2025年自考线性代数经管类笔记重点解析

《线性代数（经管类）》考试笔记，重点解析

武汉大学出版社

第一章行列式

1.1行列式的定义

1.2行列式行（列）展开

1.3行列式的性质与计算

1.3克拉默法则

第二章矩阵

2.1线性方程组与矩阵的定义

2.2矩阵运算

2.3分阵的逆矩阵

2.4分块矩阵

2.5矩阵的初等变换与初等方阵

2.6矩阵的秩

2.7矩阵与线性方程组

第三章向量空间

3.1n维向量概念及其线性运算

3.2线性有关与线性无关

3.3向量组的秩

3.4向量空间

第四章线性方程组

4.1齐次线性方程组

4.2非齐次线性方程组

第五章特性值与特性向量

5.1特性值与特性向量

5.2方阵的相似变换

5.3向量内积和正交矩阵

5.4实对称矩阵的相似原则形

第六章实二次型

6.1实二次型及其原则形

6.2正这二次型和正定矩阵

第一部分行列式

本章概述

ax=b一次---►二次三次

高校

一元一►多元一次方程组

线性方程组

行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中均有

必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远不小于13%0

1.1行列式的定义

1.1.1二阶行列式与三阶行列式的定义

一、二元一次方程组和二阶行列式

例1.求二元一次方程组

P

anx1+a]2x2=bl(1)

的丙+々/々=%(2)

的解。

解：应用消元法得

（%1022一"21"12）再=4a22-

当为1«22一以21以12工°时。得

▼_如22-%12

兀L

以11422一以21以12

同理得

Y_，也一如自

西一

“11以22一《2m12

0n%

定义称&21为二阶行列式。称以1避22-以21%2为二阶行列式的值。

知

=7n%—%®

记为知

=以幻一以］②

匕2

于是

如瓦

二41也一«21自

以“

b2

工0

由此可知。若以210则二元一次方程组的解可表达为:

瓦。12

以22以21X

X1=

。21

3

=-12-10=-22

5

例2

二阶行列式的成果是一种数。我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式

考虑三元一次方程组

+白以与+生3马=瓦⑴

“21，1+“22=&?⑵

%]再+以弓=(3)

+a32x233A

但愿合适选择内卜4卜41。使得当。）41+⑵4n+⑶&后铲2,勺消去。

得一元一次方程

(a1i4i+«2i4i+与141)为=441+141+与/⑷

若“1141+%41+%1&=°,能解出

X]_-4i+，Mi+劣&

⑸

以1M1++以3141

其中4i，41，冯1要满足

^12Al+々2241+以32<31=°⑹

<

a13Al++a0A1=0⑺

为解出4i，4i，4i。在（6）,（7）的两边都除以41得

A

A1

4-

4

2N2

A141

4

1Ai

4-1

A+以337=一«13

A1A1

414]

这是认为工1141未知数的二元一次方程组。

322一@12也252

也S也S空S

令；1=1

如Ag2

AA=%253一出3铝2

即3A35

，此1=Mi=

依次为元素勺1，%1，。31的余子式；称

4=(-1严弧],&=(-1严％],&=

依次为元素的1，%】,七】的代数余子式。

知%匕%

定义三阶行列式

与1以22a【23=以iMi+%1&

和a32a33

4a12a

%以22町3

与%a勺3

演r一—

1]牝c方3

a

21a22c%

%1，

于是原方程组的解为心9

a

an瓦13的1a12瓦

a21月a2S的1%%

出1A的3的1432瓦

西一_,，心x-_9

anan%如anau

%心%«2】a22々23

类以地得如%的3。32a33

这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

123

口3=456

789

例3计算

56

解:原式=1X(-1)^+(-1/H

89

23Q23

+7•(-1产

8956

白**

06*

例4(1)00°

x2b0

⑵c00

+c(-if1'@=_@bc

00b0

x-142

-2Xx>0

A

例5当x取何值时，一21?

、—X-142

原式一一2xx

421

为将此成果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1.2阶行列式的定义

定义LL2当n时，一阶行列式就是一种数。当〃之2时，称

41412aix

aa

n21以22…2x

n••**

外1%2%

为n阶行列式。

定义为（其所在的位置可记为G，/））的余子式

aU…々T%+1…％

•・•・•・•・■••

••••・・

V11…ai-\j-\ai-\j+1ai-\n

M--=

Uaa

4+11…Mj-\彳+1/+1…Mn

•••・・・

•••・・・

••••・・

a

“出nj-\3+1…―

内的代数余子式'''V.

