2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第01讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示（解析版）

第01讲平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示

目录

第一部分：题型篇....................................................1

题型一：重点考查平面向量的概念...................................1

题型二：重点考查向量的加（减）法（含坐标表示）..................5

题型三：重点考查向量的共线定理（含坐标表示）....................7

题型四：重点考查向量三点共线的等价条件.........................11

题型五：重点考查用基底表示向量..................................16

题型六：重点考查平面向量的基本定理中的参数定值，最值，范围....20

第二部分：方法篇...................................................25

方法一：求向量模的传统法和坐标法...............................25

方法二：求向量模的最值与范围...................................27

方法三：借助圆解决向量中的最值与范围问题.......................30

第一部分：题型篇

题型一：重点考查平面向量的概念

典型例题

例题1.（2023春•河南南阳•高一统考期中）如图，点。为正六边形A8COE/的中心，下列说法正确

的是（）

ED

C.与47)共线D.BE>BC

【答案】B

【详解】对选项A：A8WOO,错误;

对选项B：同=网,正确;

对选项Q.与A。不共线，错误;

对选项D：向量不能比较大小，错误.

故选：B.

例题2.（2023春•江苏南京•高一南京师大附中校考期中）设〃，力都是非零向量，下列四个条件中，使

ab

)

得R=M成立的条件是（

A.a=-2bB.a//bC.a=2bD.〃〃〃且卜卜W

【答案】C

ab

【详解】由题意可知nH，国\b\分别表示与-%同向的单位向量，

ab

对于A,当a=-2b时，a，b反向，口二一忖，A错误;

ab

对干B,a//bf则a，力反向时，口=一间，B错误;

a2bh

对于C,当〃=»时,『羽旃’正确;

对十D,a〃小且卜卜日时，有可能是a=—bt此时口=一恸，D错误,

故选:C

例题3.（多选）（2023春•吉林长春•高一东北师大附中校考阶段练习）下列说法中，错误的有（)

A.若b//cr则o〃c

B.若AB〃CD，则A,B,C,。四点一定是平行四边形的四个顶点

C.零向量与单位向量平行

D.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

【答案】ABD

【详解】对•于A,当b=0时，有：〃力且R/c，但〃、£不一定共线，A错误；

对干B,茅AB〃CD，则A,B,C,。四点共线或者A,B,C,。四点构成四边形（不一定是平行四

边形），B错误；

对于C,由零向量的性质：方向任意，故其与任意向量都平行，所以零向量与单位向量平行，C正确；

对干D,根据两向量共线的定义知：若两个向量的方向相同或柞反，则这两个向量共线，

故长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，D错误；

故选：ABD

例题4.（多选）（2023春•高一单元测试）下列命题中正确的有（）

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.a与力同向，且则

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

【答案】AD

【详解】对于A,向量可以平移，平行向量即为共线向量，A正确；

对于B,相反向量是指模长相等，方向相反的向量，B错误；

对于C,向量。，力可以相等，即方向相同且模长相等，但不能比较大小，C错误；

对于D,两个向量平行，模长可能不同，也可能方向相反，无法得到两个向量相等，充分性不成立；

两个向量:若相等，那么两个向量方向相同且模长相等，则两个向曷平行，必要性成立

二两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确.

故选：AD.

精练核心考点

1.（2023•高一课时练习）如图，四边形A8CQ中，A8=OC，则相等的向量是（

A.AD^CBB.OB与。。C.AC与8Z)D.40与OC

【答案】D

【详解】因为在四边形A8CO中，AB=DC，

则四边形A8CQ为平行四边形,

故AD=BC>OB=DO'AC决BD，AO=OC，

故选：D.

2.（2023春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）下列叙述中正确的个数是（）

①若ci=b，则3a>2b;②若卜卜同，则或〃=_8；③若a§b,bffcf则a〃c；④若日=力，则

ab.

A.0B.IC.2D.3

【答案】B

【详解】因为向量不能比较大小，所以①错误，

单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，

当3=0时，。和c可能不平行，所以③错误，

两个向量相等则它们一定平行，所以④正确.

