2025高考假期提升专项练习数学解密之填空题含答案及解析

2025年高考数学解密之填空题

一,填空题（共25小题）

1.（2024•杨浦区校级三模）对于没有重复数据的样本为、士.....七“，记这〃?个数的第a百分位数为

中囹k99,此Z）.若&不在这组数据中，且在区间（4,中的数据有且只有5个，则”的所有可能

值组成的集合为—.

2.（2024•河南模拟）（2X-!）4的展开式中x的系数为—.

厂

3.（2024•蜀山区校级模拟）已知集合4={x|xvZ},B={x\\<x<2},且4nB=8,则实数A的取值范

围是

X2+O¥,X<0

4.（2024•广东模拟）已知函数/（幻=x的最小值为-1,则“

,x>0

,X+1

5.（2024•葫芦岛二模）已知实数x>0,y>0,则。+］）+何+1）的最大值为

x2+9y24-2---

6.（2024•广州模拟）已知椭圆=的左右焦点为居.直线丁=丘与椭圆C相交于

alr

P，Q两点，若|*"=2|。片|,且/P£Q=与，则椭圆C的离心率为.

7.（2024•南湖区校级一模）（x+g（2x」）s展开式中的常数项是120,则实数〃=—.

XX

8.12024•盐湖区一模）已知圆锥的高为5,其顶点和底面圆周都在直径为6的球面匕则I员I锥的体积为

9.（2024•河南模拟）已知△ABC的内角人，B,C的对边分别为“，b,c,C=60。，c=7,若〃-。=3,

。为中点，则CD=.

10.（2024•回忆版）设双曲线C：，/l（a>0力>0）的左、右焦点分别为人,过F?作平行于），轴

的直线交C于4,B两点,若|4A|=13,|A3|=1（）,则C的离心率为.

11.（2024•安徽模拟）已知正项等差数列{七}的前〃项和为S“，若S”=44,则色+&的最小，直为.

12.（2024•衡阳模拟）己知抛物线），2=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线交于A：8两点（点

A在第一象限），/4/0=120。（0为坐标原点），\AF\=4,则|8尸|二

13.（2024•顺义区校级模拟）A/WC为等边三角形，且边长为2,则AB与BC的夹角大小为,若|80=1,

CE=EA.则八方IE的最小值为

14.(2024•锦州模拟)已知“，叼，％，a4e{1»2,3,4},N(a]»a2,a3,卬)为q,a2,a3,q中

不司数字的种类，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(【，2,I,2)视为不同

的排列，则（％,%,小,%）的不同排列有一个（用数字作答）；所有的排列所得N（q,%,%,q）

的平均值为一.

15.（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数土！2=.

1-/

16.（2024•孝南区校级模拟）已知等差数列｛《｝的前〃项和为若4+生=12,则S“=—.

17.（2024•南岸区模拟）logQl**-］尸呜、（券严+（捺尸=.

18.（2024•淅川县校级三模）三知集合A=｛x|=上,,0,x€R｝与集合8=｛划1>0,xeZ）,求集合

x-2

明八一•

19.（2024•芝呆区校级模拟）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C、吕在圆。上，且点C位于第

一象限，点8的坐标为（（一|）,ZAOC=a,若|BC|=1,则6cos?3-s呜cos?_*的值为.

20.（2024•江西一模）斐波那契数列（月从〃又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多・斐波那

契（及am•曲/泌a"d）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、

3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：4=1,4=1,

%=4r-l+%-2（几•2,〃£N'3A=｛4，“2，…，^2024）»8口力且4W0中，则/中所有元素之和为奇数

的概率为—.

92

21.（2024•浙讨模拟）已知双曲线二-二々，尺为双曲线的左右焦点.过G作斜率为干的直线

a-b

交双曲线左支于4。,片），8（/，月）（X〈乃）两点，若用=2。，乙钻玛=90。，则双曲线的离心率是

22.（2024•红谷滩区校级模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正

八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形

与一个正方形组成.如图，在正八面体48C。斯中，”是棱比的中点，则异面直线〃尸与AC所成角的

余弦值是.

