2025年线性代数自学历年真题解析与答案汇编

全国7月自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A7表示矩阵A的转置，表示向量a的转置，E表示单位矩阵，|川表示方阵A

的行列式小7表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后

的括号内.错选、多选或亲选均无分.

1.设A为三阶矩阵，且|A-”=3,则|-3A|()

A.-9B.-1C.1D.9

2.设A=[%,。2，4]，其中1，2,3)是三维列向量，若|川=1,

则l[45,2a「3a2，。311=()

A.-24B.-12C.12D.24

3.谀A、B均为方阵，则下列结论中正确的是()

A.若|八3|=0,则A=O或5=0B.若|AB|二O,则|A|=0或|B|=0

C.若AB=0.则A=0或B=OD.若ABH0.则|A|H0或|B+声0

4.设为〃阶可逆阵，则下列等式成立的是()

A.(AB)l=A1B.(A+B)“=A'+B”

D.|(A-fB)'1|=|A-*l-i-lB'1I

5.设人为mX”矩阵，且〃iV”，则齐次方程AX=O必（）

A.无解B.只有唯一解C.有无穷解D.不能确定

123-

6.设A=:\\•则r(A)=()

0o3

A.1B.2C.3D.4

7.若A为正交矩阵，则下列矩阵中不早正交阵的是（）

A.A-B.2A*C.A=D.Ar

8.设三阶矩阵A有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为多、金、勖，令P=［品，0，2&」,则

P'AP=()

20o'「w00o-00O'20o'

A.010B.000c.010D.000

000_I)0100L002.

9.设A、3为同阶方阵•且MA）=r（B）/Q（）

A.A与B等阶B.A与5合同C.|A|=|B|D.A与B相似

10.实二次型f工（1，工2»x3）+2xt-2xixt4-X3，则/是（

A.负定B.正定C.半正定D.不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11.设A、B均为三阶方阵，|川=4,|5|=5,则12ABi=

21203

12.设A=.B=测ATB=

,310.101

201

13.设A=010则

[002

[22

14.若A=124，且r(A)=2,贝ljt=

4

15.设4=，则由所生成的线性空间上（四闻2,4）的维数

是

16.设A为三阶方阵，其特征他分别为l,2,3.]iPJ|A“一E|=

17.设a=，且a与P正交，则t=

18.方程与十英一工3=1的通解是.

19.二次型/（工1,工2，工3，4）=工1工2+工2工3+X3Xt+5X4所对应的对称矩阵是

ri11

尤0显

20.若A=00是正交矩阵，则?

惊10

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1112

21.计算行列式；11

211

2111

■010-1-r

22.设A=-111,B=2o，且X满足X=AX+5,求X.

■

-10-10

23.求线性方程组＜2©+5+孙+2=1的通解.

24.求向量组4=(2,4,2),%=(1・1,034=(2,3,D,4=(3.5,2)的一个极大线性无关组,

并把其余向量用该极大线性无关组表示.

12-11

25.设A=32A—1，已知r(A)=2,求人"的值.

,563t,

3—20

26.已知A=-260，求可逆阵p使PUP为对角阵.

.003

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27.设a.,见,a；是四维向量，且线性无关，证明我=5+/弧=%+%也+a.,

仇=4+5线性相关.

2012年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

《课程代码04184）

一、隼项透抒短（本大II共10小18.葬小超2分•共20分）

1.A2.H3.B4.C5.C

6.C7.B8.B9.A10.B

二、培虫It（本大限共10小H•郸小园2分.共20分）

11.160

U.11

16.0

0

1

2

）9.

0

0

三、计Jllft（本大题共6小箱网小1»9分.共54分）

5S55

1121

21.筑：原式力+r,+r,+r・

""1711

2

=5

2

2

00I

000

-5I0

0I0

00

100

-5

22.M.VX-AX-II

M(E-A>X-B

AX-(E-AJ'B

p100

2-9

Io-222-22

2L°。，

—♦0-112-9

[oOO-2-4]

00I。『

—•01-1013

[oOOlzJ

"-Xi-8

x,为由未知依」人+13

x.-2

13

・

二结构ci+,其中c力任常我

0

Jia.~yai+a,

3-X

26.M,|A-X£I6f

—)《2一》(7X)

