2025年考研数学常微分方程复试经典真题解析与答案全解

常微分方程计算题

2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并阐明理由;

/,、2d?udu2八

(1)t—丁+l---h(zt-l)u=O

drdt

(2)—=x2+y2;

dx

⑶@+g=0

dxx1

3.求曲线族y=3e'+C?xe*所满足的微分方程

4.验证函数ynadCze小是微分方程y=4y=0的解，深入验证它是通解。

5.试用•阶微分方程形式不变性求解方程虫=2x

dx

6.什么叫积分一种微分方程？

7.什么是求解常微分方程的初等积分法？

8.分离变量一阶方程的特性是什么？

9.求下列方程的通解

(1)y=sinx

(2>x2y2y+l=y

dy

⑶tgx—=l+y

dx

dy_乃、

(4>—=exp(2x-y)

dx

dy_y2-1

(5>---------

dx2

(6)x2ydx=(l-y2+x-2x2y2)dx

(7)(x2+1)(y2-1)dx+xydy=O

10.论述齐次函数的定义

11.试给出一阶方程y=f(x,y)或p(x,y)dx+q(x,y)dy=0为齐次方程的特性。阐明二个

方程的关系。

12.求解齐次方程一般用什么初等变换，新旧函数导数关系怎样？

13.求解下列方程孚=一^二

dxx~-y~

14.求解下列方程

(1)(x+2y)dx一xdy=0

-、dyyx

⑵十上+

axx5

15.”X)'

dx+y

\6(x2+y2)dx—2xyd>=0

dy_2y-x-4

1/.-------------

dx2x—y+5

1819

9.将（2工一纱+6）公+。+^-50=0化为齐次方程。

io.求解宠=u+y+i）

20--------------27

1.求下列方程通解（或通积分）

(1)解sin0costpdO-cos。sint^dcp~0.

(2)解secdtgtpdp+sec驴ig出6=0.

解字=S+y)2.

（3）

ax

解2,啜

-y=式--y2)ctgx

2.求解方程y'+y2+/y-x=o；

3.求解方程y'--y=^4y'f

X

4.求解方程y'=y2-x2-i

5.求方程/=2五满足条件=2。

6.解方程y'+y粤2=刎»绰上（。0）是五的已知可微函数）。

axax

7.试证明：凡具有通解为^=，。（»+-0）对天求导得

?=S（x）+*M

ax

8.若已知生3岫方程的两个特解乃。）,乃（五）试证明它的通解就可以由一次可积而得

2837

自

1.写出下列曲线的参数方程

,、以2V2,

(1)——+——=1.

[2〃

(2)u2=x(u^O).

(3)w-2v2+1.

2.斯雄

G拉

3.求方程4+察・1的通解。

4求方程(y')2的通解。

5.求方程为=8')2+1的通解。

6.y'2-y2=0

7・必+冲)=1。

8.y'(x-lny')=1。

9.y>2-2yy'=y2(ex-1).

10.y=ln(14-y'2)

38-------44

自测麟

1.什么是方程的奇解。

2.叙述。-判别曲线的概念。

3.叙述单参数曲线族的包络。

4.简述微分方程的。一判别曲线。

5.求方程彳-丁=3(y)2-g(y)3

q27

(1)p-判别曲线

(2)求方程的通解

(3)求方程的奇斛

6.求方程(y')2，y的通解与c-判别曲线

7,求下列方程的奇解

⑴9"+4川

(2)8^'3-27y,

⑶y=5xy-ya.

⑷y=x)/-siny

(5)讨论——奇解

y

(6)求"=。'+>',当x=2,y=-l的解。

自测题

1.一阶线性齐次方程积分曲线的特点是什么？

2.一阶齐次方程几何特征。

3.(1)什么是等角轨线？(2)什么是正交轨续？

4.求证X)=。与"一y2=归相互正交。

5.试找出相互正交的曲线族。

⑴(2»=mx+4；(3)y=2x+Z>»

(4)y=ex2；(5)y2=cx2t(6)x2+y2+cy=0

50------------56

自它

1.叙述微分方程解的几何意义与微分方程几何特征的关系。

2.方程不可积，求积分曲线在这(％,yo)处一够蹄率。

3.求方程过点(/J。)的积分曲线切线方程.

