2025高考数学必刷题 第84讲、成对数据的统计分析

第84讲成对数据的统计分析

知识梳理

知识点一、变量间的相关关系

|、变量之间的相关关系

当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫

相关关系.由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非

常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其

中的规律，对它们的关系作出判断.

注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一

种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是

伴随关系.

2、散点图

将样本中的〃个数据点U，¥）（i=l,2,…描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点

图.根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系.

（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关

关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示：

（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关

关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示.

(I)(2)

3、相关系数

若相应于变量X的取值七，变量y的观测值为则变量X与），的相关系数

〃__/__

Z（七一X）（凹一）'）一〃町'

I』二I,I，通常用r来衡量x与y之间的线

性关系的强弱，「的范围为一IK/Wl.

（1）当，,0时，表示两个变量正相关；当r＜0时，表示两个变量负相关.

（2）卜|越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；卜|越接近0,表示两个变量间几

乎不存在线性相关关系.当仍=1时，所有数据点都在一条直线上.

（3）通常当吊＞0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系.

知识点二、线性回归

1、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法.

对于一组具有线性相关关系的数据（内，），1）,（心，＞2），…，（心，y”），其回归方程y=+〃

的求法为

”__〃__

2（七一幻（凹一＞‘）ZF）-

------——=-4......—

E（^-A）2XV-HX2

i=li=1

a=y-bx

-i«_i«——

其中，x=~y[x（,v=—»（X，y）称为样本点的中心.

〃.-1〃

2、残差分析

对于预报变量y,通过观测得到的数据称为观测值通过I口I归方程得到的y称为预

测值，观测值减去预测值等于残差，自称为相应于点（4%）的残差，即有自=丫-a.残

差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始

数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

（1）残差图

通过残差分析，残差点（看心）比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较

合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高：反之，不合适.

（2）通过残差平方和。=£；（/•-少了分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型

1-1

的拟合效果越好•；反之，不合适.

（3）相关指数

-1）2

用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：R2=I-^—.

力（乂-a

斤越接近于1,说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好.

知识点三、非线性回归

解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换

元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程.

求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归

方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要

细心，避免计算错误.

1、建立非线性回归模型的基本步骤：

（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

（2）画确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非

线性关系）；

（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据早非线性关系，一般诜用

反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、索函数模型等）；

（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

（6）消去新元，得到非线性回归方程；

（7）得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型

是否合适等.

知识点四、独立性检验

I、分类变量和列联表

（1）分类变量：

变量的不同"值''表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.

（2）列联表:

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表.

②2x2列联表.

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛演，9｝和｛,，%｝,其样

本领数列联表（称为2x2列联表）为

总计

王aba+b

Cdc+d

总计a+cb+dn=a+b+c+d

从2x2列表中，依据‘一与二一的值可直观得出结论：两个变量是否有关系.

a+bc-\-d

2、等高条形图

(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等

高条形图表示列联表数据的频率特征.

(2)观察等高条形图发现，—马上相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.

a+bc+a

3、独立性检验

计算随机变量/=—吗一次)，_利用/的取值推断分类变量*和y是否

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

独立的方法称为Z2独立性检验.

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解题方法总结】

常见的非线性回归模型

⑴指数函数型(。＞0且1,oO)

两边取自然对数，=即lny=Inc+xlno,

令原方程变为y=inc+x'lna,然后按线性回归模型求出Ina,Inc.

[x=x

(2)对数函数型)，=01nx+a

令,原方程变为y'=公'+a,然后按线性回归模型求出入a.

x=Inx

(3)基函数型用=八"

两边取常用对数，lgy=lg("),即Igy=〃lgx+lga,

y'=igy

令原方程变为y'=/W+lga,然后按线性回归模型求出〃，Iga.

y-igx

（4）二次函数型

令仁；；，原方程变为然后按线性回归模型求出人,4.

（5）反比例函数型），=。+2型

x

y=y

令1,1,原方程变为），'=〃/+*然后按线件向归模型求出〃,4.

X=­

X

必考题型全归纳

题型一：变量间的相关关系

例1.（2024・河北•高三校联考期末）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精

度最局的是（）

「残差八残差

40040

20020

A.0B.

X4-6\8101214^1|]0

24.6.810-1214观测

-200・,时间-20,•二时间

-400-40

「残差八残差

10004

5002*・•・

••

C.0D.A••••••>

2・4.6f101214观测；Z4・68.1012J观测

-500・二,.时间；••时间

-1000-4

【答案】D

【解析】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明

这样的模型比较合适，

带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高.

