高三数学下学期导数及其应用多选题单元达标测试综合卷检测

高三数学下学期导数及其应用多选题单元达标测试综合卷检测一、导数及其应用多选题1．已知，，下列说法错误的是（）A．若，则B．若，则C．恒成立D．恒成立【答案】AD【分析】对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；对B不等式放缩，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；对C不等式等价变型，通过恒成立，可得C正确；D求出的最大值，当且仅当时取等号，故D错误.【详解】A.设，由图可知，当时，存在，使此时，故A错误.B.设单调递增，，B正确C.又，，C正确D.当且仅当；当且仅当；所以，当且仅当时取等号，D错误.故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.2．已知，则下列正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】构造函数证明其在单调递减，即可得即可判断选项A；作出和的函数图象可判断选项B；作出，的图象可判断选项C；构造函数利用导数判断其在上的单调性即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：因为，所以，令，，在单调递减，所以，即，所以即，可得，故A正确，对于选项B：由图象可得，恒成立，故选项B正确；对于选项C：要证，令，，是奇函数，，是偶函数，令，则，因为在单调递增，所以在单调递增，而单调递增，由符合函数的单调性可知在单调递增，其函数图象如图所示：由图知当时恒成立，故选项C正确；对于选项D：令，，，所以在单调递减，所以，即，可得，故选项D不正确.故选：ABC【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．设函数，，下列命题，正确的是（）A．函数在上单调递增，在单调递减B．不等关系成立C．若时，总有恒成立，则D．若函数有两个极值点，则实数【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.由，可得，由，可得.所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B选项错误；对于C选项，若时，总有恒成立，可得，构造函数，则，即函数为上的减函数，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，其中，.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，，C选项正确；对于D选项，，则，由于函数有两个极值点，令，可得，则函数与函数在区间上的图象有两个交点，当时，，如下图所示：当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.所以，实数的取值范围是，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.4．对于函数，其中，下列个命题中正确命题有（）A．该函数定有个极值 B．该函数的极小值一定不大于C．该函数一定存在零点 D．存在实数，使得该函数有个零点【答案】BD【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是，由已知，，有两个不等实根，但，一正一负．由于定义域是，因此只有一个实根，只有一个极值，A错；不妨设，则时，，递减，时，，递增．所以是函数的极小值．，，＝，设，则，时，，递增，时，，递减，所以极大值＝，即，所以，B正确；由上可知当的极小值为正时，无零点．C错；的极小值也是最小值为，例如当时，，，时，，又（，所以在和上各有一个零点，D正确．故选：BD．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．5．对于函数，下列说法正确的有（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上有解，则【答案】ACD【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解问题的应用判断D．【详解】函数，所以，令，即，解得，当时，，故在上为单调递增函数．当时，，故在上为单调递减函数．所以在时取得极大值，故正确；当时，，在上为单调递增函数，因为，所以函数在上有唯一零点，当时，恒成立，即函数在上没有零点，综上，有唯一零点，故错误．由于当时，，在上为单调递减函数，因为，所以，故正确；由于在上有解，故有解，所以，设，则，令，解得，当时，，故在上为单调递减函数．当时，，故在上为单调递增函数．所以．故，故正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.6．已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则（）A．在上单调递增B．C．的取值范围是D．若，则只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到的取值范围；对于A，利用导数即可得到在上的单调性；对于B，利用根与系数的关系可得；对于C，化简，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D，将代入，令，可得的单调性，进而求得的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，且，则，是方程的两个不等正根，则，解得，当时，函数，此时，所以在上单调递增，故A正确；因为，是方程的两个不等正根，所以，故B错误；因为，易知函数在上是减函数，则当时，，所以的取值范围是，故C正确；当时，，令，得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在取得极大值，且，，所以只有一个零点，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】构造，由有，即在上单调递减，根据各选项的不等式，结合的单调性即可判断正误.【详解】由知：，令，则，∴在上单调递减，即当时，；当时，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，，，，有，，所以无法确定的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由形式得到，1、构造函数：，即.2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递减.3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.8．定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A．函数是函数的一个承托函数B．函数是函数的一个承托函数C．若函数是函数的一个承托函数，则a的取值范围是D．值域是R的函数不存在承托函数【答案】BC【分析】由承托函数的定义依次判断即可.【详解】解：对A，∵当时，，∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；对B，令，则恒成立，∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；对C，令，则，若，由题意知，结论成立，若，令，得，∴函数在上为减函数，在上为增函数，∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，∵是函数的一个承托函数，∴，即，∴，若，当时，，故不成立，综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；对D，不妨令，则恒成立，故是的一个承托函数，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．9．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（）A．函数的图象关于原点对称B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减【答案】BD【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A；由函数的性质可知可得到，即，构造函数求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B；函数的图象与x轴的交点坐标为且，可判断选项C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D.【详解】对于选项A：函数的定义域为，且，所以为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，故A选项错误；对于选项B：由A选项可知为偶函数，所以当时，，所以，可得到，即，可设，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，故选项B正确；对于选项C：函数的图象与x轴的交点坐标为，交点与间的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故C选项错误；对于选项D：，可化为ex(cosx－sinx)，不等式两边同除以得，，当，，，区间长度为，所以对于任意常数m>0，存在常数b>a>m，，，使函数在上单调递减，故D选项正确；故选：BD【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的最值的步骤：①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.10．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（）A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点【答案】CD【分析】令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