一

F

23.（2024•历下区校级模拟）已知函数/（x）=/z—eT，+sin（2X-马+1,则不等式/（2x+l）+/（2-x）..2

24

的评集为—.

24.（2024•黄浦区二模）在四面体RWC中，2PD=PA+PB,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,设

四面体Q48C与四面体2力Er的体积分别为K、匕，则匕的值为.

25.（2024•渭南二模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如卜.：①本题共

3小题，每小题6分，满分18分：②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有

选错的得0分：③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分：若某小题正

确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考

试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了

一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为

2025年高考数学解密之填空题

参考答案与试题解析

一,填空题（共25小题）

I.（2024•杨浦区校级三模）对于没有重复数据的样本%、占.....二,记这根个数的第&百分位数为

虫啜A99,丘Z）.若％不在这沮数据中，且在区间（&,%）中的数据有且只有5个，则/〃的所有可能

值组成的集合为_{5（）-55}_.

【答案】{50,55）.

【考点】百分位数

【专题】函数思想；分析法；概率与统计；数据分析

【分析】根据0.9x〃z是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为天川，…，x*若不为整数，

则5个数分别为天7，…，与…，根据左，s的范围分类计算.

【释答】解：设玉＜与＜3＜/，

则%不在这组数据，

4

.,.0.8x〃?=一为正整数，

5

.I）_Mt+“％+1n_勾I+-^-1

••小一'小一2'

•.•在区间（心），B。）中的数据有且只有5个，

故这个5个数分别为%+1,…,Xgk-（8^+1）..4,即k..5,

当左=5,6,7,

当左=5时，％+］，,•,，x9k,即为知，x42,xu,x45,共5个，符合；

XXXX

当攵=6时，％.1，…，X9k,即为七9，•%»，5\»52»53»54»共6个，不符合；

当〃=7时，X57,X58»必，%），%，％，工63，共7个，不符合，

若0.9〃?为整数，"J得〃7=103即有〃7=10x5=50；

若0.9x/〃不为整数，故相=5/,其中/为正奇数，

设m=105+5,其中s为正整数，

则0.9x〃?=9s+4.5,且0.8x〃?=8s+4,故［0.9x〃?］=9s+4,

Bo=MA+S

2

•.•在区间（匕），%,）中的数据有且只有5个，

.,.这5个数分别为％.5，…,%+4，••・9S+4-（8S+5）..4,即S..5,

但当s..8,95+4-（85+5）..7,此时.+5.........要+4至少有6个,

=596,7,

当S=5时，x&,+5，…，必+4即为飞，X46,打，x48,x49,共5个，符合，此时m=55；

当s=6时，%+5.........工9.、+4即为X541X33*X56'X37,与，共6个,不符合：

当5=7时，/S+5，…，乐+4即为%，%，%，%，%，%，%，共7个，不符合•

综上，符合条件的，〃为50,55.

故答窠为：{50,55}.

【点评】本题考查百分位数的定义和集合的表示，考查运算求解能力，是基础题.

2.（2024•河南模拟）Qx-!）"的展开式中x的系数为_-32_.

k

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；数学运算：二项式定理；综合法

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中工的系数.

【解答】解：（2x-[）4的展开式的通项公式为心=4（-1）〈21・/%

x

令4-3r=1,求得r=1,

可得展开式中x的系数为-32,

故答案为：-32.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属「基础题.

3.（2024•蜀山区校级模拟）已知集合A=（x|x<k},B={x\l<x<2],且B,则实数我的取值范

围是_[2_+oo）_.

【答案】[2,+00）.

【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算

【专题】转化法；集合；数学运算；转化思想

【分析】根据已知条件，推得即可求出4的取值范围.

【解答】解：Ap|Z?=B,

则

A={x|x<A},«={x|l<x<2},

则k.2,

故实数上的取值范围是［2,+00）.

故答案为：［2,+oo）.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

x2+av,x<0

4.（2024•广东模拟）已知函数/"）=«x>0的最小值为-1,则〃=2.