故选：D.

例2.（2024.天津蓟州.高三校考开学考试）对两个变量*V进行线性相关检验，得线性相

关系数4=0.8995,对两人变量〃，，进行线性相关检验，得线性相关系数弓二-0.9568,

则下列判断正确的是（）

A.变量x与y正相关.变量〃与，负相关，变量*与）'的线性相关性较强

B.变量x与y负相关，变量〃与-正相关，变量x与）'的线性相关性较强

c.变量x与y正相关，变量〃与u负相关，变量〃与u的线性相关性较强

D.变量X与y负相关.变量〃与丫正相关，变量〃与-的线性相关性较强

【答案】C

【解析】因为线性相关系数彳=0.8995＞。，所以x,正相关，

因为线性相关系数弓二-09568＜0,所以〃，v负相关，

又因为用＜同，所以变量k-的线性相关性比x,y的线性相关性强，

故A、B、D错误，C正确.

故选：C.

例3.（2024•宁夏吴忠•高三盐池高级中学校考阶段练习）在如图所示的散点图中，若去掉

点尸，则下列说法正确的是（）

~ox

A.样本相关系数，•变大

B.变量x与变量）'的相关程度变弱

C.变量x与变量）'呈正相关

D.变量x与变量），的相关程度变强

【答案】D

【解析】由散点图知，自变量*与因变量）'呈负相关，即，•＜（）,故C错误；

去掉点P后，卜|进一步接近八所以「变小，故A错误；

去掉点尸后，y与*的线性相关加强，即相关程度变强，故B错误，D正确.

故选：D.

变式1.（2024.四川成都.高三统考阶段练习）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，

实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间

的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.相关指数

越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越

好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（）

A.

相关指数误差平方和均方根值

0.9498.4910.499

B.

相关指数误差平方和均方根值

0.9334.1790.436

C.

相关指数误差平方和均方根值

0.9971.7010.141

D.

相关指数误差平方和均方根值

0.9972.8990.326

【答案】C

【解析】相关指数越接近于1.拟合效果越好，比较相关指数如，可选C,D.

误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，观察误差平方和和均方根值，知C的拟合

效果最好.

故选：C.

变式2.（2024.高三课时练习）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，4B两变量的线性相关

性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数「与残差平方和〃?如下表：

甲乙内T

r0.820.780.690.85

m106115124103

则能体现4,3两变量有更强的线性相关性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性

越强，

在四个选项中只有丁的相关系数最大，

残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，

综上可知丁的试验结果体现A、8两变量有更强的线性相关性，

故选：D.

变式3.（2024.河北石家庄.统考三模）观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对

随机误差的假定的是（）

t残差

100

50

A.0

-50

-100

2040608010。观测时间

B.

观测时间

1500T差

1000\

500・：・」

0

-500

-1000

-1500

020406080100观测时间

D.

。残差

200

150

100

50,“..•J.・•・：••」

0・：*『•,：・.

-50,・・・:・・•・・・・・

-100

-150

■20()1..................——►

0102030405060708090100观测时间

【答案】B

【解析】根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，残差应是均值为0、方差为/的

随机变量的观测值.

对于A选项，残差与观测时间有线性关系，故人错・；

对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为。的横轴为对称轴的水平带状区域内；故B

正确；

对十C选项，残差与观测时间有非线性关系，故C错；

对于D选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故D错.

故选:B.

变式4.（2024.全国•高三专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相

关试验，并分别计算出相关系数小则线性相关程度最高的是（）

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.1

【答案】B

【解析】因为相关系数M越大，线性相关程度越强，

所以线性相关程度最高的是乙.

故选：B

变式5.（2024.全国•高三专题练习）给出下列有关线性回归分析的四个命题:

①线性回归直线未必过样本数据点的中心（元y）；

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

③当相关系数r>0时，两个变量正相关：

④如果两个变量的相关性越强，则相关系数，•就越接近71.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】对于①，线性回归直线一定过样本数据点的中心（工，田，故①错误；

对于②，回归直线在散点图中可能不经过任何一个样本数据点，故②错误；

对于③，当相关系数/•＞（）时，两个变量正相关，故③正确；

对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数,•就越接近于1或-1，故④错误.

故真命题的个数为1,

故选：A.

【解题方法总结】

判定两个变量相关性的方法

（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到

右下角，两个变量负相关.

