．【考点】两点间的距离公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；数学建模；新定义类．【答案】A【分析】根据直线所过定点的求法和直线垂直关系判定可知l1⊥l2，大致锁定两直线位置，并验证出l2可过点B（1，0）；根据曼哈顿距离的几何意义，结合直线位置关系可确定当l2过B（1，0），即B，N重合时，所求曼哈顿距离和取最小值，由此可得结果．【解答】解：记直线l1：kx﹣y+k+3＝0，则l1：（x+1）k+（3﹣y）＝0，∴l1恒过定点（﹣1，3）；记直线l2：x+ky﹣4k+1＝0，则l2：（x+1）+（y﹣4）k＝0，∴l2恒过定点（﹣1，4）；∵k×1+（﹣1）×k＝0，∴l1⊥l2；若l1过点B（1，0），则2k+3＝0，解得k=-32，与k≥0矛盾，∴l1不过点B（若l2过点B（1，0），则2﹣4k＝0，解得k=12，符合题意，∴l2可过点B（1设曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝t，其中B（1，0），则A点到定点B（1，0）的曼哈顿距离为定值t的轨迹是正方形，该正方形以B（1，0）为中心，x轴为其中一条对角线，另一条对角线平行于y轴，且对角线长的一半为定值t，如下图所示，∵∠AFE=π4，AE⊥BF，∴|AE|＝∴|AE|+|BE|＝|EF|+|BE|＝|BF|＝t，可知A轨迹为该正方形；∴当正方形与l1相交于一点M时，d（B，M）＝|BM|；当正方形与l2相交于一点N时，d（B，N）＝|BN|，∴d（B，M）+d（B，N）＝|BM|+|BN|≥|BM|（当l2过B（1，0），即B，N重合时取等号），当l2过B（1，0）时，k=12，此时l1：12∴d（B，M）+d（B，N）的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查两点间的距离，直线恒过定点的求法，直线垂直的性质，考查运算求解能力，属于中档题．3．已知两条平行直线l1：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y+4λ﹣7＝0，l2：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y﹣2λ﹣9＝0，当l1，l2之间的距离最大时，λ＝（）A．-12 B．-211 C．5【考点】两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，求出直线l1、l2分别经过定点A（2，3）、B（4，1），结合平行线之间的距离的定义，判断出当直线l1、l2与直线AB垂直时，它们之间的距离最大，进而列式求出实数λ的值，可得答案．【解答】解：直线l1的方程可化为λ（x﹣2y+4）+（2x+y﹣7）＝0，可知直线l1经过直线x﹣2y+4＝0与直线2x+y﹣7＝0的交点A（2，3），同理可证出直线l2经过直线x﹣2y﹣2＝0与直线2x+y﹣9＝0的交点B（4，1），当直线l1、l2与直线AB垂直时，它们之间的距离等于|AB|，当直线l1、l2与直线AB不垂直时，直线l1、l2之间的距离小于|AB|，所以当l1、l2之间的距离最大时，l1⊥AB，结合kAB=1-34-2=-1，可得直线l1的斜率k＝1，即λ+22λ故选：D．【点评】本题主要考查经过定点的直线、垂直的两条直线的斜率关系、平行直线线的性质等知识，属于中档题．4．已知实数a，b，c，d满足4a+3b﹣3＝0，8c+6d+5＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．85 B．6425 C．1110 【考点】两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】将代数问题转化为几何中两平行线间距离的平方问题，利用距离公式求解．【解答】解：由题可知，4a+3b﹣3＝0与8c+6d+5＝0（即4c（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是这两条平行直线上点之间距离的平方，其最小值为两直线间距离的平方．根据两平行线间距离公式d=|C1-C2|A2+B2，其中A＝则距离d=|-3-52故选：D．【点评】本题主要考查两点间距离公式的几何意义及两平行线间距离公式的应用，属于中档题．5．已知直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦，且|AB|=23，点D是线段AB的中点，则|A．[22，42]C．(22-1，【考点】两条直线的交点坐标；直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】由圆的方程求得圆心C的坐标与圆C的半径，再求出两直线l1与l2的交点P的轨迹方程，画出图形，求出两圆的圆心距，则|PD|的最值可求．【解答】解：由题意得圆C的圆心为（﹣1，﹣1），半径r＝2，直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0恒过点（3，1），直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0恒过（1，3），且l1⊥l2，∴点P的轨迹为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，圆心为（2，2），半径为2，若点D为弦AB的中点，位置关系如图：连接CD，由|AB|=23，得|CD|=∴|PD|PD则|PD|的取值范围是[22故选：B．