.x+\

【考点】函数的最值；分段函数的应用

【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解

【分析】由题意可知当X.0时，，从而得当X<0时，/（外=彳2+必有最小值-1,结合二次函数

的性质求解即可.

【辞答】解：因为当x.O时，/（%）=--=-1+—,

X+lX+1

易知此时，且/■*）在［0，+8）上单调递减，

乂因为函数的最小值为-1,

所以当XV。时，/。）=产+公有最小值一1,

令/（x）=Y+ai=。，则有X1=0,x2=-a,

当一”.0,即4,0时，

由二次函数的性质可知，函数在［fo,0）上单调递减，不能取到最小值-1;

当-。<0,即〃>0时，

由二次函数的性质可知，函数在上单调递减，在（-0）上单调递增，

22

2

所以/（幻丽=/（—§=—9=一1，

解得4=±2,

又因为4>0,所以4=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了寻函数的性质、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题.

5.（2024•葫芦岛二模）已知实数x>0,），>0,则"+a+（3）'+l）2的最大值为?.

x2+9/+2

【答案】2

【考点】基本不等式及其应用；函数的最值

【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；函数思想

【分析】将分式化简，然后结合平方均值不等式与基本不等式的相关知识即可得到结论

田/。+尸+(22

【解答】解:13y+1)2_x+9y+2+2x+6y2(x+3,y)

口内Y+犷+2——7+9-+2~丁+9-+2

因为x>0,y>0,所以根据平方均值不等式得:

当且仅当x=3y时等号成立,

2(x+3y)2(x+3y)

将匕式化简得:

丁+9)，2+2”(X+3*2

2-

=1+7------------，，］+~।=2，

（x+3y）［2卜+3），2

2（x+3y）V2x+3y

当且仅当：三包=」一时等号成立，即x+3y=2,又因为x=3y,

2x+3y

所以当x=I,y=g时取得最大值.

故答案为：2

【.点评】本题主要考察了基本不等式的相关内容，根据条件化简可以知道，基本不等式的灵活运用是解题

的关键

6.（2024•广州模拟）已知椭圆［=的左右焦点为居.直线），=丘与椭圆C相交于

alr

P，Q两点，若|P"|=2|Q^|,且/尸£Q=至，则椭圆C的离心率为_且_.

33

【答案】—.

3

【考点】椭圆的几何特征

【分析】由椭圆的对称性可得四边形。用26为平行四边形，再根据椭圆的定义求出|P片|,|P6|,再在

△。石工中，利用余弦定理求出。，c的关系，即可得解.

【解答】解：由椭圆的对称性可得四边形PEQR为平行四边形，则|PERQ£I，

由/心。=二，得/毋夕入=工，

33

因为|尸耳=2|。用,所以|尸用=2|%

4〃2〃

又|产甲+|尸曰=2-所以耳卜?|P巴卜町,

22

在^用巴中,由余弦定理得|F居|=|PF^+\PF21-2|西||PF2|cosN耳尸官,

an,216a，4/4a为

即4c~=+--------2x-x——x

9933

所以£=立，

a3

即椭圆的离心率e=£=且.

a3

故答案为：2.

3

【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题.

7.(2024•南湖区校级一模)(x+g(2x-3s展开式中的常数项是120,则实数

xx

【答案】2.

【考点】二项展开式的通项与项的系数

【专题】综合法；二项式定理；转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算

【分析】求出(2X-')5的通项公式，得到-竺与T=80x,从而得到“+@)(2x」)5展开式常数项，

XXXX

得到方程，求出4=2.

【解答】解：•・•(2”一3、展开式的通项公式为7；M=(T)，c；25-"2『(r=O,L2b・・,5),

x

令5—2r二-1得r=3,HPT：,=-q-22x-'.

X

令5—2r=1得厂=2,即4=C；23]=80X,

/.(x+-)(2x-Ly展开式中的常数项为x・岂+q・京=TO+80a,

XXX

故-40+8()4=120,解得a=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

8.(2024•盐湖区一模)己知圆锥的高为5,其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体枳为

25万

[--

【答案】冬.