（2）样本相关系数：当厂＞0时，正相关；当r＜（）时，负相关；|“越接近于1,相关性越

强.

（3）经验回归方程:当―0时,正相关;当/；＜0时，负相关.

题型二：一元线性回归模型

例4.（2024・天津蓟州•高三校考开学考试）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的

繁殖情况，得到如下实验数据：

天数N天）3456

繁殖个数N千个）2.5344.5

由最小二乘法得）'与4的线性回归方程为），=0.7x+a，则当x=7时，繁殖个数》的预测值

为（）

A.4.9B.5.25C.5.95D.6.15

【答案】B

【解析】由题中数据可得：X=：（3+4+5+6）=4.5,y=-（2.5+3+4+4.5）=3.5,

因为回归直线必过样本中心，

所以。=不一0.7；=3.5—0.7x4.5=0.35，

所以y=0.7x+0.35.

所以当x=7时，y=0.7x7+0.35=5.25.

故选：B

例5.（2024.湖南长沙.高三长郡中学校联考阶段练习）某社区为了丰富退休人员的业余文

化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年

该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计:

年份20182019202020212022

年份代码X12345

年人均借阅量y（册）162228

（参考数据：=90）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量y关于年份代码人的回

归分析模型为），=5x+/〃，则2024年的年人均借阅量约为（）

A.31B.32C.33D.34

【答案】C

5

y

【解析］因为元=1+2+：+4+5=3,__§*_90_1Q,所以18=5x3+〃?，即〃?=3.

5y=5=~5~=8

所以回归方程为)，=5x+3，当x=6时，y=5x6+3=33.

故选：C.

例6.（2024•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测）已知-），的对应值如下表所示:

X02468

y1m+\2/77+13727+311

若y与x线性相关，且回归直线方程为y=L6x+0.6,则〃?=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

0+2+4+6+81+〃？+1+2/〃+1+3〃?+3+11,

【解析】x==4,)'=-------------------------=1.2/n+3.44

55

又回归直线方程为），=161+0.6,

所以1.26+3.4=1.6x4+06,解得〃?=3.

故选:B.

变式6.（2024.广西南宁.南宁二中校联考模拟预测）某单位在当地定点帮扶某村种植一种

草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益.根据资料显

示，产出的草莓的箱数工（单位：箱）与成本），（单位：千元）的关系如下：

X102030406080

y工?6

⑴根据散点图可以认为x与），之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程

y=bx+a（a,A用分数表示）

（2）某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200

元/箱的价格销售给当地小商贩.据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50

箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为根据回归方程以及往年商超草

莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情

况.（最后结果精确到个位）

附：tU-^)(X-y)=790,£>=54,在线性回归直线方程§，=森中

1=1r=1

A力⑷E(y-刃°

B=-----------------,ci=y-bx.

£(菁-叶

/»1

10+20+30+40+60+80=40-54。

【解析】⑴因为刀=)'=T=9,

6O

所以2(M-r)2=900+400+100+0+400+1600=3400,

i=l

由题意可知ZU-可(H-田=790,

1=1

-Zd心一田79079

所以八四--------------=——=——

T3400340

;=!

795

又因为。=9----x40=——，

34017

795

所以回归方程为»

（2）由回归方程知，若农户草莓的种植量为200箱，则成本为亍=急79义200-S}=符785

（千元）.

设农户草莓的种植量为260箱时的收入为y元，200箱草莓供给大型商超和小商贩分别X箱

和九显然x+y=200,

由题意y=300x+2001y,因此乂了以及丫的可能取值如下表:

X50100150200

y150100500

r=3OO.r+2OOy45000500005500060000

所以丫的分布列为:

Y45000500005500060000

1J\_1

P

To525

^fWF(r)=45000x^+50000x1+55000xl+60000xl=54000,

所以预测所获利润约为54000—普725x1000*7824元.

变式7.（2024.江西•高三统考开学考试）某新能源汽车销售部对今年1月至7月的销售量

进行统计与分析，因不慎丢失一些数据，现整理出如下统计表与一些分析数据:

月份1月2月3月4月5月6月7月

月份代号工1234567

销售量）'（单位：万辆）15.6m〃S37.739.644.5

其中9=31.2.

⑴若〃?，〃，5成递增的等差数列，求从7个月的销售量中任取1个，月销售量不高于27

万辆的概率;

⑵若670.48,x与y的样本相关系数厂=0.99,求y关于x的线性回归方程

f=l

y=bx+a,并预测今年8月份的销售量（6精确到0.1）.