/•Ai2.kt-3.X,-7

fxi-2j«»0

当X-2时有特征方利t

x>-0

••・/特征向僦Pi

0

当入=7时

[201

令1o-2

1011

[200]

«/*'4P=030

1007J

四、证明箱（本大翅共1小箱,6分）

00

100

27.证][同♦P：♦♦艮]■[a；,a：(Oi•a】=[5・a：・a>・a】C

010

01

•••?：.?：.PMB.线性相关

全国10月自考《线性代数（经管类）》试题

课程代码：04184

阐明：本卷中，A”表达方阵4的逆矩阵，内4）表达矩阵4的秩，||a||表达向量。的长度，a

表达向量a的转置，E表达单位矩阵，⑷表达方阵A的行列式.

一、单项选择题(本大题共1。小题，每题2分，共20分)

在每题列出的四个备选项中只有一种是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

阳的34

=()

设行列式的七2/3=2,贝jI-<l31

a”

A.-6B.-3

C.3D.6

2.设矩阵A,X为同阶方阵，且人可逆,若A<X-E)=E,贝！矩阵X=()

A.E+AB.E-A

E+AD.E-A

3.设矩阵A,。均为可逆方阵，则如下结论对的的是(

AA

A.可逆，且其逆为B.不可逆

ABAA1

C.可逆，且其逆为D.n可逆，且其逆为

BA'R;B-

4.设ai，。2,…，。人是〃维列向量，则a”…，a左线性无关的充足必要条件是

()

A.向量组a1，。2，…，a人中任意两个向量线性无关

B.存在一组不全为。的数八，B…,B使得八。i+/2a2+…+4a/0

C.向量组ai，。2，…，a人中存在一种向量不能由其他向量线性表达

D.向量组。2，…，a人中任意一种向量都不能由其他向量线性表达

5.已知向量2。+/=(1,-2,-2,-11,3。+2/=(1,一4,一3,0)「,则。+/=()

A.(0.-2.-1.1)1B(-2.0,-1.I)T

C.(1,-1,-2,0)丁D.(2,6-5,-1)1

6.实数向量空间占｛(x,y,z)|3x+2y+5z=O｝的维数是(

A.B.2

C.3D.4

7.设a是非齐次线性方程组A户方的解,P是其导出组Ax=O的解，则如下结论对的的是

()

A.a+夕是Ax=O的解B.a+夕是Ax*的解

C.6-a是的解D.a-6是Ar=O的解

8.设三阶方阵A的特性值分别为53,则M的特性值为，)

C.-,-,3D.2,4,3

24

1

9.设矩阵A=2,则与矩阵A相似的矩阵是()

-1

1-101

A.-12B.10

32

-21

C.1D.-2

II

10.如下有关正定矩阵论述对的的是()

A.正定矩阵的乘积一定是止定矩阵B.正定矩阵的咛列式一定不不小于零

C.正定矩阵的行列式一定不小于零D.正定矩阵的差一定是止定矩阵

二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)

请在每题的空格中填上对的答案，错填、不填均无分。

11.设det(A)=-l,det(5)=2,且4,8为同阶方阵，则det((48户户

12-2

12.设3阶矩阵A=4t3,"为3阶非零矩阵，且A5=0,则片

3-11

13.设方阵A满足这里k为正整数，则矩阵A的逆.

14.实向量空间肥的维数是.

15.设A是〃iX〃矩阵，r(A)=r,则Ax=O的基础解系中含解向量的个数为.

16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充足必要条件是.

17.设a是齐次线性方程组Ax=O的解，而尸是非齐次线性方程组Ax=b的解，则

A(3a+2fl)=•

18.设方阵A有一种特性值为8,则del(-8E+A)=.

19.设P为〃阶正交矩阵，x是〃维单位长的列向量，则||尸刈=.

23

20.二次型/(xl,x2,x3)=xl+5xj+6宕+4与占-2x}xi-2x2x)的正惯性指数是.

三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)

11-12

21.计算行列式-1J-1-41.

24-61

1242

2

22.设矩阵4=3,且矩阵。满足4氏4L4A/+BAL求矩阵

5

23.设向量组a=(3,1,2,0),a.=(0,7,l,3),a.=(-l,2,0,l).a4=(6,9,4,3),求其一种极大线性无

关组，并将其他向量通过极大线性无关组表达出来.