故选：B

3.（多选）（2023春•黑龙江双鸭山•高一双鸭山一中校考阶段练习）关于向量a/下列命题中不正确的是

（）

A.若|a|=W，则a=0B.若a=-b,则〃〃Z?

C.若［4>W，则D.若W/方，bUcr则R/c

【答案】ACD

【详解】对于A,当同=忖时，〃出方向可能不同，,a=b未必成立，A错误；

对干B,若a=-b，则a,b反向，.•."//〃，B正确；

对于C,同〉W只能说明“，力长度的大小关系，但a泊还有方向，无法比较大小，C错误；

对于D,当〃=0时，a//b，bile.此时未必共线，D错误.

故选：ACD.

4.（多选）（2023春•黑龙江哈欠滨・高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列叙述正确的为（）

A.有向线段就是向量，向量就是有向线段

B.若同=0,则4=0

C.所畲的单位向量都相等

D.。与力是非零向量，若。与力同向，则。与-。反向

【答案】BD

【详解】解：对于A选项，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故错误；

对于B选项，根据零向量的定义，同=。，则a=0，故正确；

对干C选项，所有的单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故错误；

对于D选项，a与方是非零向量，若。与方同向，则a与-8反向，故正确.

故选:BD

题型二：重点考查向量的加（减）法（含坐标表示）

典型例题

例题1.（2023春•吉林长春•高一东北师大附中校考阶段练习）如图所示，。、E、产分别是的

边A",BC、C4的中点，贝IJA尸一（）

B.FCC.FED.BE

【答案】D

BC、C4的中点，则O/7/8C且。F=：8口

【详解】因为。、E、F分别是SBC的边"、

所以，DF=BE=EC，DB=AD，

因此，AF-DB=AF-AD=DF=BE=EC.

故选：D.

例题2.（2023•宁夏银川•银川一中校考二模）已知向量"=（2,-3）,6=（1,2）,c=（9,4）,若三噌+怎,

则/〃十/?=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【详解】由题意,得c=（2m+n,-3m+2n）=（9,4）,

2m+〃=9m=2

所以《-3解得

n=5

所以“+〃=7.

故选：C.

例题3.（多选）（2023春♦黑龙江鸡西•高一鸡西市第四中学校考期中）下列能化简为PQ的是（）

A.QC-QP+CQB.A8+（/，A+6Q）

C.（A8+PC）+（8A-QC）D.PA+AB-BQ

【答案】ABC

LILUUUUUULM1LILULU.B1

【详解】解：对于A,QC-QP+CQ=-QP=PQ»故A正确;

ULtlUUIMJUUUllUUULB1

对干B,AB+PA+8Q=AQ+PA=PQ故B正确；

/Uimmu、/uiruim、miniamuim

对干c,[AB+PC)+[BA-QC)=PC+CQ=P()T故c正确；

对干D,PA+AB—BQ=PB—BQ,故D不合题意；

故选：ABC.

精练核心考点

1.（2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考期中）已知.56C是边长为2的等边三角形,D,E,尸分别是

边A8,BC,C4的中点，则下列选项正确的是（）

A.AB+AC=AEB.AB-AC=BE

C.EF=-ABD.DEDF=-

22

【答案】D

对于A项，因为E是边BC的中点，所以AE=g（A8+AC）,故A项错误;

对FB项，因为E是边5c的中点，所以CB=2£8=-28£，

所以人8—AC=C8=—24石，故B项错误;

对干C项，因为E,产分别是边8C,C4的中点，所以所〃在8,且£尸=348.

乂因为ERA8反向，所以E/=-3人4,故C项错误；

对于D项，因为。，E,〃分别是边AA，BC,C4的中点，

所以加'〃力C,且DE=；AC,DF〃BC,且

所以，DE=-AC,DF=-BC.

22

因为4C=3c=2,NACB=1,所以C/VC4=2x2x2=2,

所以ACBC=CACB=2，

所以QEO〃=[cA-C4=g,故D项正确.