ZU-A)(yf-y)

附：相关系数厂=-^---------------■,线性回归方程§，=去+々中斜率和截距的最小二

y,-yX

乘估计公式分别为人=『-------：一，a=y-bx.

")一

/=1

参考数据：77=2.65,^67048«25.89.

15.6+〃?+〃+$+37.7+39.6+44.5

【解析】(1)因为予=31.2.所以=31.2,

所以〃z+〃+s=81,

又〃？，〃，S成递增的等差数列，所以"7+5=2〃且〃"〃<$,

所以〃=27,且m<27<s,

所以月销隹品不高于27万辆的有15.6,用，〃共3个.又某本事件点、数为7,

3

故所求概率为

1=；毕=4,耳卜;.-4=28

(2)由表中数据可知,

=0.99和8=I=I

25.89

".88

2x2.65

所以B念4.88r=4.88x0.99«4.8，

由元=4,7=31.2,得&=7一线=31.2—4.8x4=12.0,

故丁关丁*的线性回归方程为5"4.8A:+12.0.

当x=8时，>'=4.8x8+12=50.4,

所以预测今年8月份的销售最大约为50.4万辆.

变式8.(2024.四川成都.高三石室中学校考开学考试)已知某绿豆新品种发芽的适宜温度

在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度.1(°C)与绿豆新品种发芽数y

(颗)之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8C~14c的温度环境下进

行实验，得到如下散点图:

其中亍=24,Z（%-x）（y-y）=70,Z（y-»=I76.

(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合了与X的关系？

⑵求出)，关于X的线性回归方程、二院+》，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数.

2(%7)(¥-5)

参考公式：相关系数「=I"，回归直线方程§=丛+讥其中

忙(七7茂

\1=1j=l

n__

Z(wr)(»-y)

^=±:H-----Z----，鸟二亍一发.参考数据：\/77«8.77.

£(菁-幻2

1-1

【解析】(1)根据题意,得了=；(8+9+10+11+12+13+14)=11.

X(^-X)2=(8-I1)2+(9-11)2+(10-11)2+(11-I1)2+(12-I1)2+(I3-11)2+(14-I1)：

t=l

=28,

77

£（看-司》（片-y）2=728x176=8>/77»70.16.

7

Zu—可闻一方

因而相关系数一「7=5016=0998

‘用二(圻方

由于卜卜0.998很接近1,J可以用线性回归方程模型拟合，，与x的关系.

£（%―）（丁厂于）705

（2）、上―..........=-=

酒讨2

1=1

57

a=24—x11=—,

22

・•・），关于X的回归方程为夕5=?.7

57

若1=19,则沁弓/凶-H44颗.

・••在19℃的温度下，预测种子的发芽颗数为44.

变式9.（2024.安徽冕州.蒙城第一中学校联考模拟预测）为调查某地区植被覆盖面积x（单

位：公顷）和野生动物数量），的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从

中随机抽取40个区块，得到样本数据（4另）（，=1,2,,40）,部分数据如下：

X•・•2.73.63.23.9•・•

y・・・50.663.752.154.3・・・

404040,40

经计算得：W>=160,7^=2400,^（x,.-x）-=160,ZQ-可（凹-力=1280.

，=11-1r-1r-1

（I）利用最小二乘估计建立），关于X的线性回归方程；

（2）该小组又利用这组数据建立了x关于,，的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一

坐标系下，横坐标x,纵坐标），的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量），一致.设前

者与后者的斜率分别为々，比较尤，勺的大小关系，并证明.

附：），关于x的回归方程），=4+京•中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

/__

J^x^.-nx-y/一〃不

b=R———，•

Yxi2~nx序「可停『切

r-1

■&刀▼,一160—2400“L1280。

【解析】（1）X=K=4A：y=--=-60,—8,4=60-32=28，

404016。

故回归方程为），=8x+28;

.A次（七-元）（x-，）

（2）x关于y的线性回归方程为x=a+b\y»瓦n

J=!

.如「矶一）।f^-y）

K8402，&-；--21_________________

2（5"江户心T'

1-1

40,

zZU-）（＞；-；'）

则A=*-----：——为y与X的相关系数,

l-l

又,区1,k1,k2＞（）,故勺勺，即4K网,

K?