4.求下«方程过己蛆点积分曲线的封线方程.

(1)孚■-一丁,(0,」)

ax

力

石

Z力

・x+y(i.i)

0

石=x+—,(b1)

y

5・件么叫等候线。

6.手工作近似线漆场的步蛛。

dy22

7.作石=x+y的近似线索场。

57------------62

自测匙

1.常微分方程离散化根据的思想。

2.简述欧拉折线法的意义。

3.简单叙欧拉折线的作法。

4.在一个小区间内估计过点RSoJo)的斜率。绘草图说明。

5.设y(x)是初值问题

孚=1+0y(o)=g

dx2

的解，试给出欧拉格式计算y(x)在勺=二1叼=9土…,卷=1的近似值。

nn

6.试求出第5题初值问撅的精确解。

63------------68

自酒

1.判断方程生=r•您在区域：

dx

(1)OWyWx.

_XX

(2)&:-1WXWL-,WyW1

上是否满足定理的条件。

2,判断下列方程在什么区域上解存在他一？

(1)孚-，+y2；⑵竺-x+siny；(3).

axdxdx

3.证明/区＞)=\y\在(0,0)处不可微。

4.讨论函数/(兀y)=炉G是否满足Lip-条件。

yInIyI

5.讨论了(3)=%11y=0是否满足Lip-条件。

金给出和外方程及解的京Vc

69---------71

自测麟

1.证明序列(17.2)：为=0,L2,・・・一致收敛等价干级为

70+£(7式工)-为-1。))一致收敛。

n=l

2.求下列初值问题一、二次近似。

但=1+评2

空x-y，-y

⑴小⑵<dx⑶<Jdx"?

Ixi)=1.[y(o)=o.y(-l)=0.

虺=y

3.对初值问题dx"

［y(o)=i-

(i)求第尸次近似序列；

(2)｛八｝在任何有限区间［一般,必］±一致收敛;

(3)未初值向颈的踞。

72------------81

自MS

给初值问题］五=-yG:卜区1,（y-1区1

(18.6)

）（0）=1

1.证明（18.6）等价千积分方程y"）=1+1-y（s）ds

2.求毕卡近似序列；

3.验证外（乃在卜|上有定义；

4.证明外（制一致收敛；

5.证明该初值问题解存在；

6.证明该初值问题解唯一；

7.求初值问题半=1+V，y（l）=1的必⑶,乃（彳），

并绘出凡，百，乃的图。（闪42）

ax

8.将3题中W/i，乃绘在一张图上比较。

9.将孚=y,y（o）=i中加力，乃绘在一张图上。

ax

in伏;+笆r颗中生生尾万ilM菇碓被夕间的讴若.

8287

自测题：

1.试用逐次逼近法求初值问题

的近似解%⑶必⑶，%⑶和？3（工）.

2.试证明定理2.1中的月次近似函数匕。）与精确解wQ）有如下的误差估计式:

n+1

「„（r）-?>（r）|<产11r-r0|,（19.6）

5+1）-

3.设/。j）在整个平面上连续有界，对了有睡偏导数，证明方程关=/（x,y）的任

意解,=0（五）在一8Vx<8上有定义。

4.讨论方程半二2n分别过（0,0）和3,・3）的解的存在区间。

ax2

5*.证明：对千任意的与及满足0<汽<1的外，初值问题

也”>-1）

,dx-1+7+产

）（湎）=汽

的解》=W（x）在（-CO,-KO）上存在。

6.求下列初值问题解的存在区间

…J^=sin（”）

⑴dx|x|W2,|j|W2.

[X0）=0

"

=

2Jsinxcosy

-J(x,j)是整个平面。

=0

、O)

r办

-S血

I忌-smQ+y)Hwi,|川Wl.