-143

24.设三阶矩阵A=-253,求矩阵A的特性值和特性向量.

2-4-2

25.求下列齐次线性方程组的通解.

%+/-5%=0

2%+&-3X4=0

X+*2-£+25=0

2-24-2()

306-1

26.求矩阵A：。3I的秩.

00

1-1210

四、证明题(本大题共1小题，6分)

a\\a\2a\y

27.设三阶矩阵A=%旬,3的行列式不等于°，证明:

a32仆3

全国10月自考《线性代数（经管类）》答案

一、单项选择JS（本大题共10小题，卷小题2分，共20分）

1.D2.A3.D4.D5.A

6.B7.B8.A9.B10.C

、填空题（本大题共】0小JS,每小H2分供20分）

11.-812.-313.Atl14.n15.n-

16.r(A,b)=r(A)17.2b18.019.1

20.3

三、计真题（本大题共6小髭，每小fig9分，共54分）

11-1211-12

00-530150

21.解：原行列式=N-

02-4-302-4-3

015000-53

11-12112-1112-1

015001050105

00-14-300-3-1100-3-14

00-53003-5000-19

=57-

22.解：由条件ABA1=4A"+BA",得

(A-E)BA-*=4A

从而（小E）“;4E

故，4是极大线性无关组，且

4=4+2%-3,•

24.解：矩阵A的特征多项式为：

A+1-4-3

|AE-A|=2A-5-3=A(A-1)X

-24A+2

故A的特征值为A=O，Z=儿=1•

对于为=0,求解齐次线性方程组(OEA)x=O

■r

得一个基础解系为:4=1，故属于A=o的全部特征向量为:

,-i.

•r

舟q=用ia层o）

.-i.

对特征值入=h=l,考虑齐次线性方程组（1岳A）x=0

求解得，其一个基础解系为:

故属于特征值％=入=1的全部特征向量为

3

23a3=410，其中44不全为0

0.2.

25.解：对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换得

由于r(A)=2V4,基础解系含2个自由未知量.

佃1=口3+544

原方程组等价于Y与，工为自由未知量.

[xt=2xi-7xt

X3)(10)

令=，得方程组的一个基础解系为

I。1

故原方程组的通解为:

”=cEi+c%=Ci，其中G，q为任意常数.

26.解:对A施行初等行变换将其化成阶梯形

由于A的非0行数为3.

故A的法为3......................................................（9分）

四、证明题（本大题共1小建，6分）

27.证明：设有一组数.出，心，使-%+用%+设%-0.......................<2分）

即《5,0,,.）3=0.

亦即A%.即是Ax-0的解.............................（4分）

注意到0只有零解，因为A的秩等于3=未知量的个数.

故人■心■*,■（>.从而见•♦，/线性无关.........................（6分）

全国10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代

码：04184

一、单项选择题（本大题共5小题，每题1分，共5分）

1.设行列式60=1，4G=-2,则《?+G=（）

a2b2a2c2a2b2+c2

A.-3B.-1C.iD.3

100

\_

2.设矩阵A=00,则()

2

J

00

3>

’001、'100]q00、'003、

A.020B.020C.020D.020

3000000

103,XJ化

3.设A为〃?X〃矩阵，4的秩为八则()

A.r=m时，Ax=O必有非零解B.r=〃时，Ax=O必有非零解

C.r<m时>Ax=O必有非零解D.X〃时，Ax=O必有非零解

4.设4阶矩阵4的元素均为3,则r(4)=)

A.IB.2C.3D.4

5.设1为3阶实对称矩阵A的2重特性值，则A的属于1的线性无关的特性向量个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)

6.设A为2阶矩阵，将H的第1行加到第2行得到&若3=(；则4=

7.设A为3阶矩阵，且⑷=2,则12Al=.

8.若向量组a=(2,l,a)],%=(4,a,4);线性无关，则数a的取值必满足.

