线性代数练习题及答案

线性代数期中

练习

一、单项选择题。

1.的充分必要条件是()。

(A)k^-\(B)k丰3(C)Zw—l且人03(D)左工一1或女工3

2.若AB=AC,当()时,有8=(2。

(A)A为n阶方阵(B)A为可逆矩阵

(C)A为任意矩阵(D)A为对称矩阵

3.若三阶行列式，则(O

(A)-6M(B)6M(C)8M(D)-8M

4.齐次线性方程组有非零解，则应满足()o

(A)；(B)；(C)；(D).

5.设是的两个不同的解是的基础解系，则的通解是

()o

(B)C1/+Q(%+%)+5(4一月2)

（C）+Q（川+尸2）+$（4-62）(D)J%+Q(注—月2)+不(片+尸2)

二.填空题。

6.A=(1,2,3,4),B=(1,-1,3,5),则A•BT=

7.已知A、B为4阶方阵，且=-2,=3,贝IJ15ABi二

।(AB)-1|=o

8.在分块矩阵A=中，已知、存在，而是零矩阵，则

X=o

9.设二，则o

10.设矩阵人二,则A的秩R(A)二

三.计算题（要求写清计算过程）

11.设，，求。

12.计算行列式

13.解齐次线性方程组。

14.解矩阵方程，其中。

15.取何值时，线性方程组有解，并求其解。

四.证明题（每题5分，共10分）

16.设向量组线性无关，证明以下向量组线性无关:

17.设阶矩阵满足.证明：可逆并求。

线性代数参考答案

一、单项选择题。

I.的允分必要条件是(C)o

(A)k^-\(B)k手3(C)女工一1且女工3(D)%工一1或Aw3

2.若AB=AC,当(B)时，WB=Co

(A)A为n阶方阵(B)A为可逆矩阵

(C)A为任意矩阵(D)A为对称矩阵

3.若三阶行列式，则(D)。

(A)-6M(B)6M(C)8M(D)-8M

4.齐次线性方程组有非零解，则应满足(D)o

(A)；(B)；(C)；(D)

5.设是的两个不同的解，是的基础解系，则的通解是

(A)o

。必+02(/一%)+g(q+4)C0+02(%+%)+3(”|一凤)

(A)(B)

+

(C)。乌+0(片A)+-(A_A)(D)+Q(尸1—62)+5+尸2)

乙

二.填空题。

6.A=(1,2,3,4),B=(1,-1,3,5),贝ijA・BT=28。

7.已知A、B为4阶方阵，且=-2,=3,则15ABi=-3750

1(AB)-'|=-1/6(答对其中一空给2分)

8.在分块矩阵A=中，已知、存在，而是零矩阵，则

B-0)

A-1

飞。C1

9.设二，则0

10.设矩阵A=,则A的秩R(A)=2

三.计算题(要求写清计算过程)

11.设，，求。

解:

91524、(222、

3AB-2A=0-1518-22-2

270J12-2

、62)

'—21322、

-2-1720

、429-2)

12.计算行列式

解:

12n

1x2

2n

乙

23A-

2n

()X-\00

=[4+—〃(〃+1)]()x—20

2

011x-n

二[x+g〃(〃+l)](x-l)(x-2)(x-〃)。

13.解齐次线性方程组

解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换

3

101

(\-15-12

7

4=11-2302

~2

-181

0000

得出原方程组的同解方程组

3八

%+耳刍+5=0

7xr八

x2~~i+2g=0

设七=q»4=。2，。”2为任意常数•得到方程组的全部解为

r37-7

（xpx2,x3,x4）=9（；,/,1,0）,+。2（-1,一2,0,1）\4，,2为任意常数。

14.解矩阵方程，其中。

解：由得。

因为|/一山工0所以*=（/-4尸5。

-1o、02/31/3

(/-A)-'=10-1-12/31/3

J。2)(0-1/31/3

「02/31/31-r

因而*=（/一从尸8=-12/31/32o

-1/31/35~3>

15.取何值时，线性方程组有解，并求其解。

解：

当时，厂（4）="4|加=3,有唯一解：王=-1,£=〃+2,占=-1；

当〃=1时,

111

（川与一＞0000即原方程组与下面方程

0000J

玉=1-々一七同解，其中工2，％3是自由变量•

（々,七了取（。，0）,得到一个特解为a，。,。）。

原方程组的导出组与方程内=-9-&同解.

(占,七),分别取(1,。),,(0,1)『得到一个基础解系为:

(-1,1,0/,(-1,0,1/

因此，当4=1时，方程组的通解为：

(1,0,0尸+9(—1,1,0尸+,2(-1,0』尸，de?为任意常数.

四.证明题(每题5分，共