第八章 统计和概率（解析版）公开课教学设计课件资料

第八章统计和概率

知识梳理

1.简单随机抽样

(1)简单随机抽样

分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机

抽样.

(2)简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

(3)简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

2.总体平均数与样本平均数

名称定义

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值

总体均值分别为匕，…，YN,则称7=

(总体

匕+力+…+%

平均数)N

如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它

样本均值

们的变量值分别为V，)*…，为，则秒y=

(样本

平均数)刀…+?为样本均值,又称样本平均数

说明：①在简单随机抽样中，我们常用样本平均数7去估计总体平均数斤

②总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)

③一般情况下，样本量越大，估计越准确

3.分层随机抽样

(1)分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个

子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在•起作为总样本，这样的抽样方法

称为分层照机抽样,每一个子总体称为层.

(2)分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和M抽取的样

本量分别为，〃和小第।层和第2层的样本平均数分别为7,样本平均数为苏，则疡=万%；+舁^

7二一±：++7.我们可以用样本平均数正估计总体平均数W.

4.统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.

(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

5.总体百分位数的估计

(1)第〃百分位数的定义

一般地，一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有心的数据小于或等于这个

值，且至少有(100—p)%的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组〃个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按丛捶区排列原始数据.

第2步，计算i=〃Xp%.

第3步，若，・不是整数，而大于，•的比邻整数为则第〃百分位数为第2项数据；若，是整数，则第〃

百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

6.样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.

(2)中位数：把〃个数据按大小顺序排列，处于量里回位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做

这组数据的中位数.

(3)平均数：把幼+.：…十出称为=S，…，。”这〃个数的平均数.

(4)标准差与方差：设一组数据汨，X2,沏，…，x”的平均数为三，则这组数据的标准差和方差分别是s

222

=^^[(X|-x)+(x2-X)H-----F(X„-x)],

Xy+(X2-x)2-1---F(Xn-X)2].

7.常用结论

(I)若XI，X2，X”的平均数为1，那么〃因+。，心2+〃，…，"凶+.的平均数为〃?+A.

(2)数据即，M，…，X”与数据x'i=xi+a,X2=%2+〃，…，N”=%+”的方差相等，即数据经

过平移后方差不变.

(3)若Xi，X2，…，X"的方差为』，那么的+〃，aX2-\-bt的+。的方差为。2/

7.样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用口表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Q表示.

②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果(01，M，…，助I，则称样本空间0=｛幼,(02,…，

3“｝为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间。的工集称为随机事件，简称事件.

②表示：大写字母A,B,C,….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

8.古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限仝.

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相笠.

9.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件4包含其中的4个样本点，则定

义事件A的概率P(A)=£=^.

其中，〃(A)和"Q)分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

10.概率的性质

性质1：对仔意的事件A.都有0<P(A)<1.

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(0)=O.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么RAU8)=产(A)+P(B).

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(8)=1—P(A),P(A)=\-P(B).

性质5：如果473,那么P(A)WP(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为。旦AGO,所以OWP(A)W1.

性质6：设A,4是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)—P(An8).

考点突破

考点一简单随机抽样

【例1】下列抽样方法是简单随机抽样的是()

A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验

B.“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的

C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性

D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑

【答案】D

【解析】选项A：错在“一次性”抽取；选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不

具备“等可能性”；选项C：错在总体容量是无限的.

归纳点拨

(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等

可能抽取.

(2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).

对点训练

I.用简单随机抽样的方法从含有1()个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体。“第

一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()

A-10,10]0,5

-13>33

C亍wD-To*To

【答案】A

【解析】第一次被抽到，显然为七；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可

9||

能性为小声而

考点二分层抽样

【例2】某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人,

其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱喜爱一般不喜欢

4800720064001600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出：00人进行更为详细的调查，为此要进行分

层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

【答案】D

【解析】解法一：因为抽样比为5s=志，

所以每类人中应抽选出的人数分别为4800X东=24,7200X+=36,6400X定=32,1600X击=8.故

选D.