3)

M3==O

>|

自测题

1.给出任意加狄里赫勒公式

2.用数学归纳法证明（20.5）

3.设F是齐次函数，则方程F（x,y//”）=0,可降阶

4.将3"）2-y"/4）=0降阶：

工将方程/'+。（，产+6=0降阶。

93------94

自测题：

1.讨论下列函数组在其定义区间内是线性相关还是线性无关：

（1）sin无,1;（2）£+5/—5;（3）—,一j-(4)x,hx;

xex-

（5）。',0；（6）sin2Z,cos2t.

2.求第1题中各函数对的朗斯行列式。

自测出

1.试证①下列函数组是线性无关的；②并进而求出这些函数组基本解组的二阶线性齐i夕

方程。

(I)P+T+3,e";(2)X+4W*(0为不等于学的常数)：

(3)r,re2x;(4)Inr.lnrf-^-;(5)x-l,x2cx；

ln2r

2.设微分方程式Qy=0有两个特斛力W和尸2«，且为J2=l，(1)*

x

此方程中的式(2)并求方程的通解.

3.r3F"-xy'+y=0,已知T解力=工

98------100

自测麟

1.试证①下列函数组是线性无关；②求出这些函数组为基本解组的二阶线性齐次方程。

1

,1m里

(4)工,灯丁。“公;

(5)r4cos^,r4sinJx.

2.已知二阶齐次线性微分方程

y"+?(x)y+e(x)y=0(P(戏口力为连续函数)

的一个非零特解05),试利用变换y=0(x).z,求出该方程的通解表达式。

3.y”+xy+y=o，已知一解力=e2，求出该方程的通解表达式。

101--------105

自测题

1.已知外=xcosx是=-2smx的解，>5=xsinx是=2COST的解

验证V=q%+。2必是V+y=2(C2cosx-qsin”的解。

2.求解方程y"+y=sinx-cos2x.

3.求方程1/+尸=6工+1通解。

4.求方程歹"+丁=«工+8的通斛,a力为常数。

5.求方程+8的通解。

6.求下列方程待解：

(1)zy"-(2x+l)yr+(x+l)y=(x2+x-l)e2r,(2)yw-5yr+4y=x2;

(3)x2y*+4xy*+2y=ex,(4)x(\-x)2y*=2K(5)y*sin2x+v'sinxcosx=v<>

106------113

自测熟

1.求方程4y=0的通解。

2.对上题的解，当时，求极限。

3.求下列方程的通解

y''+y'-2y=0.

4.y''+y=0.

5.y"+6y'+13伊=0.

6.y'-2y'+y=0.

7.求解y」4A2y=O

义.讦阳本单亓所冽出尝系软线性齐次方程的性否。

114-------------122

自测麟

1.求解y"="+陟.

2.y',-4y'+4y-x2.

3.八/yj+l（力0）.

4.2y,,+y,-y=2e\

5.解y”+y」6y=/：

6.解y”+/y=f（x）,（a>o）

7.解y"-2y'+y・X6*-G*.

y"-7y'+6y=sinx.

9.y'l-v'=xsinx.

2(I)未知函数u的导数最高阶为2,u“,u.u均为一次，因此它是二阶线性方程.

(2)为y最高阶导数为1,而y2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。

(3)果y是未知函数，它是一阶线性方程；假如将x看若未知函数，它是一阶非线

性方程。

3提醒:所满足的方程为y“一2y'+y=0

4.直接代入方程，并计算Jacobi行列式。

5.方程变形为dy=2xdx=d(x?),故y=x?+C

6.微分方程求解时，都与一定的积分运算相联络。因此，把求解一种微分方程的过程

称为一-种微分方程。微分方程的解又称为(一种)积分。

7.把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来体现的措施。注意假如通解能

归结为初等函数的积分体现，但这个积分假如不能用初等函数表达出来，我们也认为

求解了这个微分方程，由于这个式子里没有未知函数的导数或微分。

8.y'=f(x,y)重要特性是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一种因式仅具有X、另一

因式仅含y,而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=O是可分离变量方程的重要特性，就像f(x,y)同

