2025高考数学知识点复习第十章 §108 概率、统计与其他知识的交汇问题

§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题

【重点解读】有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突

破定势，考杳真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、

函数、导数结合，成为创新问题.

题型一概率、统计与数列的综合问题

例1(12分)(2023・新高考全国I)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中

则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率

均为0.6,乙每次投篮的命中率均为08由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是

甲、乙的概率各为05

(I)求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第，次投篮的人是甲的概率；［切入点：与p,之间的关系］

(3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且P(M=1)=1—P(必=0)=如，=1,2,…则

仇£必)=£在记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

»=i

［关键点：利用给出的公式推出E(y)=t/H

［思路分析I

(1)利用全概率公式

⑵寻求Pi+I与Pi之间的关系，构造等比数列

(3)根据结论及等比数列的求和公式求解

答题模板

解(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第，・次投篮的人是乙”为事件5,(1分)

P(B)=P(A|B)4-P(BIB)

所以222

二户(AI)P(82|AI)+P(B;)P(82|S)

①处写出P(&)的概率计算公式

=0.5X(l-0.6)+0.5X0.8=0.6.(3分)

(2)设P(4)=p,,依题可知，

P(Ai+l)=P(AiAi+i)+。(比A+1)

则(5分)

=P(4)P(Aj+1A)+P(8)P(Aj+j匹),

②处写出P(A,+i)的概率计算公式

pi+1=0.6/斤+(1—0.8)X(1—pi)

即

=0.4〃j+0.2,

③处写出pi+i与/方的关系

构造等比数列｛〃・储，设口+]+!=蒯+力，解得4=一宗

则〃汁1一;（7分）

④处构造出等比数列

所以卜一今是首项为:，公比为|的等比数列，

即小一上京（步，Pi=M步+；•（9分）

⑤处计算出pi

⑶因为Pi=（x（|）i=l,2,…，”，

所以当〃£N*时，

F（Y）=p\+〃2H---Fp”=不X----7~+3

1-5.

=菱1一•]+多

⑥处利用题干结论计算E（Y）

故反冷=部1—（1〉]+$（12分）

思维升华高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概.率、

统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前〃项和，解题时要准确把握题

中所涉及的事件，明确其所属的事件类型.

跟踪训练1（2023・日照模拟）在卡塔尔举办的世界杯决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获

得冠军.

FIFAWORLDCUP

Q/W

（I）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三

个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即

使方向判断正确也有彳的可能性扑不到球.不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在

前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，

球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传

向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第〃次传球之前球在

甲脚下的概率为易知=〃2=0.

①证明：］〃〃一多为等比数列；

②设第〃次传球之前球在乙脚下的概率为⑶，比较00与夕K）的大小.

⑴解方法一X的所有可能取值为0,1,2,3,

在一次扑球中，扑到点球的概率为P=1x|x|x3=1,

P(X=2)=C聪28_8

9-243,

P(X=3)=C%)3=&,

所以X的分布列为

X0123

5126481

P729243243729

243I

=X0+X1+><2+X3=

^W729W243729729-3,

方法二依题意可得门将每次可以扑到点球的概率为〃

门将在前三次扑到点球的个数X的所有可能取值为0,123,

易知X〜B（3,

所

以

k=0,l,2,3,

故X的分布列为

X0123

D5126481

r729243243729

所以X的期望E（X）=3x1=1.

⑵①证明第〃次传球之前球在甲脚下的概率为〃〃，

则当“22时，第〃一1次传球之前球在甲脚下的概率为pi,

第〃一1次传球之前球不在甲脚下的概率为1一47,

则Pn=Pn-IX0+（1~pn-1）X1+1,

所以｛〃〃一分是以|为首项，-3为公比的等比数列.

②解由①可知〃"=!（一3）"।

所以〃io=/x（一分+罟,

所以</io=2（l-Pio）

=品［滑x（一羽斗

题型二概率、统计与导致的综合问题

例2（2023・沈阳模拟）根据以往大量的测量知某加JL厂生产的钢管内径尺寸X（单位：mm）服从

正态分布M"，片），并把钢管内径在仅一64+例内的产品称为一等品，钢管内径在［〃+必

〃+2o］内的产品称为二等品，一*等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回

收.现从该企业生产的产品中随机抽取I000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布宜方

图如图.

频率

组距

036.136336.536.736.()37.137337.537.737.9

钢管内径/mm

⑴通过检测得样本数据的标准差$=0.3,用样本平均数x作为〃的近似值，用样本标准差s

作为〃的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为壬品的概率P;(同一组中的数据用

该组区间的中点值代表)

(2)假如企业包装时要求把2个一等品和〃(〃22,〃£N)个二等品装在同一个箱子中，质检员

从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为《否

则该箱产品记为

①试用含〃的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率〃；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为8的概率为/(p),求当〃为何值时，/p)取得最大值，并

求出最大值.