9.设向量a=(l,O,l)T,/?=(3,5』)T,则£-2a=

a”a\

10.设4=%，b=瓦，若非齐次线性方程组Ax冲有解.，则增广矩阵彳的行列式

叶-------

II.齐次线性方程组X|+X2+X3=0的基础解系中所含解向量的个数为

12.设向量0=(3,-4)匚则a的长度|同=.

n-2\

13.已知-2是矩阵A=.的特性值，则数户___________

(2X)

f\22、M00、

14.已知矩阵4=212与对角矩阵。=0-10相似，则数

、221,、00

15.已知二次型/(0工2，刍)=x；+¥+a；正定，则实数/的取值范围是

三、计算题(本大题共7小题，每题9分，共63分)

a-b-c2a2a

16.计算行列式。=2bb-a-c2b.

2c2cc-a-b

17.已知向量a=(l,2«),夕=且仇，=3.A=a/,求

(1)数)的值:(2)屋.

Q23、

I0-1

18.已知矩防人一231,B-，求矩阵X,使褥M4-&

200

<340,

19.求向量组里=(1。2,0)1,生=(-1,-1,-2,01,q=(-3,4,<1式区=(-6,14,-6,3)1的秩和一

种极大线性无关组，并将向量组中的其他向量由该极大线性无关组线性表出.

心2)(3、

20.已知齐次线性方程组Ax=0的一种基础解系为。=I看2=0，求r(A)及该齐次线性

方程组.

21.设向量组风=(1,-1,-LI)，,%=(110,0)1%=0,T2。)匚求一种非零向量Q,，使得火与

%,%,%均止交.

22.用配措施化二次型/(为心.为)=2再2-2石-43七+8々七为原则形，并写出所用的可逆性

变换.

四、证明题(本题7分)

23.设A是，，i乂〃矩阵，证明齐次线性方程组Ax-0与ATAA-0同解.

全国10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共5小题，每题1分，共5分）

1-5BBDAC

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

(\2、

6.7.168.。=29.(1,5.-1)T10.0II.212.513.-414.5

122

15.(0,-t-oo)

三、计算题（本大题共7小题，每题9分，共63分）

16解

11I

原式=Ca+b+c)2bb-a-c=(«+/?+c)0

2c2c()

17.解：（1）由于加「=1+1+*=3,贝收=3.

PlJ%阴

(2)A10=(a'^),0=a'(^a)9/?=39a'/?=392(l./，X)=3921%

UJL%I,

rl2312‘123121(12312

18.解；(A'BT)=23400-0-1-2-2-4t0-1-2-2-4

-6)1001

.310-100-5-9-4614

‘120-17-40、rl0038、

-^0-101024->010-10-24

001614z,001614,

，38、

-106、

则XT=-10-24故乂=

-2414,

614z

19•解

」-1-3-6、」-1-3-6、」-1-3-6、

0-14140-141401-4-14

(aj,a,oi3,oc4)=一—>

22-2-4-600260013

013,、0013,、0000,

I-I03、」0O1、

010-2010-2

00I300I3

、000°>、0000,

向量组的秩为3,一种极大线性无关组为四，。？，气，且

ct4=CC|-2012+3OC3.

20.解：易知〃=3,且〃一，•（八）=2,则r（4）=l

又自由未知量为々，/，则Ar=0同解方程组为5=-82+3七，即玉+2%-3七=。

为所求方程组.

21.解:设。4=（司”均，修，工4），由于。4与,“2，。3均正交，则

JT,-X,-Jt34-X4=0

菁系数矩阵

+x2=0

内

-x2+2xy=0

1-1-11)1-1-11

A=110OO21-1

1-120><0O3-1

02>00,

1-1-11-13。

—>0T1—>010101°4

-2'J

00110011001

-3>-3;-3>

X=T5

同解方程组为1X2=3X4，冗4为自由未知量

工3小

一种基础解系为（-1,1,1,3）T,即4=（一1」」,3）T.

22.解:2

配措施得/（X|,大2，8）=2（西一心）2—2（必-2X3）+6xj,

/\

»二$73y\1o-ly.Vj

令’乃=电-2与即可逆线性变换为）'201-2工2

）'3=向，OOH✓

故原则行为/（%,必力）=2>'i2-2力2+6代.

四、证明题（本题7分）

23.证明：

设&=0,则不纯=0,即专是A，Al=0的解.