【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．6．已知直线x+2y﹣3＝0与直线ax+4y+b＝0关于点A（1，0）对称，则实数b的值为（）A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】首先利用直线关于点的对称求出对称直线的方程，最后利用对称性求出对应的b值．【解答】解：设直线x+2y﹣3＝0关于点A（1，0）对称，设点P（x，y）关于点A（1，0）的对称点的坐标为Q（m，n），所以x+m2=1y+n2=0，解得x=2-my=-n，故所求的直线方程为（2﹣m）即x+2y+1＝0与直线ax+4y+b＝0是同一条直线，故a＝2，b＝2．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：点关于线的对称，直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．7．在平面直角坐标系xOy中，P（x0，y0）为第一象限内的动点且在直线x+y﹣3＝0上，则x0+(A．45 B．1 C．2 D．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】过点O作点O关于线段2x+y＝2的对称点C，则x0+(x0-1【解答】解：如图，过点B（1，0）作点B关于线段x+y＝3的对称点C，则|PB|＝|PC|，设C（x1，y1），则：x12+y12=3y1设第一象限内的点P（x0，y0），则|PB|=(x0-而x0＞0，y0＞0，所以点P到y轴的距离为x0，所以则x0+(x0-1)2+y02的可视为线段x+y＝3上的点P（x0，过P作PD⊥x轴，显然有|PD|+|PC|≥|CD|，当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值，过点C作CH⊥y轴，则|CH|即x0+(设CH与直线的交点为P1，P1即为最小值时P的位置，因为|CH|＝3，则x0+(x0故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离求法，属中档题．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM＝PD，则点P的轨迹长度是（）A．112 B．142 C．11 D【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】B【分析】根据题目建立空间直角坐标系，再利用题干给出的条件列方程，找出轨迹端点进而算出轨迹长度．【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM＝PD，如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A′（2，0，2），C′（0，2，2），M（1，2，1），DA'→=(2设平面DA′C′的法向量为n→则2x0+2z0=02y0+2z0=0，令x0故平面DA′C′的法向量为n→设P（x，y，z），则DP→因为n→⊥DP→，所以x+y﹣又PM＝PD，所以x2整理得x+2y+z＝3，联立方程x+y-可得0≤x≤当x＝0时，P1（0，1，1），当x=32记MD的中垂面为α，又P是△A′C′D内（包括边界）的动点，因为在空间中满足PM＝PD，所以点P的轨迹是平面α与三角形A′C′D的公共部分，即点P的轨迹为线段P1P2，则|P故选：B．【点评】本题考查了点的轨迹长度的计算，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，M为BC的中点．动点P满足AP→=2xAB→+xADA．点P一定在平面AA1M内 B．当y＝2x时，点P轨迹的长为3 C．当A1，P，M三点共线时，y﹣2x＝1 D．PA→⋅【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对A，利用AM→=AB→+12AD→及共面向量基本定理即可判断；对B，取B1C1的中点N，即可得出AP→=2x【解答】解：对于A，由AM→所以AP→=2xAB→+xAD→+yAA1所以AP→，AM→，AA1→共面，即故点P在平面AA对于B，取B1C1的中点N，连接A1N，MN，则MN∥BB1，MN＝BB1，又AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以MN∥AA1，MN＝AA1，则四边形AMNA1为平行四边形，当y＝2x时，AP→=2x可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为AA12对于C，由AP→=2xAM→+yAA1→，及A1，P，对于D，由题{AB→，AD→，AA1→}为一组基底，所以DP→=AP→-AD→=所以PA→•PD→=AP→•DP→=（2xAB→+xAD→+yAA1→）•[2xAB→+（x﹣1）AD→+yAA1→]＝4x2AB→2+x（x﹣1）AD→2+y2A当且仅当x=14，y＝0时，PA→⋅故选：ABD．【点评】本题主要考查空间几何体中动点轨迹问题，向量的线性运算及数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．设坐标原点为O，直线l1：ax+2y+2a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+4﹣a＝0，则（）A．