参考数据：36.2X().2+36.4X().25+36.6X0.7+36.8X0.8+37义1.1+37.2X().8+37.4X0.65

+37.6X0.4+37.8X0.1^185.

解(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1000件钢管内径的平均数为；

^185X0.2=37,

所以〃=37,o=s=().3,

则"一。一37—0.3—36.7,—37+0.3—37.3,〃+2。―37+0.6—37.6,

则一等品内径在［〃一6"+司内，即在［36.7,37.3］内,

二等品内径在仅+o,〃+2内内，即在［37.3,37.6］内,

所以该企业生产的产品为正品的概率为

Pi=P(36.7WXW37.6)=(0.8+l.l+0.8+0.65)X0.2+0.4X0.1=0.71.

(2)①从〃+2件正品中任选2个，有C12种选法，其中等级相同的有(C5+C办种选法，

所以某箱产品抽检被记为B的概率为

_G+C［_“2一叶2______4〃

PC«+2〃2+3〃+2/?2+377+2*

②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p,

则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为

加)=C弼(1-p)2=IO//。一2〃+〃2)=10(〃3-2p4+p5),

f(p)=10(3p2-8p3+5p4)=］0〃2(3-8〃+5P2)=10〃2(〃一|)(5〃一3),

所以当〃£(0,|)时，，(〃)>0,函数加)单调递增,

当”《I，1)时，/(P)<O,函数加)单调递减，

所以当〃=1时，J(p)取得最大值为/(|)=CSx(|)3x(l一m2=怨，

H必4〃3

此时，〃一〃2+3〃+2一至

2

解得n=3或(舍去)，

所以当〃=3时，/3)取得最大值患.

思维升华在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的

最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、

不等式或数列的有关性质去实现.

跟踪训练2学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人

赛”.活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2

分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3

分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的

概率为去参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为囚

李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互

不影响.

(I)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和期望；

(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为

fip).求当〃为何值时，加)取得最大值.

解(1)X的所有可能取值为5,6,7,8910,

P(X=5)=&=='

P(X=6)=CgX舒X⑤喋，

P(X=7)=CgX陟X0=鼠=高

P(X=8)=C?X0x(02=号=高

P(X=9)=GX⑤4X⑨=5，

5

P(x=10)=c?x(j)-

所以X的分布列为

X5678910

155551

P

323216T63232

则E(X)=5X=+6x/+7x/+8X2+9乂4+10Xr^=^y=-y.

J4J411)1IJDJD乙乙

II2

⑵由题意知“每天得分不低于3分”的概率为〃+(1—〃)义；=打加0折1),

所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率分尸&5+|〃)3(1—：一行

=晶(1+20)3(1—必2,

40

f(〃)=疯16(1+2p>(l—力2—2(1+2p)3(l一)]

所以当月0,|)时，/(p)>0,加)在(0,D上单调递增;

当蚱住，1)时，/(p)<0,加)在修I)上单调递减，

2

所以当〃=g时，/(p)取得最大值.

课时精练

1.(2023・广州模拟)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良

好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次,

答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则

获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为本3

各次答题结果互不影响.

(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；

(2)记甲第，•次答题所得分数M(i£N*)的数学期望为E(Xj.

①写出E(XLI)与a刈满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；

②若E(X)>100,求i的最小值.

解(1)记甲前3次答题得分之和为40分为事件A,

则事件A是甲前3次答题中仅答对一次的事件，

所以甲前3次答题得分之和为40分的概率为

户0)=小汛1一款=看.

(2)①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为**

3I35

贝ijE(X)=20X：+10XL，

甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分3别为3T1>3<i不1

33131H5

----

44一444

4

显然氏8)=2(/20X：3+10乂1/\乂3本+10乂41=2注(乂)+1S

i£N*,722,甲第(i—1)次答题所得分数XT的数学期望为E(XT),

31

因此第，•次答对题所得分数为2E(X,T),答错题所得分数为1()分，其概率分别为:，

于是甲第/次答题所得分数X,的数学期望为

35

--

E(X,)=2E(X,i)x1+10Xj=22

所以E(M-)与E(X,)满足的等量关系式是

②由①知，E(X)=W，

345

当i£N”,后2时，£(M)+5=5M(Xf)+5],而E(X|)+5="p

因此数列｛E(X)+5)是以竽为首项，，为公比的等比数列，

e3

X

E(X,)+5=G=15X2

于是E(M)=15X(|)i—5,

由15X(|)—5>10()得(|卜7,

显然数列｛助是递增数列，而(12=旨7，

=需>7,则有正整数/min=5,

所以,•的最小值是5.

2.(2023・济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校

8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩

(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示.

频率

缈巨

().030

0.024

().02()

().012

().01()

(HMH

“35455565758595初试)面/分

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值：

⑵若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布M〃，/】，其中4为样本平均数的估计值，

14.初试成绩不低于9()分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数：

⑶复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得

三等奖；全部答错不获奖.已知某学