故选：D.

2.（2023春・安徽•高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，在正六边形A8C0所中，DE+AF-CB-BE=

A.0B.ADC.BED.CF

【答案】A

【详解】由已知BE=B4+4产+房，

所以DE+AF-CB-BE=DE+AF-CB-BA-AF-FE.

所以DE+AF-CB-BE=DE-BA-CB—FE，

又DE=BA,CB=-FE,

所以DE+AF-CB-BE=0

故选:A.

3.（2023春•四川成都•高一成都七中校考期中）已知。=（5,-2）,0=（Y,-3）,若抄+3c=0，则。=（）

A-C（T13~34j、B•〔f丁1338、C（1.34、D.f,8、

【答案】A

【详解】由a—2〃+3c=0可得°=_34+.〃=_.（5,_2）+,（-4,-3）=（_^,一鼻），

故选：A

题型三：重点考查向量的共线定理（含坐标表示）

典型例题

例题L（2023春•广东江门•高一新会陈经纶中学校考期中）48=4—6,BC=3ei+2e2,CD=kq+”

且A、C＞。二点共线，贝必=（）

A.8B.4C.2D.1

【答案】A

【详解】由题得人。=八8+8。=“々2+相+26=抬+0,

因为A、C、。三点共线，

所以ACCD,

所以存在实数丸,使得AC=4C。，

所以4q+e2=+2/)=k入外+2Ae2,

kA=41

所以”一解得2=：，2=8.

zX=I2

故选：A

例题2.（2023春•广东深圳•高一深圳中学校考期中）已知",MP,Q是平面内四个互不相同的点，a,b

为不共线向量，MN…5b，NP=-2（a-4b）fPQ=3（d-b]t贝lj（）

A.M,N,尸三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,P,Q三点共线D.N,PfQ三点共线

【答案】B

【详解】对于A,令iMN=NP，却｛。+5。）=一2（"4〃），

所以七一,，所以不存在/，使得，MN=NP，A错误；

5/=8

对FB,由于NP=-2（。-4/2）,PQ=3（"b）,

所以NQ=NP+PQ=a+5b,

所以MN=NQ,乂MN,NQ相交千点、N,

故M.N、。三点共线.B正确；

对干C，MP=MN+NP=-d+13b，

令mMP=PQ,即〃《-4+13/7）=3（。一〃），

-m=3

所以《口与，所以不存在机，使得〃?MP=PQ,C错误；

对干D,令nNP=PQ,即一2〃卜-48）=3（〃一力），

—2n=3

所以%所以不存在〃，使得〃NP=PQ,D错误.

8〃=-3

故选：B

例题3.（2023春•浙江杭州•高一杭师大附中校考期中）己知〃与〃是两个不共线的向量，

AB=Aa+2b,AC=a+（A-\）b,若AN，C三点共线，则实数2=.

【答案】2或-1

【详解】因为。与。是两个不共线的向量，

若A,8.C三点共线，则A8=&AC，即焉+2b=A[5+（/1-1）。=ka+k（A-1）b,

九=k

可得《2-k(A-l),解得％=4=2或4=攵=一1.

故答案为：2或T.

例题4.（2023春•广东深圳•高一深圳市高级中学校考期中）如图所示，在58C中，D为BC边上一点,

且BO=2QC，过。的直线耳、与直线A3相交于E点，与直线/1C相交于小点（E,/两点不重合）.

⑴用八8，AC表示A。;

⑵若AE=/IA8,4"=〃AC,求22+〃的最小值.