3

【考点】圆锥的体积

【专题】整体思想：立体几何；数学运算：综合法

【分析】求出圆锥的底面半径，结合锥体的体枳公式可求得该圆锥的体积.

【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示：

设圆锥臣的外接球为球O,易知PE工AB,且庄=5,OP=3,则OE=PE-OP=5-3=2,

故圆锥PE的底面半径为AE=y]OA2-OE2=招-22=石，

1175

因比该圆锥的体积为V=-；FxAE2xPE=_；rx5x5=J7r.

333

故答案为：—.

3

【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了圆锥的体积公式，属于基础题.

9.(2024•河南模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,C=60°,c=7,若〃一"=3,

。为AB中点，则cr>=狙变.

一2-

【考点】余弦定理；解三角形

【专题】整休思想；粽合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算

【分析】由已知结合余弦定理先求出《而，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

【解答】解：因为△A6C中，C=60。，c=7,a-b=3,

由余弦定理得，c2=a2+b2-2而cos60°=(a-b)2+ab,

即49=9+",

所以ab=40,

。为人月中点，则C/5=■!■(&+，

2

所以I|2=_!_+2C4•J(尸+片+,⑼

44

11(29

=-[(«-b)2+3^]=-(9+120)=—,

444

所以。。=运.

2

故答案为：2.

2

【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题.

10.（2024•回忆版）设双曲线C:「-与=1（。＞0,力＞0）的左、右焦点分别为匕,过工作平行于y轴

crb一

的直线交。于A,B两点,若14Al=13,|A8|=10,则C的离心率为

【答案】

2

【考点】双曲线的几何特征

【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解

【分析】由题意求出|£A|,|入加，利用双曲线的定义求出a和/、c,即可求出双曲线。的离心率.

【解答】解：由题意知，|^A|=13,|鸟A|=J|A4|=5,

所以|丹加一|6A|=2a=8,解得。=4；

12.2

又x=c时，y=—,HP|F-,A|=—=5,

a~a

所以Z/=5a=20,

所以。2=。2+o2=]6+2O=36,所以c=6,

所以双曲线C的离心率为e=-=-.

【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考杳了数学运算核心素养，是基础题.

11.（2024•安徽模拟）已知正项等差数列应｝的前〃项和为S.,若配=44,则色+色的最小值为

2.

【答案】1+V2.

2

【考点】求等差数列的前〃项和

【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列：整体思想

【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质，基本不等式即可求解.

【辞答】解：正项等差数列（〃"｝中，加=地山=44,

2

所以4+4]=a5+弓=8,

则"+&=+2+生」+2

%%2%%226%2TP技

当且仅当区=&时等号成立.

24火

故答案为：1+五.

2

【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及基本不等式的应用，属于基础题.

12.（2024•衡阳模拟）已知抛物线）尸=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线交于A：8两点（点

4

A在第一象限），/4尸0=120。（0为坐标原点），|/\F|=4,则

【答案】

3

【考点】抛物线的焦点与准线

【专题】方程思想：运算求解：圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法

【分析】由题意可得直线44的斜率和直线方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的焦半径

公式，解方程可得〃，可得所求值.

【解答】解：9=2内（〃>0）的焦点为尸（2,0）,准线方程为％=-£,

22

由NA尸0=120°,可得直线的斜率为4=31160。=6，

直线旗的方程为〉，

代入抛物线的方程可得3（x-j）2=2px,即为3/-5px+耳•=0，

力）,可得不+毛=*〃，1、

设A(x1,）1），B(X2,v=-/r

32

由|A尸|=4,可得菁+^=4,

解得p=2,%=3,12=§，

4

则|B*=9+1=§.

故答案为：

3

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力,

属于基础题.

13.(2024•顺义区校级模拟)A4BC为等边三角形，旦边长为2,则丽与百仁的夹角大小为_120。_,

若[8万|=1,CE=EA,则而-BE的最小值为.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】数学运算；综合法；平面向量及应川；函数思想；转化思想

【分析】根据平面向量的夹角与数量积定义，平面向量的线性运算，函数思想即可求解.

