高中数学函数的概念与基本初等函数多选题专题复习及解析

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题专题复习及解析一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（）A．当时，B．当时，函数的值域C．当且时，D．当时，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当时，，进而得当时，，故的值域；对于C选项，结合B选项得当且时，进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，，故A选项正确；对于B选项，由于当，函数的值域为，所以当时，，由于，所以，因为，所以，所以当时，，综上，当时，函数的值域，故B选项错误；对于C选项，由B选项得当时，，故当且时，，故C选项正确；对于D选项，取，，则，，不满足式，故D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当时，，且当，函数的值域为，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数（Q是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于的性质，下列说法正确的是（）A．函数是偶函数B．函数是周期函数C．对任意的，，都有D．对任意的，，都有【答案】ABC【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；验证，可判断B选项的正误；分、两种情况讨论，结合函数的定义可判断C选项的正误；取，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，任取，则，；任取，则，.所以，对任意的，，即函数为偶函数，A选项正确；对于B选项，任取，则，则；任取，则，则.所以，对任意的，，即函数为周期函数，B选项正确；对于C选项，对任意，，则，；对任意的，，则，.综上，对任意的，，都有，C选项正确；对于D选项，取，若，则，D选项错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D选项，可取，验证.3．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（）A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根B．当时，恒有C．若当时，的最小值为1，则D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则【答案】AC【分析】根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】函数是奇函数，故在R上的解析式为：绘制该函数的图象如所示：对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；对B：当时，函数不是减函数，故B错误；对C：如下图直线，与函数图交于，故当的最小值为1时有，故C正确对D：时，函数的零点有、、；若使得其与的所有零点之和为0，则或，如图直线、，故D错误故选：AC【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立4．已知函数(n为正整数)，则下列判断正确的是（）A．函数始终为奇函数B．当n为偶数时，函数的最小值为4C．当n为奇数时，函数的极小值为4D．当时，函数的图象关于直线对称【答案】BC【分析】由已知得，分n为偶数和n为奇数得出函数的奇偶性，可判断A和；当n为偶数时，，运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令，则，构造函数，利用其单调性可判断C；当时，取函数上点，求出点P关于直线对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数(n为正整数)，所以，当n为偶数时，，函数是偶函数；当n为奇数时，，函数是奇函数，故A不正确；当n为偶数时，，所以，当且仅当时，即取等号，所以函数的最小值为4，故B正确；当n为奇数时，令，则，函数化为，而在上单调递增，在上单调递递减，所以在时，取得极小值，故C正确；当时，函数上点，设点P关于直线对称的对称点为，则，解得，即，而将代入不满足，所以函数的图象不关于直线对称，故D不正确，故选：BC．【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.5．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.【详解】解：和存在分渐近线的充要条件是时，．对于①，，，当时，令，由于，所以为增函数，不符合时，，所以不存在分渐近线；对于②，，，，因为当且时，，所以存在分渐近线；对于③，，，当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，，，当时，，且，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD．故选：BD．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.6．函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．的值域是C．方程的解为 D．方程的解为【答案】ABC【分析】逐项分析判断即可.【详解】当为有理数时，也为有理数当为无理数时，也为无理数是偶函数，A对；易知B对；时，C对的解为全体有理数D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.7．已知函数则下列结论中正确的是（）A．是奇函数 B．是偶函数C．的最小值为 D．的最小值为2【答案】BC【分析】利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.【详解】是偶函数，A错；是偶函数，B对；，当且仅当和时，等号成立，即当且仅当时等号成立，C对；令，则，令，得或时，单调递增当有最小值，最小值为4，D错故选：BC.【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.8．已知函数，方程在区间()上的所有根的和为，则（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先推导出在上的解析式，然后画出与的图象，得出时，所有交点的横坐标，然后得出.【详解】因为当时，，所以当时，，则，故，即时，，同理当时，，；当时，，则；………故当时，，当时，.所以，故B正确；作出与的图象如图所示，则当且时，的值分别为：则，故C正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.9．下列说法中，正确的有（）A．若，则B．若，，，则的最小值为C．己知，且，则实数的取值范围为D．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项的正误；判断函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，A选项错误；对于B选项，，，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，B选项正确；对于C选项，函数的定义域为，任取、且，则，所以，，即，所以，函数为上的减函数，，则，所以，函数为上的奇函数，且为减函数，由可得，所以，，即，解得，C选项正确；对于D选项，对于函数，令，由于外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数，所以，解得，D选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数，且在上不单调B．函数是奇函数，且在上不单调递增C．函数在上单调递增D．对任意，都有，且【答案】AD【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.