定义，1A1+«21$1+…+&X141为该n阶行列式的值。即

%

丐1%2

021a222n

=%141+。21々1+…+“加41

%〜2ann

轻易看出，第j列元素的余子式物?•和代数余子式4都与第』列元素无关；类似地，第i行元素的余子式圾/和

代数余子式4.都与第i行元素无关。n阶行列式为一种数。

13-12

1一53-4

021-1

-513-3

例6求出行列式第三列各元素的代数余子式。

313的余子式

Mis=/，二：=-70

-51-3

1+3

Ai3=(-l)M13=M13

_132

眦3=02-1=30

-51-3

A23=(-1)2+3^23=-30

41&…%

°为…知

例70°..〜(上三角行列式)

00…3ml

=an322・・,

1.2行列式按行（列）展开

定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）

D=kL

口=+以32臼2+…+々加Ax(i=1，2,.••,花)

或

。二以匕＜1;+以右4/+…+々皆&.（4=1，2,一.，%）»

例1下三角行列式=主对角线元素的乘积。

例2计算行列式

1021

2-110

D=

1003

-1021

D=(-1)刖2=(-1)(-1)弘22

121

103二一12&2+2用2]

-121

=-[2・(-1产，；卜2㈠严

=-(-8-2-2)=12

例3求n阶行列式

010

002

0«-1

«0

例3

原式=n・（-ir+】d-9

=(-1严n!

小结

a-M--A-

1.行列式中元素V的余子式"和代数余子式》的定义。

11TH12C

二%产22一02产12

a

2.二阶行列式的定义“2122

a--

3.阶行列式的定义。即=%4]+”汽]+...+，4]

4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的措施。

1.3行列式的性质及计算

1.3.1行列式的性质

给定行列式

ailai2a\n

「如«22…a2x

即1%2…〜

将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或

%%

Dr(Dr)=

性质1转置的行列式与原行列式相等。即

Dr=D

性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

0nau'­■alx

D=•一am=^141+（3i242

%1

"11"12…a\n

%/2…二啊1&+%2,2+…+修/4

an\an2….

—七（4]Aj]+q2'j2+…卜％4/=/

推仑1若行列式中某一行G）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推仑2若行列式中某一行（歹）的元素全为零，则行列式的值为。。

性质3行列式的两行（列）工换，行列式的值变化符号。

以二阶为例

出必12

=-0

推仑3若行列式某两行（列），完全相似，则行列式的值为零。

ailai2,

%%…,

D=[

aji叼…

证设ax2乙第i行与第j行元素完全相似，则

=D

因此，D=0o

性质4若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

勺1aYl…1au%2…"

••■••••

■",•**,•

%%…”%%…■

•

--•・:=k-,・:=0

他1叫•••包如…%

•.■■.■••

••••••••

%1%2…〜%%2…"

性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即

%%…%an%a]xan%%

=

瓦+4%+%…4+%h%…4+Ci\%…%

axl%…axx如疆…〜~%…%

只要看

左边=41+/)4+(%+%)4+..‘+(4+%)4

=(瓦+…+44)+(GMI+%4+…+74);右边

注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

1+23+0331320

如—=6,而=1,=2

1+24+1351421

1+23+01320

+

1+24+11421

可见

性质6把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变.

证

a

%〜-%。1】12…ah町a12…％

铲端%-%+为

4】a2"1%帆1kaR…叫

••.・—•+

旬知…时%a.—%°R；%

%…%%412-%虱4a…%

%]%

%a.

aa

4142

1.3.2行列式的计算

人们认识事物的基本措施是化未知为已知。

对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。

因此，我们计算行列式的基本措施是运用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。

1238

0255

06410

例1计算03615

例1解:

原式=l・Aii=Mn

在行列式计算中怎样造零是个重要技巧，重要是应用性质6。

-abacae

bd-cdde

例2计算bf

例2

原式=adf

阖秘bdf11

02

020

=abcdef(~1)=4abcdef

1021

2-110

1203

例3计算01

例3解1021

③+（T）①0-1-3-2-1-3-2

原式②"-2）①02-222-22

032321

②+2①

@+30-1

0=(-1)=-26

0

2141

3-121

5232

例4计算7025

例4解

1241

原式=一-1,321

①*2532

0725

1241

1-3-2-1

=81

2532

0725

3111

1311

1131

例5计算1113

例5解

6111

原式=

6311

613

51L3I

I6

+/I©

1111Qr1111

X+l0

Qr200

61311+^l9D

-6

1131o020

1X

X113D002

1+«111

11+a21工°)

例6计算111+生

措施1

方法1解

11+沏1

0包0

1l+a

00a33

盾li施2

l

-

a3

l

a-

3

11

-

+lT^

ll

1

asX

)als

"J-

11

al3

a

112

1la3

as

LI-I

k

as

K1o-

rJI

-o1J

rJ—

+a

+

扩展：计算

a100

-1i10

D=

0-1(71

00Td

例17解01+aba0

原式驾-11

b0=(-l)A21

0-1c1

00-1d

=(-l)(-l)2+1Mzi=M2i

1+aba。①+(i+ab)②0a+(l+ab)c1+ab

Tc1-1c1

0-1d0-1d

“a+(l+ab)c1+ab

=(-1)(-1产一

=ad+(l+ab)(1+cd)

00010

0--200

D=：：：：

9--000

例8计算00010

例8解0…01

0・••20

原式=10&o10:10・(-1严

9・・・00

100•••000

00

1⑨0(-if??=1OJ

二⑧

-⑦8,

©二

&⑥0009

旬

®-

=(-1)5

D=o

1CYL

00010

00--90

D=\\/\\

02-00

扩展：计算10…0°

例9计算n阶行列式

以80…00

0Z?---00

000…以8

800…0«

解按第一列展开，得2=Mi+力4=/+(—1严/

例10范德蒙行列式

A=二的一再；

xi

111

4=

例10解

②+Lx112-Xixs-xi

③+Lx】

0X2-X1X3-X1

1

=（9畤）（沟畤）

Xg伸］

=(冷-Xi)(xs-Xi)(X3-X2)

aa3

5b2b3

cc3

例11计算

例111a维

原式=abc1bb2

1Cc2

=abc(b-a)(c_a)(c-b)

a1ab

D=2aa+b2b=3-Bp

例12证明111

例12证明

abb2a2ab-a2b2-a2

左边=a+b2b②+(T)①2ab-a2(b-a；

11I③+(T)①100

ab-a2b2-a2aa+b

=1A31=(-if

b_a2(b-a)12

=(a-b)3

小结

1.精确论述行列式的性质:

2.应用行列式的性质计算行列式的措施

（1）低阶的数字行列式和简朴的文字行列式；

（2）各行元素之和为相似的值的状况

（3）有一行（列）只有一种或两个#零元的状况

1.4克拉默法则

这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数,n个方程的线性方程组。为此先简介下面的定理。

定理1.4.1对于n阶行列式

%a12…3

入“21°221°2同，行

an\an2…°腐

n⑺=14I，当2=耐

aA=

泊=旬生+i212+7Mn10当i.而

n力=|月|,多=时

乎的t=%外+°2加+…+与A戒='

0,

a.

I盟

a22…a2n

D=产*2&2

2=1

a1a、

证由定理1.2.1知nl力2,注意变化第二列的元素，并不变化第二列元

素的代数余子式

%以11

n

021a2\a2n

0=舌旬a2

i=i

aa

n\1m1类似地，可证明该定理的剩余部分。

定理1.4.2假如n个未知数，n个方程的线性方程组

%乃+42,+…+4同初

“21A1+°22力+…+°2同初=%

.%1r+%2，2+•.•+”海物=%

的系数行列式

41a12…a\n

aa…〜

口=2122#0

’划1a开2、

则方程组有惟一的解:

D

勺=标i6=1，2,…，公

证明从略

-5^2+4^2=4

例1.求解

1.4例1解

1-3-2-3

=

D25227=12622=189

2444

二方程组有唯一解

D]D2D?

x

x产丁=12=—=2x3=—=3

把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有

定理1.4.3假如n个未知数n个方程的齐次方程组

4产1+42力+.一+%理物=0

021Al+022,2+…+°2同乐=°

、%1毛+%2工2+―十°的物=0

的系数行列式D