解法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800：72(K)：6400：1600=6：9：8：2,所以每类人

中应抽选出的人数分别为6+9工+2、1°°=24,6+9工+2乂记°=36,市不乂100=32,用而

X100=8,故选D.

归纳点拨

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

(2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：

根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.

(3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为相，平均值为K第二层的样本量为〃，平均值为y,则

样本的平均值为二.

m-rn

对点训练

1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质

量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取

件.

【答案】18

【解析】应从丙种型号的产品中抽取60X诉工就言后诉=18(件).

ZvU।4UU十OUU।1vU

2.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20

名女生的平均成绩为分.

【答案】95

【解析】设所求平均成绩为；，由题意得50X92=30X90+20X；,.•.3=95.

考点三统计图表

【例3］已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和图②所示，为了解该小

区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主

对四居室满意的人数分别为(

A.240,18B.200,2()

C.240,20D.200,18

t答案】A

【解析】样本量〃=(250+l50+400)X30%=240,抽取的户主对四居室满意的人数为150X30%X40%

=18.

归纳点拨

(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.

(2)由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量.

对点训练

1.某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间

该“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下而的折线图.根据折线图，下列结论正确的

是()

°I2345678910II月份

A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳

【答案】D

【解析】由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3个月，比6月份低的有

123,4,578,共7个月，故6月份对应里程数不是中位数，因此A不正确；月跑步平均里程在1月到2月，

6月到7月，7月到8月，10月到11月都是减少的，故不是逐月增加，因此B不正确；月跑步平均里程高

峰期大致在9,10.11三个月，8月分是相对较低的，因此C不正确；从折线图来看，I月至5月的跑步平均

里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.

考点四频率分布直方图

【例4】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B

两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积

相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内禽子的百分比.根据试验数

据分别得到如下频率分布直方图：

频率/组距

a

a.30

a20

a15

a10

005

1.5253545556.575百分比

甲离子残留百分比仃方图

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中〃，〃的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

【解析】(1)由已知得0.70=。+0.20+0.15,故。=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2X0.15+3X0.20十4X0.30十5X0.20+6X0.10十7X0.05=

4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=

6.00.

归纳点拨

⑴谨记频率分布直方图的相关公式

①直方图中各小长方形的面积之和为1.

痂率频率

②直方图中纵轴表示薪，故每组样本的频率为组距X品，即矩形的面积.

③直方图中每组样本的频数为频率X总数.

(2)频率分布直方图中数字特征的计算

①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

③平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

对点训练

1.(多选)去年12月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢更开放的通知，规定低风

险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业.•批影院恢复开放后，统计

影院连续14天的相关数据得到如下的统计图表.其中，编号为I的日期是周一，票房指影院门票销售金额，

观影人次相当于门票销售数量.

由统计图表可以看出，连续14天内（）

A.周末口均的票房和观影人次低于北周木

B.影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升

C.观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同

D.每天的平均单场门票价格都高于20元

【答案】B

【解析】由题意，根据统计图表，可得：当编号为6,7,13,14时，影院门票销售金额分别为3022万元，

3238万元，3736万元，4842万元，观影人数分别为：121.5万人，132万人，140.2万人，177.8万人，票

房和观影人次高于非周末，所以A是错误的；根据统计图表，可得影院票房，第二周相对于第一周同期趋

于上升，所以B是正确的；根据统计图表，可得增长量分别为：5.1,5.8,3.5,45,45.6,10.5,所以观影人次在第

一周的统计中逐日增长量有明显差别，所以C不正确；由统计图表，可得第一周的第4天，每天的平均单

场门票价格为詈*公18.414（元）,所以D不正确.故选B.

2.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图［如图），但是

年龄组为［25,30）的数据不慎丢失，则依据此图可得：

（1）［25,30）年龄组对应小长方形的高为：

（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在［25,35）的人数为.