【详解】解：对A，，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，其图像关于轴对称，在上不单调，故A正确；对B，，，是奇函数，令，则，在上单调递增，故B错误；对C，，且在上单调递增，又，时，，在上单调递减，故C错误；对D，是偶函数，且在上单调递增，，且，故D正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.11．已知函数，则下列说法正确的是（）A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为B．关于x的方程有个不同的解C．对于实数，不等式恒成立D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当时，；当时，；当，则，；当，则，；当，则，；当，则，；依次类推，作出函数的图像：对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m,n之间，又，，，故A正确；对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；对于D，取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．已知函数（为自然对数的底数）有唯一零点，则的值可以为（）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】由已知，换元令，可得，从而为偶函数，图象关于对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】∵，令，则，定义域为，，故函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，要使得函数有唯一零点，则，即，解得或①当时，由基本不等式有，当且仅当时取得故，当且仅当取等号故此时有唯一零点②当时，，同理满足题意.故选：BC．【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②的图象关于直线对称13．已知函数的零点为，函数的零点为，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知，关于点对称，进而可判断A，B，D正确.由函数在上单调递增，且，，可得零点的范围，可得C不正确.【详解】由，得，，函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，则，.由反函数的性质知，关于点对称，则，.因为，，且，所以，故A，B，D正确.因为在上单调递增，且，，所以.因为，所以，故C不正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.14．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（）A． B．C．＞0 D．【答案】BC【分析】由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D．【详解】对于A，，即，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．15．设函数，对关于的方程，下列说法正确的有（）．A．当时，方程有1个实根B．当时，方程有5个不等实根C．若方程有2个不等实根，则D．若方程有6个不等实根，则【答案】BD【分析】先作出函数的图象，进行换元，将方程转化成关于t的二次方程，结合函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可.【详解】函数，作图如下：由图可知，，令，则，则方程转化为，即选项A中，时方程为，即，故，即，看图知存在三个根，使得，故A错误；选项B中，，方程即，即，解得或，当时看图可知，存在3个根，当时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B正确；选项C中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1），则或，此时，即，解得，，均不满足上面范围，舍去；（2）时，即或.①当时，代入方程得，解得，由，得，不满足题意，舍去；②当时，则，，，解得，故C错误；选项D中，方程有6个不等实根，则且，图象如下：需满足：，解得：，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于对方程进行换元，变成关于t的二次方程根的分布问题，结合函数图象中函数值的分布情况来突破难点.16．下列函数求值域正确的是（）A．的值域为B．的值域为C．的值域为D．的值域为【答案】CD【分析】去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A；讨论和，利用基本不等式求值域可判断选项B；利用单调性即可判断选项C；定义域为，将两边平方可得，由于，可得，求出的范围即可求值域，可判断选项D.【详解】对于选项A：原函数化为，其图象如图，原函数值域为，故选项A不正确，对于选项B：，定义域为，当时，，此时，所以，当且仅当即时等号成立，当时，，此时，当且仅当即时等号成立，所以函数值域为，故选项B不正确；对于选项C：的定义域为，，因为与均在上是增函数，所以在上是增函数，又在上恒不等于，则在上是减函数，则的最大值为，又因为，所以的值域为，故选项C正确；对于选项D：的定义域为，，设，则，，，则，的值域为，故选项D正确，故选：CD【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数值域为；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如，，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用；（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.17．若定义在R上的函数满足，当时，()，则下列说法正确的是（）A．若方程有两个不同的实数根，则或B．若方程有两个不同的实数根，则C．若方程有4个不同的实数根，则D．若方程有4个不同的实数根，则【答案】AC【分析】由题知是R上的奇函数，则由时的解析式可求出在R上的解析式.先讨论特殊情况为方程的根，则可求出，此时方程化为，而函数为R上的减函数，则方程仅有一个根.当时，由分段函数分类讨论得出时，，时，.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程不同的实数根个数分别为2个和4时，参数的取值范围.【详解】因为所以，所以是R上的奇函数，，当时，，，所以，综上，若是方程的一个根，则，此时，即，而，在R上单调递减，当时，原方程有一个实根.当时，，所以，当时不满足，所以，当时，，所以，当时不满足，所以，如图：若方程有两个不同的实数根，则或；若方程有4个不同的实数根，则.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.18．已知函数，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有（）A．a取任意实数时，方程最多有5个根B．当时，方程有2个根C．当时，方程有3个根D．当a≤−4时，方程有4个根【答案】CD【分析】先化简方程为或，再对a进行分类讨论，结合图象来确定或分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，即，故或.函数中，单调递增，，对称轴为，判别式.（1）当时，函数图象如下：由图象可知，方程有1个根，时方程有2个根，时，方程有1个根，故时已知方程有3个根，时，已知方程有2个根，时已知方程有1个根；（2）时，函数图象如下：时，函数图象如下：由两个图象可知，时，方程有2个根，方程没有根，故已知方程有2个根；（3）时，函数图象如下：方程有两个根.下面讨论最小值与的关系，由解得，故当时，，直线如图①，方程有2个根，故已知方程有4个根；当时，，直线如图②，方程有有1个根，故已知方程有3个根；当时，，直线如图③，方程没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a取任意实数时，方程最多有4个根，选项A错误；时方程有2个根，时已知