若十4〃=0,则rj1A1Ar/=（Ar/）rAr/=0,

令A,=（q,a2,…,a），,则（A/7）'A〃=a：+Q；+…+a~=0,

故4=0.=1,2,・・・二）,即他二0,〃是Ar=0的解.

综上可知，­=0和浦4大=0同解.

io月高等教育自学考试全国统一命题考试

04184线性代数（经管类）试卷

本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

阐明：本试卷中，4,表达矩I年A的转置矩阵，A”表达矩阵A的伴随矩阵，£是单位矩阵,

同表达方阵A的行列式，34）表达矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一种是符合题目规定的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

Cl\\a\la\3

1.设3阶行列式。21%23=2,若元素%的代数余子公式为4（i,j=l,2,3）,则

111

An+42+A33=【】

A.-lB.OC.lD.2

2.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以-,得到单位矩阵E,

2

则|牛［

A.-2D.2

3.设向量组四，4,4的秩为2，则中【】

A.必有一•种零向量

B.B.任意两个向量都线性无关

C.存在一种向量可由其他向量线性表出

D.每个向量均可由其他向量线性表出

1-33、

4.设3阶矩阵4=3-53，则下列向量中是A的属于特性值-2的特性向量为

(6-64J

一、"1

B.0C.0D.1

29

5.二次型/($,0小)=匹2+4+后+4X,X2的正惯性指数为【】

A.OB.lC.2D.3

二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)

请在每题的空格中填上对的答案。错误、不填均无分、

9-r-1

6.设/@)=，则方程/(x)=0的根是_________________

31

<on*

7.设矩阵A=，则4*=________________________

(20J

8.设A为3阶矩阵，M=-g,则行列式|(2A)牛

(\2、(\0、

9.设矩阵8=，尸=，若矩阵A满足PA=&则人=

(34)(02)~

10.设向量4=(-1,4)。%=(1,2)。出二(4⑵,，则由由四，%线性表出

的表达式为__________________________________________

11.设向量组%=(3,1,1)7,%=(4,1,0)，,%=(1,0,幻,线性有关,

则数________________

x.+x,=0

12.3元齐次线性方程组112八的基础解系中所含解向量的个数

,X2~X3=°

为______________

13.设3阶矩阵A满足|3E+2A|=0,则A必有一种特性值为

14.设2阶实对称矩阵A的特性值分别为-1和1,则A?=

15.设二次型/（4,与）=tx\+正定，

则实数1的取值范围是

三、计算题（木大题共7小题，每题9分，共63分）

3100

1310

16.计算4阶行列式。=的值。

0131

0013

ar

/a10

17.已知矩阵4—,求AL

a100

Jo00,

-in

18.设矩阵4=110，且矩阵X满足AX+E=A?+X,求X。

、.()1U

19.设向量

%=(1,1,1,1)7,%=(121»,4=伏+11次次+1)丁，==(公+U,U),试确定当］取何

值时万能由四,线性表出，并写出表达式。

X,+X2++X4=0

20.求线性方程组卜2+2.q+2.口=1的通解（规定用其一种特解和导出组的基础解系

%1+2X2+3xy+3X4=1

表达）。

1I)(\00、

21.设矩阵4=13-1与对角矩阵8=020相似，求数X与可逆矩阵尸，使

••JI。。2）

得

22.用正交变换将二次型/（打工2，为）=4+2石+21]七化为原则形，写出原则形和

所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）

23.设向量组3,见,外线性有关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为当的

常数％],&,自使得占囚+&。2+自%=°。

10月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参照

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

I.D2.A3.C4.B5.C

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

6.5

(\2\

10.ay=-%+3%

11.-I

12.I

14.E

15.0</<1

三、计和题（本大题共7小题，每题9分，共63分）

31001310

13103100

16席D==—3分

01310131

00130013

1310

0131

=559分

0013

000-55

2<

%，aa11000、10000001)

/。1o0100a1000010

17.解……2分

a1000010a~a10()100

2

J0000001,aa11000,

"1000000I

0100001-c

->7分

001001-c0

ko0011-a00

‘000

.001-a

从向=9分

01-a0

k1-a0

18.解由4X+E=/V+x、得(A—E)X=2分

‘1-1n(\00、/0-1r

又由A-E=I1o-oI0=10o可逆5分

、01