【答案】0.04（2）440

［解析］设［25,30）年龄组对应小长方形的高为h,则5X（0.01+〃+0.07+0.06+（）.（）2）=1,解得A=0.04.

则志愿者年龄在［25,35）的频率为5X（0.04+0.07）=0.55,故志愿者年龄在［25,35）的人数约为0.55X800=440.

考点五总体百分位数的估计

【例5】如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：C）的情况绘制的折线统计图，由图

可知这10天最低气温的第80百分位数是（）

温度

012345678910日期/日

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：-3,—2,-1,-1,0,0,122,2,

2+。

因为共有10个数据，所以10X80%=8,是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是==2.

归纳点拨

（1）计算一组n个数据第p百分位数的步骤

（2）频率分布直方图中第〃百分位数的计算

①确定要求的〃％分位数所在分组［A,B）.

②由频率分布表或频率分布直方图计算样本中小于4的频率为。，小于8的频率为6则〃％分位数=

A+组距义铲.

b-a

对点训练

1.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：

122,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的第75百分位数为__________,第86百分位数

为.

【答案】14.517

【解析】V75%X20=15,・••第75百分位数为"二"=145

V86%X20=17.2,；.第86百分位数为第18个数据17.

2.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出频率分布直方图

如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是.（结果保留两位小数）

【答案】124.44

【解析】由频率分布直方图可知.分数在120分以下的学生所占的比例为(001+0.()15+0.015+

0.03)X10X100%=70%,分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03+

0.0225)X10X100%=92.5%,因此，80%分位数一定位于［120,130)内.因为120+：黑X10F24.44,

所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.

考点六频率分布直方图的数字特征

【例6】某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过讪立方米的部分按4元/立方米收费，

超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水后数

据，整埋得到如卜.频率分布直方图：

(1)如果⑷为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，⑷至少定

为多少？

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当a，=3时，估计该市居民该月的人均水费.

【解析】(1)如题图所示，用水量在［().5,2)的频率的和为(0.2+0.3+0.4)X0.5=0.45,用水量在［0.5,3)的

频率的和为(0.2+0.3+0.4+0.5+03)X0.5=0.85.

J用水量小于等于2立方米的频率为0.45,用水量小于等于3立方米的频率为0.85,又比为整数，

，为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.

(2)当w=3时，该市居民该片的人均水费估计为

(0.1XI+0.15X1.5+0.2X2-0.25X2.5+0.15X3)X4+0.15X3X4+［0.05X(3.5-3)+0.05X(4-3)4-

0.05X(4.5-3)］X10=7.2+1.8+1.5=10.5(元).

即当训=3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元.

归纳点拨

频率分布直方图的数字特征

(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频型分布直方图

中，最高小长方形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

（3）平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.

对点训练

1.（多选）空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围

为[0,50],[51,100],[101,200],[201,300],[301,500],对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度

污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是（）

岩

卑

三

rw

六

A.从2日到5日空气质量越来越好

B.这14天中空气质量指数的极差为195

C.这14天中空气质量指数的中位数是103.5

D.这14天中空气质量指数为“良”的频率为能

【答案】BC

【解析】从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故A不对；这14天中空气质

量指数的极差为220—25=195,故B正确；14天空气质量指数由小到大排列，中间为86,121,故中位数为

的:21=]03.5,故C正确；14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，所以空气

质量指数为“良”的频率为三=多故D不对.故选BC.

2.某市质监部门严把食品质量关，在2022年3月15日前夕，根据质量管理考核指标对本地的500家

食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家企业，统计其考核成绩（单位：分）制成如图频率分

布直方图.

这50家食品生产企业考核成绩的平均数1=分.（同一组中的数据用该组区间的中点值代

替）

【答案】84.80

【解析】这50家食品生产企业考核成绩的平均数1=74X0.04+78X0.12+82X0.28+86X0.36+

90X0.10+94X0.06+98X0.04=84.80（分）.