12

【答案】（1）AO=QAB+QAC

JJ

【详解】（：）因为〃£>=2/）C,所以八。AH=2AC2AD-

I2

化简得AO=5A8+§AC；

19

（2）因为A£=2A8，AF=/.lAC»AD=-AB+—AC,

所以4。二」74七+：人尸，由图可知4>0,〃>。

3Z3〃

12

乂因为。、E>/三点共线，所以豆+汇=，

.\（12）4〃44、4_Ip428

所以2/l+〃=（2/l+4）・—+—=-+—+—^-+2

\3A3"）33x3〃3\3x3//3

tt4/4Q

当6=丁，即〃=24=?0寸，24+〃取最小值〜

精练核心考点

1.（2023春•上海浦东新•高一上海南汇中学校考期中）已知。，力是两个不平行的向量，若向量后与向

量2a+b平行，则实数/等于（）

A.B.-1C.0D.-2

【答案】A

【详解】向量a-力与向量2a+b平行，则存在实数k，使得a-tb=k（2a+b）,

即〃-必=2ka+A〃，又〃是两个不平行的向量，

k=-

解得I1

t=~2

故选：A.

2.（2023春•天津和平•高一耀华中学校考阶段练习）设&，以是两个不共线向量，若向量a=36+5々与向

量」=选1-3工2共线，则机的值等于（）

5935

A.——B.——C.--D.——

3559

【答案】B

【详解】a//b

•・・存在实数4,使得〃=Zb.

即3ei+5畛=4（〃?ei-3《2）,

又口，62是不共线向量，

3=Am

：.<,

[5=-3A

解得，"=弓.

故选：B.

3.（2023春•黑龙江鸡西•高一鸡西市第四中学校考期中）设向量。，b不共线.若/3=2。+〃力,BC=a+b.若

A,B,C三点共线，求实数〃的值.

【答案】2.

【详解】因为A,B,。三点共线，贝IJA8//8C，存在实数，，使得A8=/8C，而=+M,BC=a+b.

因此2〃+〃〃=f（a+/?），即（2-）。+（〃一力力=0,又向量。，b不共线,

2-r=0

于是解得〃=/=2,

p-t=0

所以实数〃的值是2.

4.（2023春•河南南阳•高一统考期中）如图所示，在一ABC中，BC=4BD,AC=3CE.

⑴用4%4。表示八。.8£:：

(2)若证明：氏三点共线.

319

【答案】⑴AO=L18+24C,BE=-AC-AB

443

(2)证明见解析

【详解】(1)因为5c=480,所以8力=1/?C=!(AC-A8)=卜C—AA,

4444

1131

所以人。=68+8O=/16+-AC——AB=-AB+-AC,

4444

-2-2

因为AC=3CE,所以AE=—AC,所以8E=AE-/18=：AC-/W；

33

?212

(2)因为AM=-A8+-AC,所以8M=AM-/1B=~/\B+-AC,

3939

因为8E=gAC—A8=3(-：AB+£AC),所以=

即BE与共线，因为8E与有公共点4，所以RE,M三点共线.

题型四：重点考查向量三点共线的等价条件

典型例题

例题1.（2023•湖北武汉•统考模拟预测）如图，在“AC中，M为线段8C的中点，G为线段AM上

一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB,AC于尸，。两点，A3=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,

41

则一+F的最小值为（）.

xy+1

44

【答案】B

【详解】因为M为线段8C的中点，所以AM=g(A8+AC),又因为AG=2GM，所以

AG=-AM=-(An+AC),

33

又A8=xAP(工>0),AC=M0(y>O),所以AG=；AP+]AQ,

乂P，G,。三点共线，所以:+]=1,即x+y=3,

皿41141」/…1「,A4(y+l),11一口―4(y+l)、9

所以一+--=-(-+--)x+(y+I)=-4+--+———+1>-(5+2--•—:——)=-,

xy+l4xy+14[_y+1xJ4y+lx4

x4(y+l)g1

当且仅当一;二’一，即x==：时取等号.

y+lx33

例题2.（2023春•天津和平•高一耀华中学校考期中）如图，在/BC中，CM=2M3,过点M的直线

交射线人B于点P,交AC于点。，若AP=〃*8.AQ=〃AC,则6+〃的最小值为（）

A.3B.2夜C.1+当D.G

【答案】C

【详解】解：因为CM=2M8,所以8M=：8C,

又AP=mAB,AQ=nAC»(m>0,//>0)

所以-AQ=AC

tnn

所以AM=A3+8W=A8+，3C

3

=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=—AP+—AQ,

3333m3n

21

因为乙M,Q三点共线，所以二+二=1,

所以m+〃=+〃)•1=(/〃+〃)•岛+£!