样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。

9

(1)积分得x=-cosx+c

2j

(2)将方程变形为x2y?dy=(y-l)dx或2—=f,当xyw0,yW1时积分得

y-1厂

x2।

—+y+ln|y-1|H—

2x

(3)方程变形为-^―=00&dx,当yW-l,sinxW()时积分得

1+ysinx

y=Csinx-1

(4)方程变形为exp(y)dy二exp(2x)dx,积分得

exp(y)=；exp(2x)4-C

v—1

⑸当y±士1时，求得通积分In-一=x+c

丁+1

(6)方程化为x2ydx=(l-y2)(1+x2)dx或―—rdx=-——dy,积分得

1+尸y

x—arctgx—Iny

(7)当x(y2--l)H0时，方程变形得

x-4-1ydy八

--------dx+；.=0

xr-i

两边积分并化简得

2C2

y2=1+—exp(-x2)

X

10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r"'f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0

次齐次函数。

11.假如f(x,y)是。次齐次函数，则y=f(x,y)称为齐次方程。

假如p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。

假如qH0则包=一迹必三f(x,y),由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故

dxq(x,y)

y=f(x,y)为齐次方程。

12.求解齐次方程常常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得

dydz

—=x—+z

dxdx

13.这是齐次方程。令y=zx,9=x^+z,将方程化为

dxax

:

z+x化=±v，并即X"=纪三分离变量得(二T)心=一虫积分得ln|n|+ln(z+2)-

dxl-z2dx1-z-z(z24-1)x

二或用代入得本来的变量。22

ln|z|hi|C|,"z+"=cz=y\xx+y=Cy.

z

注意y=0方程的解。

14.

(I)当xWO时，方程化为包=1+2)令y=ux,则原方程化为X—=I*u,^

dxxdx

1+u工0时，可分离变量得U+1=ex:;通解为y=cx2+x

dx

(2)作变换y=ux,则原方程化为2udu:一于是u'lnlxl+C,代回原变量，得通积

x

分；

y2=x2(In|x|+C)

15.这是齐次方程。々y=zx原方程化为

—।+“du=—两边积分得—ln|z|=ln|cx|

ux2z~

用z=£代入得

X

11/

y=-exp(—^-)

y=0也是原方程的解。

16.变形为虫==+上，令y=ux得3V==公积分得-Inll-jRn冈—c,代原变量得

dx2y2J\-U~X

通积分x2-y2=cx

17.方程右边分子，分母两条直线交点为(x0,yo)=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-l,原方程化为

生=生卫，此为齐次方程，令三通经简朴计算得之二三dz二生,枳分得2一!

du2u-vz--1u(z+l)3〃

C

原方程通积分为y=x+c(x+y+l)3+3

18-------------19

9.方程变形为孚=二,它的分子、分母两条直线交点为(1,2)

axx+y-2

x=u+ldv-2u+4v

作变换＜干是得到-=—―一-它已经是齐次方程。

y=v+2duu+v

千是叁I"

10.令2=彳+^+1，则一=1+

dx晨

只要1+/(Z)HO,可分离变量得x=J-^+C.

l+/(z)

20-------27

答案：

人士/工/曰singsin(p,

1.(1)分离变量，得----d6=—―-d(p.

cos6cos。

两边积分，得一Incos8=-lncos^+Cplncos6=Inco$o~c卜

所以cos3=ccos0.

(2)分离变量，得加+等-d”U

sec29>sec29

两边积分，得[粤-如+l考-d6=q

se:J9sec2d

变形[singcosm夕+[sin6cos出8=q.

1.21.j_

积分得TSin°+5sin8"i.

所以sin2,+sin2g=2q=c.

(3)变量分离方程，设了+了="，对x求导数有l+y=M,所以y:小T,

把上面两式代入所给的方程，得〃「1=”2

所以史•=/+]

dx

du.

分离变量，得~^—=dx.

u+1

两边积分，得=

1u+11

下面是通积分：ardgu=x+c,或以=tg(x+c),

通解为x+y=tg(x+c)-x.

故设上=".经变换后，得2u—=(1+u2)ctgx.»

xdx

对它分离变量，得-^du=ctgxdx

1+/，

两边积分，得ln(l+u2)=lnsinx+lnc,

所以1+M=csinx,

通积分为x2+y2=ex2sinx.