考点七古典概型

[例7](1)从分别写有1,2,345,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字

之积是4的倍数的概率为()

(2)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A-3B-5

C.|D.1

【答案】(l)C(2)C

【解析】(1)无放回随机抽取2张的抽法有(1,2),(1,3),(1.4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

(26),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30种,其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),

?

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4),共12种，故所求概率为亍故选C.

(2)解法一：从6个位置中任选2个位置排2个0,其他44位置排4个1,共有Cr：|=15种排法；先

1()7

排4个1,再将2个。插空，共有Cg=10种插法，故所求概率?=方/故选C.

解法二：由题意知2个0相邻共有CaCg种排列方法，故所求概率。=1一窗3=1一得=].故选C.

归纳点拨

古典概型概率问题的应用技巧

(1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等

可能性.

(2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数〃和事件4中所含基本事件数n

(3)计算基本事件总数常用计数原理与排列组合计算，分清是排列还是组合问题，另外还有列举法、列

表法、树状图法等.

对点训练

I.“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、

礼、智”,董仲舒扩充为礼二、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排，则“仁”排在

第一位，且“智、信”相邻的概率为()

23

A-5B-10

C1D工

J510

【答案】D

【解析】“仁、义、礼、智、信”排成一排，有AW种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”

相邻的排法有A认:!种，故所求概率为券=志，故选D.

2.一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B,C,。三人随机坐到其他三个座位上，则

C与。相邻的概率为.

【答案】彳2

【解析】B,C,。三人随机坐到其他三个座位上，共有A§=6（种）等可能情况.

解法一："C与D相邻”的对立事件是“C与D不相邻”，血要使C与。不相邻，则8必坐在A的

对面，此时C与。的坐法共有2种情况.所以根据古典概型的概率计算公式可知C与。相邻的概率为联

_2

~y

解法二：C,。捆绑，有A乡种情况，再与3排序有A之种情况，共A*XA名=4（种）情况.所以C与。相

邻的概率为4丸某2

o5

跟踪训练

一、选择题

1.为了解某地区的“健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到

该地区老、中、青三个年龄段人员的“健步走”活动情况有较大差异，而男、女“健步走”活动情况差异

不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.抽签法抽样

B.按性别分层随机抽样

C.按年龄段分层随机抽样

D,利用随机数表抽样

【答案】C

【解析】根据分层随机抽样的特征知选C.

2.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从

该校学生中抽取样本量为〃的样本，其中高中生有24人，那么〃等于（）

A.12B.18C.24D.36

【答案】D

〃24

【解析】根据分层随机抽样方法知96（）；480=京=解得〃=36.

3.（2023•广东实验中学月考）某工厂生产的30个零件编号为01,02,…，19,30,现利用如下随机数表从

中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件

编号为（）

34570786360468960823234578890784421253312530073286

32211834297864540732524206443812234356773578905642

A.25B.23C.12D.07

【答案】C

【解析】从表中取到的有效数字依次为0704.08,23,12,则抽取的第5个零件编号为12.故选C.

4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成

原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

A.100,40B.100,20

C.200,40D.200,20

【答案】D

【解析】由图甲可知，学生总数为4500+3500+2000=10（X）0,故抽取的样本容量为10000X2%=200,

其中抽取的高中学生有200x］需=40（人）.由图乙可知，高中生近视率为50%,故抽取的高中生近视人

数为40X50%=20.故选D.

5.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学

生的数学核心素养水平，现以六大核心素养为指标对两人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，

每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下列叙述正确的是（）

H观想象

数学建慎数学运算

逻辑推理数据分析

数学抽象——甲

—乙

A.甲的数据分析素养优于乙

B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C.乙的六大核心素养中逻辑推理最差

D.乙的六大核心素养整体水平优于甲

【答案】D

【解析】依题意知，甲的数据分析素养的分值比乙低，因此选项A不正确；甲的数学是模素养与数

学抽象素养均为3分，因此甲的数学建模素养与数学抽象素养基本相当，因此选项B不正确；乙的数学运

算、数学建模、数学抽象素养均为4分，直观想象、数据分析、逻辑推理素养均为5分，因此选项C不正

确；甲的六大数学核心素养的得分由低到高依次为3,3,3,445,乙的六大数学核心素养的得分由低到高依次

为444,5,5,5,因此乙的六大核心素养整体水平优于甲，因此选项D正确.综上所述，故选D.