l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝﹣2 B．若l1⊥l2，则a=C．点O到直线l1的距离的最大值是2 D．若经过点（1，3）的直线l3与l2始终垂直，则垂足P与原点距离的最大值是2+【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】BCD【分析】求出l1∥l2的充要条件，判断出A项的正误；根据两直线垂直的充要条件，判断出B项的正误；求直线l1过定点M（﹣2，0），从而判断出C项的正误；由题意可得l3过点Q（1，3）且与l2垂直，垂足P的轨迹是以AQ（其中A（﹣1，1）为l2定点，Q（1，3））为直径的圆，再结合点与圆的位置关系即可判断出D项的正误．【解答】解：对于A，直线l1：ax+2y+2a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+4﹣a＝0，若l1∥l2，则a（a﹣1）﹣2×3＝0，解得a＝3或a＝﹣2，当a＝﹣2时，l1∥l2，当a＝3时，l1与l2重合，所以l1∥12的充要条件是a＝﹣2，故A错误；对于B，若l1⊥l2，3a+2（a﹣1）＝0，解得a=25，故对于C，由l1：ax+2y+2a＝0，得（x+2）a+2y＝0，令x+2=0解得x=所以直线l1过定点M（﹣2，0），点O到直线l1的距离的最大值就是OM的距离2，故C正确；对于D，由题意l2：3x+（a﹣1）y+4﹣a＝0，得3x﹣y+4+（y﹣1）a＝0，令3x-y+4=0y-1=0，解得x=-1l3过点Q（1，3）且与l2垂直，垂足P的轨迹是以AQ（其中A（﹣1，1）为l2定点，Q（1，3））为直径的圆，圆心C（0，2），半径r=2原点到圆心距离OC＝2，故P到原点最大值为OC+r＝2+2，故D故选：BCD．【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、直角坐标系内两条直线的平行与垂直、两点间的距离公式及其应用，考查了计算能力，属于中档题．（多选）11．已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x﹣my+m﹣2＝0和过定点B的动直线l2：mx+y﹣4+2m＝0交于点P（P与A，B不重合），下列命题正确的是（）A．|AB|＝5 B．|PA|2+|PB|2为定值 C．S△PAB的最大值为252 D．|PA|+|PB|的最大值为【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】A选项，整理两直线的方程，求出定点A，B，得到AB的长度；B选项，利用两直线斜率关系，证得l1⊥l2，从而利用直角三角形三边关系求出|PA|2+|PB|2为定值；C选项，用基本不等式|a|⋅|b【解答】解：对于A选项，因为l1：x﹣my+m﹣2＝0可化为m（1﹣y）+x﹣2＝0，所以直线l1恒过定点A（2，1），又因为l2：mx+y﹣4+2m＝0可化为y﹣4＝﹣m（x+2），所以直线l2恒过定点B（﹣2，4），故|AB|=(2+2对于B选项，对于直线l1，l2，因为1×m+（﹣m）×1＝0，所以l1⊥l2，可得PA⊥PB，因此|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝25为定值，故B选项正确；对于C选项，S△当且仅当|PA所以S△PAB的最大值为254，故C对于D选项，设∠PAB＝θ，因为PA⊥PB，所以θ为锐角，|PA|＝5cosθ，|PB|＝5sinθ，所以|PA因为θ∈所以θ所以当θ+π4=π2即θ=π4时，|故选：ABD．【点评】本题考查了直线过定点的计算、两直线垂直的条件和基本不等式的应用，属于中档题．（多选）12．直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为32，且l1⊥l2A．直线l2关于点（0，0）对称的直线经过点（-52，﹣2B．直线l1与l2的交点坐标为（2，1） C．已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则l3的方程为2x+y﹣5＝0 D．已知动直线l3经过l1与l2的交点，当原点到13的距离最大时，点（4，2）到l3的距离为5【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】求出直线l2方程，再求出直线l2关于点（0，0）对称的直线，判断A，解出两直线交点判断B，根据截距的关系求出直线方程判断C，根据条件求出直线l3的方程，利用点到直线距离公式求解判断D．【解答】解：对A，直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为32，且l1⊥l2由k1=-12，l1⊥l2，可知k又l2过点(32，0)，所以直线l2的方程为y=2(x-32)，即直线l2设直线l2关于点（0，0）对称的直线上任一点为P（x，y），点P（x，y）关于点（0，0）对称的点为P′（x′，y′），可得x'而点P′（x′，y′）在直线l2上，可得2x′﹣y′﹣3＝0，代入可得﹣2x+y﹣3＝0，即y＝2x+3，即直线l2关于点（0，0）对称的直线为y＝2x+3，直线经过点（-52，﹣2），故对B，联立x+2y-4=02x-y-3=0，解得x=2y=1对C，当直线不过原点时，设直线方程为xa+y2a=1(a≠0)，代入点（2，1）可得a=5当直线l3经过l1与l2的交点且过原点时，方程为y=12x，即x﹣2综上满足条件的直线为x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0，故C错误；对D，由题意过（2，1）点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和（2，1）连线所在直线垂直，k=故所求直线的斜率为所以直线l3为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，所以（4，2）到l3距离为|2×4+2-5|22+故选：ABD．