2.此方程为黎卡提方程，y=L是它的一解，令y=z+L得贝努里方程

xx

z'+(x2+—)z+z2=0

x

令u=1,得线性方程u'-(r2+—)u=1

zx

(小/和心］,回1一史一

所以u=exc+］exdx=x2e3c+3dx

x2

从而原方程的通积分为x产(寸-1)卜+/3-辛小|=1.

ldz2x

3.此方程为贝努里方程，令Z=N反，得线性方程一一-2=彳从而原方程的解为

yaxx2

y=x4(c+|ln|x|)2.

4.此方程为黎卡提方程，y=-x为一解，令^=2-彳，得贝努里方程Z'+2XZ=Z2,

再令以=’,得线性方程

Z

du

----2xu=-1

dx

所以

以二J重盘c_b.公］=公卜一J。-”公］

从而原方程的通积分为

—5—二/b一\e-x2公］

x+y」

5.由y'=2x，得通解y-x'+c，由(必x=2，即

.(x2+c)dx=2，得c=y,

25

从而定解问题的解为y=x2+-.

6.此方程为线性方程，从而方程的通解为

…一笔啡+俨X)肉⑶J笔^公

MW⑴［c+只土。力-小砌

dx

="一可乃+9>(Q_1.

7.证明：由^=0。(工)+必»，知c="1"⑺将此代入上方程,

0(乃

得y=cd>)+材(x)所满足的微分方程

力_y,(x)

胡⑸一"。)

dx(p(x)

它是线性方程；又由线性非齐次方程的表达式可见，线性方程的通解形如，

证毕。

8.证明：对用8。笈方程

y'+〃O)y+q(x)y2=/(^)

作变换以=―J—,得线性非齐次方程

y-丁G)

李一[2q(x)yiO)+p⑶]〃=-^(x).

ax

而一^~不■是上面方程的一个解，由线性非齐次方程的通解等干其一特解与对应齐次主程通解

y^-yM

之和知，对黎卡提方程的通解，此时只须由一次求积得出线性齐次方程

学-[2式力力(力+以初〃=0

ax

的通解(或通积分)即可。证毕。

28---------37

答案：

1.(l)w=(7cos/,v=Z>sinZ.

(2)U=12,□=/

(3)P=f,u—2t2+1.

2.令x=acosf,y'=bsin/»贝”力二小sin2d五，但dx=-asmidi，故

2

dy=-absintdt97=9(sintcost-/).

।*2

x=acost

得方程诵陪数形式4ab....、

y=—(sintcost-t)

卜2

3.^/=t?cost,7'=bsint,dx=-^--f而的二-asin2，

bsmt

dx=--dt,x=——1+C，

ba

_1「

得方微娜施解af

y=acost.

3

4.令丁'=广，7=t4,—=*即公=，,加=4,产=4心,r=2r2+C

砂t2t2t2r

顿为k=2P+C

lx=£4

5.令x=2"+l,/'=t,即力=£dx.而dx=4〃i,得的二4/成.

4

从而y=7尸+c,原方程绒形式通解

x=2?+i,

<y=it3+C.

3

6.由方程得y'=±y,这是两个线性齐次方程，古抄=“七

7.由方程得

,+J1-尸

y=±------

y

当y=±lB寸，分离变量积分得士Ji-川二汗+c,

2

即y+(x+c)2=11

显然y=±l也是原方程的解。

8.方程变形为x=—+lny'.

y

1,

令y'=。，贝1Ix=—+lnp.

P

I1dp1dp

两端对y求导%=一后不+%不

即dy=(l--)dp.

P

积分得y=p-lnp+C-

1,

x=—Finp,

参数形式通解为'P

^t=p-]np+C.

9.方程变形为=『2",即，「『（1士滔）.

通解为

j=ce塌""=c•exp(x±

10.令则y=取1+22)

对x求导P=%,&•或[知,=dx.