当且仅当即/〃=忘〃=1:也时取等号；

3m3n3

故选：C.

例题3,（2023•全国•高三专题练习）已知A、B、P是直线/上三个相异的点，平面内的点。0/,若

正实数才、）,满足40P=2x（）A+\OB,贝J+1的最小值为______.

.xy

【答案】3+也

42

【详解】因为人、仄P是直线/上三个相异的点，

且40P=2xO4+yO8,即OP=^QA+：O8,且x、y为正实数,

所以冷"

rr..1111Vx丁、3yx、3_l~y~x372

Xy（Xy人24）44x2y4忸2y42

当且仅当齐=白，即x=4-20,y=4应-4时，取等号，

4.r2y

所以的最小值为2+正.

工）’42

故答案为：»+@.

42

例题4.（2023春•上海浦东新♦高一上海市洋泾中学校考期中）已知A、B、C三点共线于直线/,对直

线/外任意一点。，都有OC=4〃QA+0）,则2的最小值为.

mn

【答案】6+4核

【详解】由题意，A、B、C三点共线

所以存在实数7使得AC=ZCB，BPOC-OA=MB-AOC>

所以OC=OB

而OC=AmOA+nOB(m,n>0)

1J

所以〃=丁三，

1+丸1+A

I

则4/?/+〃=--------1-——=1,

1+2i+A

I?,

所以一+—=(4m+〃)

mn

/n8阳、/,

=6+—+——>6+2

mn

当且仅当〃=2&〃?,即m="正,〃=夜-1时取等号.

4

10

因此—I--的最小值为6+4立.

mn

故答案为：6+4/.

精练核心考点

1.（2023春•四川成都•高一成都市第十八中学校校考期中）已知点A在线段8c上（不含端点），。是直

1\-b

线8C外一点，且。4-2aOB-/20c=0，则一+1—的最小值是（）

ab

A.3+2及B.2+2上

C.25/2D.1

【答案】B

【详解】由04—%04—。OC=（），得OA=2aO4+〃OC，

又因为点A在线段BC上（不含端点），。是直线BC外一点，

所以2a+b=1且a>0,〃>0,

则，+今=，+：-1=（，+3）（24+〃）-1=2+%+2之2^^+2=2忘+2,

当且仅当9=羊，即〃=拉〃=近-1时取等号，

ab

11.A

所以士+丁的最小值是2+2V2.

ab

故选:B.

2.（2023春・广东广州•高一广州市第一中学校考期中）如图所示，已知点G是△A8C的重心，过点G作直

线分别与A8,AC两边交于M,N两点，设x八B=4M，yAC=AN>则,+：的值为（）

Ay

A.3B.4

C.5D.6

【答案】A

【详解】由题意4G=%AM+(1-4)AN且0W/IW1,而=AM，)，AC=AN，

所以4G=x2A8+y(l-团AC,

21|

又G是仆ABC的重心，故AG=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)f

■74J

=-

3，可得W+/='即9；=3-

所以

故选:A

3.（2023春・广东深圳•高一校考期中）过a/WC的重心G的直线/分别交线段A8MC于点笈尸，若

AE=AAB,AF=^AC,则22+〃的最小值为()

A.

\匹B.3+2五

3

2+2企5

rD.

33

【答案】A

.9-

【详解】如下图，若£）为AC中点,，乂△人AC的重心G,则A&D共线，口

又E,G,f共线,

2〃

所以次/AE+如尸’即AG$AE+》尸'则导才

、/、、

故I-"+〃=31(…2"+〃)匕1+71)=31(“,+力〃+万24”31(/3c+c2J1了〃722)、=3^+2-夜'

当且仅当〃=历，即％=笠々,〃=与1时等号成立.

故选：A

4.（2023春•贵州•高一校联考阶段练习）点尸是线段AB上的任意一点（不包括端点A8）,对任意点。都

14

有。PW+刈，则二7的最小值为.