下证：k\*k「

若4二&，则M=l，即N=8x,+28（i=l,2,・，,40）恒成立,

代入表格中的一组数据得：50.6工8x2.7+28,矛盾，

故K＜芍•

综上，y关于x的回归方程为），=8x+28.

【解题方法总结】

求经验回归方程的步骤

A算出京为勃，自孙或£（即-积咒7）,!

亍）2的值!

（步.二）4利用公式计算系数工时

（步♦三）4写出经脸回归方程；=法+2

题型三：非线性回归

例7.（2024・湖南•校联考模拟预测）若需要刻画预报变最卬和解释变量x的相关关系，且

从已知数据中知道预报变量卬随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量4的增

大，预报变量氏大致趋于一个确定的值，为拟合匹和x之间的关系，应使用以下回归方程

中的（。＞0,。为自然对数的底数）（）

A.w=bx+aB.w=-h\nx+aC.w=-h4x+aD.w=/TC-X+a

【答案】D

【解析】对于A：因为y二x在定义域内单调递增且〃＞0,所以卬随着”的增大而增大，不

合题意，故A错误；

对于B：因为y=h】x在定义域内单调递增且6＞0,所以W随着X的增大而减小，当解释变

量Xf+8,卬——8,不合题意，故B错误；

对于C：因为），=«在定义域内单调递增且〃＞0,所以卬随着x的增大而减小，当解释变

量xf+oo,Wf-8,不合题意，故C错误;

对于D：因为y=e-'=（3'在定义域内单调递减且〃>0,所以H随着X的增大而减小，当

e

解释变量+8,卬―。，故D错误；

故选：D.

例8.（2024.全国•高三专题练习）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计

算巾场规模持续增长.己知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，旦市场规模

y与年份代码工的关系可以用模型y=（其中e为自然对数的底数）拟合，设

z=lny,得到数据统计表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代码X12345

云计算市场规模W千万元7.4112036.666.7

Z=1”22.433.64

由上表可得经验回归方程z=0.52x+〃，则2025年该科技公司云计算市场规模），的估计值

为（）

A.e508B.e56C.e612D.c6'5

【答案】B

【解析】因为嚏=3工=3,

所以a=z—0.52x=3-3x0.52=1.44，

即经验回归方.程z=0.52x+1.44,

当x=8时，2=0.52x8+1.44=5.6,

所以）,=e：=e$6,

即2025年该科技公司云计算市场规模），的估计值为e'6,

故选：B

例9.（多选题）（2024•福建厦门•厦门一中校考三模）在对具有相关关系的两个变量进行回

归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引

入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.卜.列选项为四个同

学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样木点均位于第一象限，则

其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）

，cX-Ci

A.y=q尸+c2xB.）'=He

x+C1

C.y=c}+ln（x+c2）D.y=c[e

【答案】ABC

2

【解析】对于选项A:>'=ctx+=>—=c,x+,令则〃=qx+C2；

XX

对于选项B：

1_x+G_1

x+c2x+c2

11

今〃=----=>u

'y-1GT?

W|

对于选项C：>>=<?!+In(^+c2)=>y-q=ln(x4-c2)=>e=x+c2

yc,yc,c,

即e-e(xIc2)令〃=e则〃-e。•(xI<?2)-e•A:Ic2e；

对于选项D：y=qe'F=Iny=Inq+x+c?令“=Iny则«=x+In+c2

此时斜率为1,与最小二乘法不符.

故选：ABC

变式10.（2024.全国•高三专题练习）已知变量的关系可以用模型y二依皿拟合，设

z=ln），，其变换后得到一组数据如下.由上表可得线性回归方程z=3x+a,则〃=（）

X12345

Z2451014

A.e-3B.e'2C./D.e3

【答案】B

【解析】由表格数据知三=3,z=7.即样本中心点为（3,7）,

由z=3x+〃，得”=7-3x3=-2,

即z=3x—2,

所以z=ln），=lnk+"ir=33-2,即lnA=-2,可得女=小，

故选:B.

变式11.（2024・全国•高三专题练习）某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率》和温度

X（单位：C）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为

发芽率和温度工的回归方程类型的是（）

ioo%P----------------------

60%:"二

40%_工----------------

20%---------------------

0

10203040X

A.y=a+bxB.y=«4-Z?x2（Z?>0）

C.y=a+bexD.y=a-vb\nx

【答案】D

【解析】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢.

A中，），=〃+麻易直线型，均匀增长，不符合要求：

B中，），="+法2（〃>0）是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；

C中，>，=〃+/才是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；

D中，），=，+9nx是对数型，增长缓慢，符合要求.