【解答】解：•.•△48C为等边三角形，.••则A月与的夹角为8的补角，

即AB与BC的夹角大小为120。,

・H8万|=1,.•.£＞在以8为圆心，1为半径的圆上，

又C£=EA,为等边三角形，且边长为2,

二.BE工AC,且BE=BBC=BX2=^,

22

设＜6。8后＞=6,贝乃],

:.AD-BE=(BD-BA)BE=BD•BE-BA•BE

=lx＞/3xcos。-2xGxcos—

6

=-3+\/3cos0,8w[0,4],

.•.8=4时,8S8=-1,而•屁取得最小值-3-4,

故答案为：120。；-3-6.

A

D

【点评】本题考查平面向显的夹角与数展积定义，平面向展的线性运算，函数思想，属基础题.

s

14.(2024•锦州模拟)已知“，出，％，a4",2,3,4},N(《，a2>a3,aj为％,a2>a3,由中

不司数字的种类，如N(l,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(1,2,1,2)视为不同

的排列，则（q,出，％，/）的不同排列有256个（用数字作答）:所有的排列所得N（q,a2,出

〃4）的平均值为

【答案】256；—.

64

【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数

【专题】数学运算：整体思想；综合法；排列组合

【分析】本题首先可以确定N（q,%,%，6）的所有可能取值分别为I、2、3、4,然后分别计算出每

一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可

II算出,a2,%，«4）的平均值.

【解答】解：由题意可知，（％,%，%,&）的不同排列有4x4x4x4=256个,

当N(q,a2,%，4)=1时，=4x^-=—

464

6x(C：+C：+C：)8421

当N（q，叼，a3r4）=2时，P

225664

4x3(6+3+3)1449

当N（4,a2,%：）=3时，P、

4425616

当N(q,%,%,%)=4时，£=

4425632

综上所述，所有的256个⑷：生：％,&）的排列所得的N（《，%，%，&）的豆均值为:

1J+2XA+3X2+4X3=B

6464163264

175

故答案为:256；

~64'

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题.

15.(2024•红桥区一模)i是虚数单位,复数士;2=1+3/.

1-/——

【答案】1+3Z.

【考点】复数的运算

【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想

【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解.

【解答】解：

412/=(4+2/)(1+Q=2±6/=1+3.J

1-z(l-Z)(l+/i2

故答案为：1+3，,

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

16.(2024•孝南区校级模拟)已知等差数列(/｝的前〃项和为S”，若2q+%=12,则S.=44

【答案】44.

【考点】等差数列的前〃项和

【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】由已知条件，可推得4=4,再结合等差数列前〃项和公式，求解即可.

【解答】解：设等差数列(凡｝的公差为d，

•/24+生=12,/.2(q+7d)+(q+d)=12,

即3(q+5d)=12,a6=4,

S"=J=11综=Ux4=44.

故答案为：44.

【点评】本题考查了等差数列前4项和公式和性质，需要学生熟练掌握公式，属r基础题.

14964--

2,og43053

17.(2024•南岸区模拟)log231og32-(-)~+(—)+(—I

225627

【答案】T.

【考点】有理数指数累及根式；对数的运算性质

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解

【分析】利用指数塞的运算性质加对数的运算性质计算即可求解.

【解答】解：原式=1-2?*3+(型族+&W

2563

7Q

=l-221yg43+—+—=1-3+1=-1.

1616

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了指数晶的运算性质，属于基础题.

18.(2024•淅川县校级三模)已知集合4=5|三卷,,O,xwR}与集合3={x[x>0,xwZ},求集合=

{1}_-

【考点】其他不等式的解法；交集及其运算

【专题】数学运算；综合法；不等式的解法及应用；集合；集合思想

【分析】先求出集合A，再利用交集运算求解.

【解答】解：由士工,0可得.(3+2A)(X-2)„0Hr-2^0,

x-2

解得二x<2,

2

又•集合8={x[x>0,xeZ},

集合App={l}.

故答案为：{1}.

【点评】本题主要考杳了分式不等式的解法，考杳了集合的交集运算，属于基础题.