1+p2公l+，2

积分得2arcigp=x+c

r=2ayctgp-c,

参数形式通解为Vj=吹1+网

38--------44

答案：

1.方程90的一个特解上每一点处解的惟一性被破坏，该特解就是奇解。

2.如果y=0>)，是方程的奇解，它必须满足如下方程组：

〃(冗y,y')=o

<可(”》)=o

由该方程组决定的曲线，就是所谓尸4”别曲线。

3.单参数曲线族中(4y,c)=O的包络是这样一条曲线，它本身不包含在这曲线族中，

但过该曲线上每一点，都有曲线族中一条曲线和它在此点处相切。

4.方程F(x,y,y')=O的通积分①(1y,c)=O(即积分曲线族的包络由

&(冗y,c)=0

消去c而决定。称为判别曲线。

.中;G，y,c)=0

x-y=，2_83

—P

5.⑴从27

京P-")=0

4

消去。得两条p-判别曲线y=x；y=x-o

⑵我们有(y-c)=(x-c)3

(3)将p-判别曲y=X代入原方程：

48

左=0,右=：-_^不0,所以y=x不是方程的解，更不是奇解；另一条,判别曲线

44o,

y=x--代入原方程,知它是解。又y=彳——上每一点,均与通解(y-c)=(x-c)

2727

4

的一支相切，即解的惟一性被破坏，故y=x—-是奇解。

27

6.通解易求得：.=止0-.

4

(X-C)2

从\y=~4~

2(x-c)=0

消去C得y=0就是所求一判别曲线。它是通解的笆络，即它是奇解。

7.(1)解法一、，一判别曲线

9yp2+4=0

\Zyp=0

此方程组无解，从而方程无奇解

解法二、令歹=，为参数，有

4

关于x求导，「=工咚’从而方程的通解为

9/dx

8

x+c=-----T

消去参数，，得方程隐式通解y3+(x+c)2=0，方程的C-判别曲线为

/+(X+C)2=0

2(x+c)=0

得y=0,但y=o不是原方程的解，从而不是原方程的奇解。

(2),-判别曲线

Zap3=27y

24。/=o

得尸=0,从而有y=0。显见它是原方程的解，又由解

Zay'=21y,即了二9,一〉，，得/=[-'+cl即方程的通解为ay'=(五+c))

通解ay?=(x+c)‘与y=0的交点，由

ay2=O+c)3

<

y=o

决定，为(~c,0)，在(一c,0)处，曲线=口+。3的切线斜率恰为0,所以y=o是

徽分方程的奇解。

（3）尸一判别曲线

y=5砺―/

5x-2p=Q

消去参数0，得J=贮一，而旷=乡/不是方程的解，从而方程无奇解。

44

（今方程为克莱洛方程，奇解由_______

⑵方程马成》‘二/（工，）B寸，，（”）二业一旷，从而更=——二==,可见

y如

当y=0，y=上;时，g无界。

方

y=0不是方程的解，从而不可能是奇解；

»二也是方程的解，需进一步判断是否是奇解。

求——1—的通解，由分离变量、积分得通解为

y

（x+a＞+/=1

显见，其与y=±c相切。从而y=拄是奇解。

（6）y=Ay'+y”为克莱洛方程，通解y=cx+c?,过（2,-1）的解y=-才+1方程的

fy=cx+?r2/

奇解由〈“决定，即y=--,而（2,-1）在7=一二上，从而过（2,-1）的解

x+2c=044

2[”、，、

有无穷多个。例如（1）^=-—;（2）y=-x+1；⑶y=（一丁当才42时；⑷

4[-X+1当五＞2时

-X+1当X42时，

y=＜-—当;02时，.•…°

I4

45------------49

答案：

1.（1）只要以＞）在-8＜五＜+8连续，则一阶线性齐次方程的积分曲线充满全平面;