【点评】本题主要考查直线的相关知识，考查计算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则y+2x-2的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），（x+2）2+y2的取值范围是【考点】直线的斜率；两点间的距离公式．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）；[16，25]．【分析】通过几何意义（斜率、距离）分别分析两个表达式，结合线段端点和点到直线的距离求解取值范围．【解答】解：由A（3，0）、B（0，4）得线段AB的方程为x3+y4=1，即y=-对于y+2x-2，其几何意义为点P（x，y）与点Q（QA的斜率：0+23-2=2；QB的斜率：故y+2x-2的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪对于（x+2）2+y2，其几何意义为点P（x，y）到点M（﹣2，0）的距离的平方，直线AB的方程为4x+3y﹣12＝0，点M到直线AB的距离d=|4×(-2)+3×0-12|5=4A（3，0）到M的距离平方为（3+2）2+02＝25；B（0，4）到M的距离平方为（0+2）2+42＝20，故（x+2）2+y2的取值范围是[16，25]．【点评】本题主要考查直线斜率的几何意义、点到点及点到直线的距离公式，属于中档题．14．在平面直角坐标系中，已知一个正方形四条边所在的直线l1，l2，l3，l4分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），且l1的斜率为正数，给出下列三个结论：①若l1∥l2，则该正方形的面积是1617②若l1⊥l2，则该正方形的面积是365③若该正方形的面积为365，则l1的斜率为2其中正确结论的序号是①③．【考点】直线的斜率．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】①③．【分析】根据题意和条件，分别设直线方程，结合正方形边长相等即为两平行线间距离相等，由此能求出结果．【解答】解：对于①，若l1∥l2，∵正方形四条边所在的直线l1，l2，l3，l4分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），且l1的斜率为正数，设l1：y＝k（x﹣1），l2：y＝k（x﹣2），根据题意得l3，l4的斜率为-1∴l3：y=-1k（x﹣4），l4：y=-1其中l1，l2之间的距离等于l3，l4之间的距离，∴|k|1+k2∴正方形的边长为|k∴该正方形的面积为（41717）2=16对于②，若l1⊥l2，根据题意得l1∥l3，l2∥l4，设l1：y＝k（x﹣1），l2：y=-1k（x﹣2），l3：y＝k（x﹣4），l4：y=-1其中l1，l3之间的距离等于l2，l4之间的距离，∴|3k|1+k2=|∴正方形的边长为|3k∴该正方形面积为（655）2若l1∥l4，l2∥l3，设l1：y＝k（x﹣1），l2：y=-l3：y=-1k(x-4)，l4：y其中l1，l4之间的距离等于l2，l3之间的距离，∴|7k|1+k2=∴正方形边长为|7k∴该正方形面积为（145353）2=196对于③，由上述分析得若正方形面积为365则l1的斜率为±2，∵直线的斜率为正数，斜率为2，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查直线方程、直线与直线间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点（﹣1，﹣1）．【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（﹣1，﹣1）．【分析】将已知直线化为a（x+1）+（y+1）＝0，结合a∈R，可得方程组，即可求得答案．【解答】解：直线a（x+1）+（y+1）＝0，由于a∈R，故x+1=0y+1=0即无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查恒过定点的直线，属于中档题．16．已知直线l经过点P（1，0）且与以A（2，1），B（3，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π，π【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵kPA=1-02-1=1，kPB∴直线PA，PB的倾斜角分别为45°，135°．∵直线l与连接A（2，1），B（3，﹣2）的线段有公共点，∴直线l的斜率k满足﹣1≤k≤1∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π故答案为：[0，π4]∪[34π【点评】本题考查了斜率计算公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的k∈N*且1≤k≤n，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为n连续共线点集．