2025版高考数学一轮总复习课时作业第九章概率与统计96事件的相互独立性条件概率与全概率公式

9.6事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

【巩固强化】

1.在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0・7,0・4若两人考试相互独立，则甲未通过

而乙通过的概率为（B）

A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16

解：甲未通过的概率为0J,则甲未通过而乙通过的概率为O・3XO,4=0.1Z故选B.

P(4)=-P(B)=-/、

2.若事件4与6相互独立，\1则P(4+8)=(c)

17311

A.ZB.五C.5D.不

P(AB)=P(4)P(B)=-X-=-

解：因为事件力与B相互独立，所以54'.所以

P（A+8）=P（A）+P（B）==J

3464故选C.

3.某工厂有A,B两条生产线，需要维护的概率分别为ON,0.25,且A,B两条生产线是

否需要进行维护是相互独立的，则至多有一条生产线需要维护的概率为（A）

A.0.95B.0.45C.0.55D.0.05

解：（方法一）由题意，得至多有一条生产线需要维护的概率为

0.2X0.7S+0.8x0.25+0.8X0.75=0.95.

（方法二）由题意，得至多有一条生产线需要维护的概率为1-02X0.25=0,9S,故选A.

4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有'UY

的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为6。孜现从该校近视的学生中任意调查一名

学生，则他每天玩于机超过2h的概率为（A）

4133

A.5B.5C.5D.20

解：从“该校学生中任意调查一名学生他是近视”记为事件4,且P（4）=0・3,“从该校

学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h”记为事件由题，可知

/、P（S|4）=^=—=-

P“B）=0.6X04=O.N.则所求概率为「储）03§.故选A

5.甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第

ill

二、第三局比赛中获胜的概率分别为4,S,3,则甲恰好连胜两局的概率为（B）

1S72

A.9B.整C.36D.弓

解：甲恰好连胜两局有前两局获胜、第三局失利和第一局失利、后两局获胜两种情况.故所

P=lxix（l-^）+（1=-_

求概率4sl"IJ339故选B.

6.【多选题】已知甲箱中冰墩墩和雪容融分别有36个、9个，乙箱中冰墩墩和雪容融分别

有20个、10个.现从两箱中随机取出1个吉祥物，用41，月2分别表示取出的吉祥物来自甲

箱和乙箱，用8加8公分另］表示取出的是冰墩墩和雪容融，则（ABC）

/8认）=：

A.Al和42互为对立事件

c.P（AM）力

D.42和81相互独立

32

解：由题，可知甲箱中的吉祥物数量占两箱总数的5,乙箱中的吉祥物数量占两箱总数的三

事件41和左，显然互为对立事件，故A正确.

p(82l%)=^^=^^="

「⑶)»3,故E正确.

…）飞得吟气故C正确.

因为小="合矣小㈤咤=

«,所以P(4)P(8i)¥「(4%),

故D错误•故选ABC.

7.甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击命中目标与否是相互独立事件.规则如下：若射

击一次命中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲、乙二人

1空

射击一次命中的概率均为3,且第一次由甲开始射击，贝!第4次由甲射击的概率为三.

解：根据题意，第4次由甲射击共有4种情况：

（甲，甲，甲，甲），（甲，甲，乙，甲），（甲，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲）.

r一I-I十一人一人一十一人一人一十一人一人一——„

故所求概率为⑺3333333»327故填

8.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率

均为5伙，加工出来的零件混合放在一起，已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%

30%,49K

（1）求任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率；

解：由题意，得任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%X25%=1.5%.

（2）求任取一个零件是次品的概率；

［答案］由题设，得任取一个零件是次品的概率为

6%X25%+5%X30%+5%X45%-5.25%.

（3）若取到的零件是次品，求零件是第2台车床加工的概率.

S%x3O%_2

［答案］由条件概率.得取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为57

【综合运用】

9.某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比

赛中，若一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参

加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为3,乙通过每个阶段比赛的概率均为5,丙通过每个阶

段比赛的概率均为Z且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入次赛的概率为＜B）

2241”

A.2鹫B,有C.D.

解：“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛

i-£x-x-=19(

的概率为3515所以他们连续通过初赛和复赛的概率为（窃32S,即进入

决赛的概率为记.故选B.

10.北方的冬天室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热腴能用在衣服上，将会大大地方便

1

人们的出行.某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为.，若第

79

一步成功，第二步失败的概率为靛，若前两步成功，第三步失败的概率为莉，则这位科研人

员在一次工作中成功制作出石墨烯发热膜的概率为（B）

63127117

A.诉B.诉C.前D.前

解：记事件月：表示“制作石墨烯发热膜笫1步时失败"（I=h2,3）,

记事件B表示“成功制作出石墨烯发热腴”.因为'"再京花，所以

汽8）=P（J］用词=凡）p（用,葩）="（1-2）*（1一己=总

故选E.

11.【多选题】在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设

置了7道题山其中5道是选择题,2道是简答题.现要求从中不放回地抽取2道题，则（BD）

A.恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是7

E（X）=U

B.记抽到选择题的个数为X，则

5

C.在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是百

2

D.第二次抽到简答题的概率是7

C：=21

解：从7道题中不放回地抽取2道题共有（种；方法.

AC：C；=10

对于A,恰好抽到一道选择题、一道简答题有$（种）方法，所以恰好抽到一道选

择题、一道简答题的概率是“，故A错误.

对于B,易得*=0,1,2.

ic

P(X=0)=

警建,3。喑a

P(X=2)=¥=UE(X)=0xl+1X-+2X—=—=-

21.所以〃2ianL故B正确.

P(£)=；

对于C,“第一次抽到选择题”为事件昆“第二次抽到简答题”为事件£则7

2）=沁/贝门*翳言书“错谀

对于D,“第一次抽到简答题”为事件G,“第二次抽到简答题”为事件下,所以第二次抽

P(GF)±P(CF)=ixi+ix-=-n

到简答题的概率是''76767,故D正确.

故选BD.

12.［2022年新课标I［卷］在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的

年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图.

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

解：平均年龄

X=($x0.001tISX0.002十25X0.012+3gx0,0k7+45X0.0ZJ+55X

0.09+65X0.017+75乂0.006+85X0.003y.10=47.9

(岁).

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间120,70)的概率.

［答案］设4二〔一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)1所以

Pf4)=1-=1-{0X)01+0.002+0.006+0.002)X10-1-0.11=

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0,伙，该地区年龄位于区间4a50）的人II占该地

区总人II的从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［4Q50）,求此人患这种疾

病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,

精确到0.0001）.

［答案］

设8=｛任选一人年龄位于区间［＜as。）］,c