【答案】9

【详解】因为点尸是线段A8上的任意一点（不包括端点AB）,

所以A尸=/AB=%（O8—OA）,0<2<1,

所以。夕=(1一/1)04+/1。3,

又0P=MM+y08,

所以x>0,y>0,且x+y=l,

14(14L\,,y4x、Ly4x八2

所以-H—=一■I—(x+y)=1+4+—+—>5+2/—=9,当且仅当y=2X=；时等号成立.

xy1工y)xyyxy

故答案为：9

题型五：重点考查用基底表示向量

典型例题

例题1.(2023春•北京海淀•高一北大附中校考期中)已知非零向量。4,03不共线，且

则向量。历=()

A.-OA+-OBB.-OA+-OB

3333

1-?一21-

C.-OA——OBD.-OA——OB

3333

【答案】A

.]-1|-2

【详解】由题设。例=0B+4M=0B+§AA=0B+§(0A-04)=§0A+§0B.

例题2.（2023春•全国•高一专题练习）如图所示，点E为，A8C的边AC的中点，尸为线段8£上靠近

I242512I

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.--BA+-BCD.--BA+-BC

33336633

【答案】C

1.2•1―2--■

【详解】解：AF=AE+EF=-AC+-EB=-AC+-(AB-AE)

2323

1_2___112-

=-AC+-AB--AC=-AC--BA

23363

1251

=-(BC-3A)——BA=——BA+-BC.

6366

故选:C.

2?

例题3.(2023•浙江金华♦统考模拟预测)在一ABC中，BE=?BC,八尸=3八则6/=()

4747•

A.—ABH—ACB.BF=—A8—AC

9999

74一74-

C.—ABT—ACD.RF=—AB—AC

99099

【答案】C

2-?

【详解】58C中，BE=-BC,AF=-AE,如图所示，

=-AB+-AB+-（AC-AB\\=~AB+-AC.

3|_3、〃99

故选:C

例题4.（多选）（2023春•河南•高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在工8C中，BM=^BCt

12

A.BN=-BA+-BCB.AQ=QM

C.BQ=3QND.QA+Q3+QC=0

【答案】BC

一.一

【详解】对于A,因为—NC•=：24C,所以NC=2AN，则用V=彳2阴+：18C-,故A错误;

对FB和C,因为A,M,。三点共线，由共线定理可知，存在实数力,

使得8Q=28M+(1—％)BA=48C+(l-/l)8A,设BQ="N,

_；/

所以■^比:+(1-4)胡=18。+与胡，所以•3—不，

T当

2=?

解得

3

BQ=-BM+-BA-^AQ=-(BA+AM^-BA^>AQ=-AM,

22222

显然AQ=QM成立，

因为BQ=[BN,所以BQ=3QV,

故B,C正确；

对于D,因为所以M是8。的中点，因此Q8+QC=2QM,

由上可知AQ=QMn04=-QM,

QA+Q8+QC=Q八+2QM=QMwO,故D错误.

故选:BC

精练核心考点

1.(2023・湖北黄冈商水县第一中学校考模拟预测)如图，在四必形A8CD中，AB//CD,=4CD，点E

在线段CA上，且CE=2EB,设人炉a，4。=力，则人E=()

B.-a+-b

28

D.-a+-b

43

【答案】D

【详解】在梯形ABC。中，AB//CD,旦AB=4CD,则OC=?AB,

4

因为E在线段C8上，且CE=2EB,则=

1..3

BC=BA+AD+DC=-a+b+—a=b——a,

44

1if3A31

所以,AE=AB+BE=AB+-BC=a+-b--a\=-a+-b.

33(4J43

故选：D.

2.（2023春•浙江•高一校联考期中）在中，。为BC的中点，E为AC边上的点，且AE=：EC,则EQ=

I2

A.—ABH—ACB.—AB—AC

2423

]?

C.—ABH—ACD.——AB+-AC

2423

【答案】A

又因为，AE=-EC,所以AE=，AC.