（1）若S＝{（x，y）|x∈{0，1，2}，y∈{0，1，2，3，4}}，判断S是否为3连续共线点集？是否为4连续共线点集？（2）已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为|S|．（i）若|S|＝6，求n的最大值；（ii）对给定的正整数n，求|S|的最小值．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）S为3连续共线点集，不是4连续共线点集；（2）（i）nmax＝4；（ii）|S【分析】（1）分析直线x＝0、直线y＝x﹣1和直线y＝x﹣2所经过的点即可判断；（2）（i）首先分析得n≤6，再分别讨论n＝6和n＝5时的情况即可；（ii）设lk恰经过S中的k个点（k＝1，2，⋯，n），再推理得最少需要多n﹣2k个点，再对n分奇偶数讨论，最后再用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）由题意结合新定义：集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的k∈N*且1≤k≤n，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为n连续共线点集，可得直线y＝x﹣1经过（1，0），（2，1）2个点，直线y＝x﹣2经过（2，0）1个点，所以S为3连续共线点集，直线x＝0经过（0，0），（0，1），（0，2）3个点．没有直线经过S中的4个点，所以不是4连续共线点集；（2）（i）因为|S|＝6，即直线最多经过S中的6个点，所以n≤6．n＝5时，5个点在一条直线上，则仅剩1个点，没有一条直线恰经过4个点，不满足，n＝6时，6个点在一条直线上，没有一条直线恰经过5个点，不满足，又当S＝{（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（2，0）}时，x＝0，y＝0，y＝﹣x+1，y＝﹣x，分别恰好经过S中4，3，2，1个点，为4连续共线点集，所以nmax＝4；（ii）设lk恰经过S中的k个点（k＝1，2，⋯，n），由于ln经过n个点，ln﹣1恰经过n﹣1个点，最多与ln交1个点，即最少需要多n﹣1﹣1个点；ln﹣2恰经过n﹣2个点，最多分别与ln，ln﹣1各交1个点，即最少需要多n﹣2﹣2＝n﹣4个点；依次类推，ln-k(0≤k≤n2，k∈N*)恰经过n﹣k个点，最多分别与ln即最少需要多n﹣k﹣k＝n﹣2k个点，当n是奇数时，最少需要k=0n所以当n是偶数时，最少需要k=0n所以|S|≥[(n+1下面用归纳法构造[(n+1)①n＝1，2时，因为当n＝1时，最少需要1个点，而[(1+1)当n＝2，最少需要2个点，而[(1+2)②假设n＝m，m≥3，m∈N*时，S中有[(m+1)24]个点，直线lk恰经过S中的k个点（k作一条直线lm+1不经过原来的[(m+1)24]个点，且与l1，l2，⋯，lm均各有一个交点P并在lm+1上取异于P1，P2，⋯，Pm的两个点Pm+1，Pm+2，则l1，l2，⋯，lm，lm+1各经过2，3，⋯，m+1，m+2个点，然后任选一点，过该点作不经过其余[(m+1)2则l0，l1，l2，⋯，lm，lm+1各经过1，2，3，⋯，m+1，m+2个点，则点集S′＝S∪{P1，P2，⋯，Pm，Pm+1，Pm+2}为m+2连续共线点集，此时|S所以|S【点评】本题考查了直线的方程，新定义问题，是中档题．18．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点A（x1，y1），B（x2，y2），记D（A，B）=(x1-x2)2+(y1-y2)2，d（A，（I）若D（O，A）＝d（O，A）＝2，求点A的坐标；（Ⅱ）若点M（2，1），点N（x，y），且d（M，N）＝1，求D（M，N）的最大值；（Ⅲ）已知点P，Q是直线l：y﹣1＝k（x﹣1）上的动点，是否存在直线1使得d（O，P）min＝D（O，Q）min？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类．【答案】（Ⅰ）（2，0）或（﹣2，0）或（0，2）或（0，﹣2）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）y＝1和y＝x．【分析】（Ⅰ）由题意可得(x（Ⅱ）设N（x，y），由题意得：d（M，N）＝|2﹣x|+|1﹣y|＝1，即|x﹣2|+|y﹣1|＝1，结合图形即可求解；（Ⅲ）易知D(O，Q)min=|1-k|k2+1，设P（x，kx﹣k+1），则d（O，P）＝h（x）＝|x|+|【解答】解：（I）因为O（0，0），D（O，A）＝d（O，A）＝2，所以(x1-解得x1=2，y1=0，或x1所以点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）或（0，2）或（0，﹣2）；（Ⅱ）设N（x，y），由题意得：d（M，N）＝|2﹣x|+|1﹣y|＝1，即|x﹣2|+|y﹣1|＝1，而|x﹣2|+|y﹣1|＝1表示的图形是正方形ABCD，其中A（2，0），B（3，1），C（2，2），D（1，1），即点N在正方形ABCD的边上运动，显然M是正方形ABCD的中心，所以当点N在A（2，0），B（3，1），C（2，2），D（1，1）这四点时，D（M，N）有最大值为1；（Ⅲ）易知D(O，Q)min=|1-k|则d（O，P）＝h（x）＝|x|+|kx﹣k+1|，当k＝0时，d（O，P）＝h（x）＝|x|+|1|⩾1，则d（O，P）min＝1，D（O，Q）min＝1，满足题意；当k≠0时，d(由分段函数性质可知d(又h(0)=|1-k|当且仅当k＝1时等号成立；综上，满足条件的直线有且只有两条：l：y＝1和y＝x．