19.(2024•芝呆区校级模拟)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为4,点C、3在圆O上，且点C位于第

一象限，点8的坐标为(±-3),ZAOC=a>若|8。|=1,贝1]68$247访。054-且的值为-.

552222-5一

【考点】G9：任意角的三角函数的定义

【专•题】49：综合法；15：综合题；34：方程思想；56：三角函数的求值

【分析】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论.

【解答】解：•.•点2的坐标为4(丁3-*,设404=。

34

/.sin(2^-6)=—,cos(2^一。)=一，

55

34

即sin6=-,cos。二—，

55

•.•ZAOC=a,若18cl=1,:.0+a=-,

3

则a=2-e,

3

则百cos2--sin—cos---=—cosasina=cos（a+—）=cos（—一夕）=sin夕=。，

222222625

故答案为：

5

【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本

题的关键.

20.（2024•江西一模）斐波那契数列（&仪〃“、曲绮”々“空），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那

契（笈5"心尸乃加仇・&）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：I、1、2、

3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：4=l,q=l,

A=｛q,a2,...»限/，且3工0中，则8中所有元素之和为奇数

的概率为

----22024_।-------

21023

【答案】

【考点】古典概型及其概率计算公式

【专题】数学运算；概率与统计；对应思想；定义法

【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为。，集合。的子集为E，集合。中含

有奇数个元素的子集为尸，则所有元素之和为奇数的集合8可看成E|J/，然后可解・

【解答】解：由斐波那契数列规律可知，集合A=｛《，生，…，密3｝中的元素有674个偶数，1350个奇

数，

记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为。，集合C的子集为E,集合。中含有奇数个

元素的子集为产，

则所有元素之和为奇数的集合8可看成，

显然集合后共有2674个，集合厂共有cl。+C鼠+C；35O+…+哨=2的个,

所以所有元素之和为奇数的集合8共有267。x2M=2M3个,

92023

又集合A的非空子集共有2^4一1个，所以8中所有元素之和为奇数的概率为言「

,2023

故答案为：有二y・

【点评】本题考查集合、二项式系数的性质以及古典概型相关知识，属于中档题.

21.（2024•浙江模拟）已知双曲线£=1（4方＞0）,月,乙为双曲线的左右焦点，过写作斜率为正的直线

交双曲线左支于4(%,)1),伏&,)，2)(y<必)两点，若|A£I=2。，乙4叫=9()。，则双曲线的离心率是

75-2x/2

［答案］J5-2&.

【考点】双曲线的几何特征

【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法

【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解.

【解答】解：设|5耳|=『，・.・|A6|=2a,ZABF2=90°,

.JAF21=||+2。=4a,又|AB|=||+1|=f+又,

22222

|BF21=|AF2|-|/\fi|=l6a-(J+2a),又||=2a+/,

:.l6a2-(t+2a)2=(2a+t)2,

/.16a2=2(t+2<?)2,/.4a=>］2(t-2a),/.t-2>/2cz—2a>

.•.|/|=2。-2a,|叫|=2a+r=2缶，

又IK5|=2c,ZABF2=90°,

/.IBFXf+\BF2/=耳『

二.(2亿-2a)2+8/=4c2,

22

/.c=(5-242)a1

e2=5-2x/2,又e>l,

e=V5-2>/2.

故答案为：>j5-2y/2.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题.

22.(2024♦红谷滩区校级模拟)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正

八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形

与一个正方形组成.如图，在正八面体43C“产中，〃是棱BC的中点，则异面直线〃尸与AC所成角的

余弦值是4.

~6-

A

F

【答案】—.

6

【考点】异面直线及其所成的角

【专题】空间角；数学运算；转化思想；综合法

【分析】根据正八面体的性质，异面直线所成的角的定义即可得.

【解答】解：取棱A3的中点G,连接"G,FG.

因为，，G分别是棱4C,的中点，所以〃G//AC,

则ZFHG或其补角是异面直线与AC所成的角.

设AB=2,则”G=l,正方形MED中，FG=>/5,正三角形C尸8中，HF=6

在tsGHF中，由余弦定理可得cosNFHG=""一F0=-—,

2HGFH6

则异面直线HF与AC所成角的余弦值是坦.