34

所以，ED=AD-AE=-AB+-AC--AC=-AB+-AC.

22424

故选：A.

3.（2023春・浙江•高一校联考期中）如图所示，尸为平行四边形/WC£＞对角线Z?。上一点，BF=^FD,则

1-313

C.-AB+-ADD.-AB--AD

4444

【答案】A

【详解】由题意知8尸=；正。，

故4尸=48+8产=48+工五。=

34

1-31

=AB+-（AD-AB）=-AB+-ADf

444

故选：A

4.（多选）（2023春•安徽阜阳高一田家炳实验中学校考期中）设q、七是平面内两个不共线的向量，则

以下a，〃可作为该平面内一组基底的是（）

A.〃二弓+与，b=6

1UUiuu

C.a=-ex+e2,b=e]-e2D.a=ei-2e1♦b=-e}+4e2

【答案】ABD

【详解】因为q、6是平面内两人不共线的向量，则有:

对于A:设〃=4?,即弓+62=丸6］，显然不成立，

即a不能用b表示，故〃，。不共线，所以A符合；

irir（।iriu'\%ir41r

对于B：设a=",即20+6=/17，+彳/=Tei+T^2»

、42J42

-=2

则？，无解，

-=l

,2

即“不能用〃表示，所以a，力不共线，故B符合；

对于C：a=»故a，力共线，所以C不符合：

ITU-/ITIT\ITIT

对干D：设a=即q_2.=2（-q+46）=_义弓+4义&2，

唾:12,无的

即a不能用〃表示，故”，〃不共线，所以D符合.

故选:ABD.

题型六：重点考查平面向量的基本定理中的参数定值，最值，范围

典型例题

例题1.（2023春4匕京海淀南三北京市八一中学校考阶段练习）设e,、4为单位向量，非零向量“二•；十）/,

若,、6的夹角为45，则卷的最大值等于（）

A.1B.72C.6D.2

【答案】B

22222

【详解】Ia1=^x+ye2+2xyex-e2=+y+2xy-等=G+y，+立xy•

当y=0时,得的值为o,

当…时，有出r+)'+

1

加叶卜+忘111Iy|-!==>/2

----tl'J,—I-十；有最小值此时高有最大值为］

2---------3--------2

故选：B.

um

例题2.（2023•全国•高一专题练习）若卜耳=7,卜。卜4,则BC的取值范围是（)

A.[3,7]B.(3,7)C.[3,11]D.(3,11)

【答案】C

【详解】由题意知,4二7,卜C|=4,且k4=|AC—AB|,

nim

当AC,八8同向时，BC取得最小值,\R(^=\AC-AB\=\\AC\-\AB\\=\4-7\=3,

UUQI■

当AC,A8反向时，BC取得最大值，Bq=jAC—A3|=||AC|+|A4||=|4+7|=ll；

unn.

当AC,AB不共线时，BC\取得最小值,3=||AC|-14砌|<|BC|<||AC|+1丽|=11,

UIU|

故BC|的取值范围是[3,1]

故选:C

mm

例题3.（2023•全国-高一专题练习）在平面内，A41伍，网H。闻=i,八?=人与+伍.若阿卜；,

)

A.B.

C・仔臼D・怪&

【答案】D

【详解】根据条件知A,Bi,P,&构成一个矩形43/82,以A仅，4及所在直线为坐标轴建立直角坐标系,

如图.设|48八=〃，|4历|=4点。的坐标为（X,y）,则点P的坐标为（。，切，线（a,0）,员（0力）

(x-a)2=\-y

则

(y-b)2=\-x'

又由阙<-,^(x-a)2+(y-b^<-,M1-x2+1-y2<-,即/+)2>2.①

2444

X(x-«)2+y2=1,得V+y2+/=l+2atWl+〃2+X2,则V力；

同理由f+(y-b)2=1,得理KI,即有由+、2«2②.

由①②知(vf+y2K2,所以孝

而0+Jx?+)/,所以,<|04卜&.

故选：D.

例题4.（2023春•安徽六安•高一六安一中校考阶段练习