【点评】本题考查了点坐标的计算和直线方程的求解，属于难题．19．已知直线l1：x﹣2y﹣5＝0，l2：3x+2y﹣7＝0．（1）求经过点A（2，4）且与直线l1垂直的直线方程；（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程．【考点】直线的截距式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）2x+y﹣8＝0；（2）x+3y＝0或x﹣y﹣4＝0．【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可；（2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可．【解答】解：（1）由题意直线l1：x﹣2y﹣5＝0，l2：3x+2y﹣7＝0，可得直线l1的斜率为12所以根据垂直关系可设所求直线方程为y＝﹣2x+b，则依题意有4＝﹣2×2+b，解得b＝8，所以所求直线方程为y＝﹣2x+8，整理得2x+y﹣8＝0；（2）由题意将直线l1：x﹣2y﹣5＝0，l2：3x+2y﹣7＝0的方程联立可得x-解得x=3y=-1，即直线l1与l2的交点为（3当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为y＝kx，代入（3，﹣1），得k=-13，此时y当直线的截距都不为0时，设直线方程为xa+yb=1（a依题意a+b=03a+-1b=1，解得a＝4，b＝﹣综上所述：所求直线方程为x+3y＝0或x﹣y﹣4＝0．【点评】本题考查了直线的方程，两直线的交点的求法，是基础题．20．如图所示，已知三角形的三个顶点为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3），求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高AD所在直线的方程；（3）设M，N分别是线段AD，AB的中点，求直线MN所在直线的方程．（注意：最后结果统一用一般式表示）【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）7x﹣5y+6＝0；（2）3x﹣5y+14＝0；（3）10x+6y﹣21＝0．【分析】（1）先求出BC的中点Q(（2）先求出直线BC的斜率，根据AD⊥BC可得kAD（3）先求出AB的中点N(32【解答】解：（1）由题意三角形的三个顶点为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3），可得BC的中点Q(1-22解法一：边BC上的中线AQ的两点式方程为y-412-4=x-2解法二：边BC上的中线AQ的斜率为kAQ所以中线AQ的方程为：y-4=75(x-2)，即7（2）由题意三角形的三个顶点为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3），可得kBC又AD⊥BC，则kBC•kAD＝﹣1，所以kAD则直线AD的方程为y-4=35(x-2)，即3（3）由已知得AB的中点N(2+12因为M，N分别是线段AD，AB的中点，所以MN//BD，即MN//BC，又kBC=-5则直线MN所在直线的方程为：y-1=-53(x-32【点评】本题考查了直线的方程，是中档题．

考点卡片1．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：-3直线的倾斜角为：α．所以tanα=-α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4-13-0∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．3．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．4．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2=-1k1⇔k1•k【解题方法点拨】例：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1＝0，则直线PB的方程是．解：根据|PA|＝|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据x﹣2y+1＝0求出点A的坐标为（﹣1，0），由P的横坐标是2代入x﹣2y+1＝0求得纵坐标为32，则P（2，32），P在x轴上的投影为Q（2，0），又因为Q为A与B的中点，所以得到B（5，0），所以直线PB的方程为：y﹣0=32-02-5（x﹣5）化简后为故答案为：x+2y﹣5＝0．5．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：y-0b#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．6．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l27．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A