6

故答案为：—.

6

【点评】本题考查正八面体的性质，异面直线所成的角，属于中档题.

23.(2024•历下区校级模拟)已知函数/(x)=U-2、s呜+则不等式/(2x+l)+/(2-戏.2

的解集为2_+00)_.

【考点】奇偶性与单调性的综合

【专题】函数的性质及应用；数学运算；转化思想；转化法

【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点(g,l)中心对称：通过求导判断导函数为正得了")在AI：

单调递增；再利用对称性将f(2x+I)+/(2-幻..2进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得.

【解答】解：因为/。)=/1_*2.、+如仁公'+1,

所以『(1一公=产一产+sin[^lz^臼+1=/小一产+§呜x-夕+1,

所以/(1-A)+f(x)=2,即/(x)的图像关于点(；,1)中心对称，

因为f\x)=2e2x~'+2e'~2'+—cos(—-—)>2\l2e2x~yx2^'_2'+—cos(---)=4+—cos(—-—)>0,

224224224

当日仅当x=J.时取等号.

2

所以/(M在尺上单调递增，

由/(l—x)+/(x)=2,^/(2-x)+/(-l+x)=2,

由/(2x+l)+/(2—x)..2可得(2x+I)+/(2—x)../(2—x)+/(—l+x)，

即/(2x+l)../(-l+x)，

所以2x+l…—l+x,解得x..—2.

故答案为：[-2,+00).

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题.

24.(2024•黄浦区二模)在四面体RWC中，2PD=PA+P8,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,设

四面体QABC与四面体的体积分别为V；、匕，则匕的值为—.

•V,―20—

【答案】—.

20

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体枳

【专题】立体几何；综合法；转化思想；数学运算

【分析】根据题意易得A方=。"，3CE=2EB,2AF=CA,再作出底面图形，根据向量共线定理，三棱

锥的体枳公式，化归转化，即可求解.

【解答】解：•・•29=万+方，5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,

PD-PA=P8-PDt3(PE-PC)=2(PB-PE)t2(PF-PA)=(PA-PC),

AD=DB,3CE=2EB,2AF=CA,

作出底面图形，延长OE,AC交于点G,如图所示:

AG

D

___2a_____

由3CF=2/?Q,AE=-AB^-AC,设AC="G,又4/5=0后,

55

/.AE=-AB+-AC=-AD+—AG,乂E,D,G三点共线,

5555

4311—.1—.「——

/.-+—=1,/.AC=-AG,又2AF=C4,

5533

.的=[.S*DE」GJ

「AG丁"S&、DE相6f

.匕_^ADEF_7

..-----------

V,SMK20

故答案为：-1.

20

【点评】本题考查四面体的体积问题，向量的线性运算，向量共线定理的应用，化归转化思想，属中档题.

25.（2024•渭南二模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共

3小题，每小题6分，满分18分：②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有

选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分：若某小题正

确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.己知在某次新结构数学试题的考

试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了

一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为11分.

【答案】11分.

【考点】用样本估计总体的集中趋势参数

【专题】概率与统计；数学运算；整体思想；综合法

【分析】根据题意，求出小明同学多选题所有可能总得分，再结合中位数的定义求解.

【解答】解：由题意可知，小明同学三个多选题中第一小题得6分，第二小题可能得（）分或4分或6分,

第三小题可能得0分或2分或3分，

所以小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：6分，8分，9分，10分，12分，13分，

14分,15分，

所以中位数为UU=u分.

2

故答案为：11分.

【点评】本题主要考查了中位数的定义，属于基础题.

考点卡片

1.集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

I.如果集合A中的任意一个元素都是集合8的元素，那么集合4叫做集合8的子集；A£8；如果集合A

是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合4叫做集合8的真子集，即Aug

2.如果集合A的每一个元素都是集合8的元素，反过来，集合8的每一个元素也都是集合4的元素，那

么我们就说集合A等于集合&即A=8.

【解题方法点拨】

I.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