（2）由千y=0是一，介线性齐次方程的解，根据解的惟一性，其他积分曲线不能与它

相交，所以五轴（即y=0）将上、下半平面内积分曲线隔开。

2.过原点作射线乙积分曲线与£相交干尸，过尸作切线段£,其余积分曲线与解

交，过交点作切线段均与舁行。干是只要求出一条积分曲线，可通过伸缩变换得到其余积

分曲线。

3.（1）如果一条曲线与一族曲线中各条曲线交角为。，那么该曲线称所给曲线族的等

角轨线。

（2）在（1）中如果a=不，称该曲线为正交轨线。

4・xy=c中其在（x,y）点切线的斜率为了+h'=0或/=—x2-j2=从在（xj）,点

X

切线的斜率为2工-2处'=0或立=二因两组曲线在任意。点的切线斜率乘积为一1，

dxy

故此两纲曲线相石TF在。

5.(l)y=以的微分方程2。+炉/=0或虫=―生^—―，

dxx2x

故其正交曲线族的微分方程为?=£，其解为y2=LR+c。

ax2y2

(2)y=w;c+4的微分方程式为冬=加=匕3，故其正交曲线族的微分方程为

'"dxx

竺二——>解为!y2-4y+?x2=(7圆系。

axy-422

(3)v=2x+bfJ=2故所求者的微分方程为==-；，即y=：-x+c。

dxdx22

(4)y=cx2,_Z=2cx=—,故正交曲线虫=解为产+彳炉二。

dxxdx2y2

(5)/=c/,2W="=〃，故?=j,故正交曲线孚=一?解为

xax2xax3

3y+炉=c

(6)*+>+。=0,2x+2R+c=0故〃=("+N-2»)/2/，故正交曲线

或2y2dx+(x-y)20=0，令^=困得空+(1二

广一言=0,解为

xuQ+炉)

司】(一■丁)

Inr=lnu-2Tan~---r+门x2=eye'+」

1+」

50------56

答案：

1.设微分方程解存在性一。如果微分方程的解（或通解、通积分）已经求出，在第二单元

里我们曾经指出，它在平面上的图形是一曲线（族），称为积分曲线（族）。此时积分曲线（族）

也可以表示方程的几何特征；如果方程的解（或通解、通积分）不能求出来，直接从微分方程

本身，如由了（房尸）提供的信息，来给出解的几何特征，此时我们说由微分方程定义的积分曲

线，而不像过去那说，由微分方程解（族）确定的积分曲线（族）。

2.考虑方程y=取。o，yo）eD,设方程存在解y=w（x），即它满足方程

，（二0）三/（冗e（x））=/（工0，y0）这就是过点（丽,Vo）积分曲线切线的斜率。

3.已知积分曲线切线的斜率为。'（而）=/（加,为），由解析几何知，点斜式方程为।

^-^-=〃旃,兀），即y=yo+/Oo，yo）（x-x。）.

4.。）了（0,-1）=-1,切线碇：y=-\-x.

②/Q0）=-［，切线雄：j；=-（x-l）.

（3）」（1,1）=2,切线相：y=l+2（x—l）.

（9/（1,1）=2,切线摊：y=l+2（x-l）.

5.由/（冗力=上确定一条曲线，为的线素场在该曲线上各点的斜率等干加

f（xfy）二发称为线索场的等倾线。

6.第一步，作出等倾斜线，即£反：/0，刃=尢的轨迹；

第二步，在一条等倾线£］上取一点（沟,先），过该点，据直线方程

&：y=yo+/（xoJo）（x-y。）作出力啜段；

第三步，在等倾线上，取若干点（勺Ji）,⑴必），……，（盘，八），过每一点作平行干

/的小线段，重复第二步；第三步，取另一条等倾线，在其上次另一组小线段，只要这些小线

段取得足够密，就得近似线景场。

7.作等倾线£.:，+/=/,例取氏=；J,2.

则小十八闺.点心⑼,有”,0）《

从而y=-+），然后过打的若干个点平行4的小线段；

再作/+y'=1取点（bo）,有/QO）=I，

从而=x-1，然过4上若干个点作拳行&的小线索；

作上3：/+/=（72）2»取点（0,0），有7（72,0）=2.

从而，3：y=2。-物，经过£3上若干个点作平行千’的小线素，这样得出一个近似的线索

场。

57-----------62

答案：

1.用差商且代替微商华，就是微积分中的“以直代曲”，即用直线段代替曲线段。

△xax

2.欧拉折线法开创了常微分方程的数值解，并在几何上提供了“近似积分曲线”的作

法，这为后来进一步改进提供了基础。

4.因为了（冗y）干域G连续。则（15.1）在G内各点的线素/»）的斜率界干-加•与M

这容易用计算机程序实现。

/、1

6.y*）=