故对数型最适宜该回归模型.

故选：D.

变式12.（2024.全国.高二专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统

计，得到杨梅销售价格（单位：。元/千克）与上市时间，（单位：天）的数据如下表所

示：

时间〃（单位：天）102070

销售价格Q（单位：元/千克）10050100

根据上表数据•，从下列困数模型中选取一个描述杨梅销售价格。与上市时间/的变化大

系：Q=s+AQ=a/+从+g。=〃/,。=〃1。8）.利用你选取的函数模型，在以下四个日

期中，杨梅销售价格最低的日期为（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

【答案】C

【解析】根据表中数据，描述杨梅销伐价格Q与上市时间Q的变化关系不可能是常数函

数、也不可能是单调函数,

函数。=必+）,。=4.匕Q=a」og/在。/（）时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合,

所以应选取Q=。/+初+c进行描述,

将表中数据（10,100）,（20,50）,（70,100）代入Q=〃2+4+。可得

100=100a+10〃+ca=0.1

,50=400。+20b+c解得"=一8，所以Q=0.1/-8/+170,

100=4900。+70b+cc=170

e=0.1（r-40）2+154,所以当/=40时杨梅销售价格最低，

而6月5日时/=22,6月15日时,=32,6月25日时f=42,7月5日时,=52,

所以f=42时杨梅销售价格最低.

故诜：C.

变式13.（2024・四川泸州高三四川省泸县第四中学校考开学考试）抗体药物的研发是生物

技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗

体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数

据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物

摄入量为X（单位：mg）,体内抗体数量为）,（单位：AU/mL）.

02468101214161820222426x

（1）根据经验，我们选择），=以"作为体内抗体数量），关于抗体药物摄入量工的P1归方程，将

y=c.d两边取对数，得ln），=lnc+dlnx,可以看出Inx与In），具有线性相关关系，试根据

参考数据建立关于％的臼归方程,并预测抗体药物摄入量为25mg时,体内抗体数量的

值；

(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布

N：(0.48,0.032),那这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为多少？

附：①对于一组数据(%”)(i=L2,L,10),其回归直线i，=4+〃的斜率和截距的最小二乘

Z/匕-nuv

估计分别为尸=七——，a=v-pux

r-1

②若随机变量z~则有P(//-a<Z<p+a)^0.6826,

P(〃-2。<Z<〃+2cr)a0.9544,-3bvZ<〃+3。)=0.9974；

③取c=2.7.

【解析】(1)将y=cF两边取对数，得ln)，=lnc+dlnx,

设z=lny,t=\nx,则回归方程变为z=lnc+d/,

Ijoijo

由表中数据可知，2=—Vz^=L6,^=—XZr=L2»

iu11Ug]

io_

\t-z.-\0T2z

M29.2-10x1.2x1.6,《一c-

所以d=--—――~~—=0n.5,Inf=z-Sr=1.6-0.5x1.2=I»

刀_]o尸34,4-10x1.22

1=1

所以》=1+0.5/，HPIny=1+0.5Inx=Ine+hi'=Inexoi

故了关于X的回归方程为y=er0-5，

as

当x=25mg时,y=e-25«2.7x5=13.5AU/mL.

(2)因为z服从正态分布N(0.48,0.032),其中〃=0.48,。=().()3,

所以尸(〃-2。<z<〃+2。)=?(0.42<z<0.54)«0.9544,

所以尸(z>o,54)=i(°42；z<°.54)=1-0.9544=,

故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为0.0228.

变式14.(2024•江西赣州高三校考阶段练习)为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数

收集数据如下：

天数4123456

繁殖个数）612254995190

（1）在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断>=八+方（〃&为常

数）与»=1年（0勺为常数，且6>0勺工0）哪一个适宜作为繁殖个数）'关于天数X变

化的回归方程类型？（给出判断即司.，不必说明理由）

⑵对于非线性回归方程$，=《//（5。2为常数，且4>0勺工0）,令Z=lny,可以得到繁

殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值.

之(“可2J次（巷-可（z一）

X>'ZZU-)(x-7)

J-Ii=l/-I

3.5062.833.5317.50596.5712.09

（i）证明：“对于非线性回归方程$，=c/3令z=l”，可以得到繁殖个数的对数z关于

天数x具有缱隹关系（即2=6工+近,反日为常数）”；

（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立）'关于