6.设一组样本数据％1X”的方差为0.01,则数据10即,10必…，10心的方差为()

A.0.01B.0.1C.ID.10

【答案】C

【解析】•・•样本数据为,X2.…，X”的方差为0.()1，，样本数据10X1.10X2,…，10.%的方差为l^xo.oi

=1,故选C.

7.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制订合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过

抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照。0.5),[0.5』)…，[4,4.5]分成9组,

制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是()

A.2.25吨B.2.24mt

C.2.06吨D.2.04吨

【答案】D

【解析】由频率分布直方图可知，月均用水量在10,0.5)的频率为0.08X0.5=0.04.同理，月均用水量

在忖.5,1),[1.5,2),12,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1一(0.04+

0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.D2)=2X0.5Xa,解得4=0.30,设中位数为x吨.因为前5组的频率之和

为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,所以

2Wx<2.5.由0.50X(x—2)=0.5—0.48,解得x=2.04.

8.某学校有男生400人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，现根据性别采用分层抽

样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.5小时，方差为1,女生每天睡眠时间的平均数

为7小时，方差为05则可估计该校全体学生每天睡眠时间的方差为()

A.0.45B.0.62C.0.7D.0.76

【答案】D

【解析】由题意得，该校全体学生每天睡眠时间的平均数的估计值为怒X7.5+黑X7=7.2(小时),

根据分层抽样的性质，可得该校全体学生每天睡眠时间的方差的估计值为忍X[l+(7.5—7.2月+儒;

11UUU

XQ.5+(7—7.2)2]=0.436+0.324=0.76.故选D.

9.已知数据KI，X2，…，即0.2的平均值为2,方差为I,则数据为，也，…，xio相对于原数据()

A.一样稳定B.变得稳定

C.变得不稳定D.稳定性不可以判断

【答案】C

【解析】数据41,也，…，用0,2的平均值为2,方差为1,故=[(k-2)2+(12—2)?HF(xio-2)2+(2

—2)2]=1,数据Xi.X),…，Xin的方差s2==[(xi-2)2+(加一2y+…+(xm-2)勺>1,故相对于原数据变得

不稳定，故选C.

10.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标

志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据

信息如下.

甲地：总体平均数为3,中位数为4；

乙地：总体平均数为1,总体方差大于0；

内地：总体平均数为2,总体方差为3；

丁地：中位数为2,众数为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是()

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】C

【解析】对于甲地，平均数与中位数，不能限制极端值的出现，因而可能会出现超过7人的情况，

所以甲地不符合要求；对于乙地，没有给出方差具体的大小，如果方差很大，有可能出现超过7人的情况，

所以乙地不符合要求；对于丁地，中位数为2,众数为3.中位数与众数不能限制极端值的大小，因而可能出

现超过7人的情况，所以丁地不符合要求：对于丙地，根据方差公式$2=言[(打一丫"+⑴一1)2+…+6。

—x)2].若出现大于7的数值加，则，=古[(加-2)2+(必一2)2+("-2)2]---F(xio-2)2]>3,与总体方差为3

矛盾，因而不会出现超过7人的情况.综上可知，丙地符合要求.故选C.

II.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是020.3,0.1,则该射手在一次射击中

不够8环的概率为()

A.0.9B.0.3

C.0.6D.0.4

【答案】D

【解析】由题意知不够8环的概率为1—(0.2+0.3+0.1)=04

12.从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数小从集合｛245｝中随机抽取一个数4则向量〃2=3,与与向量

〃=(2,-1)垂直的概率为()

1B2

八A.9n-9

【答案】B

【解析】从集合｛124｝中随机抽取一个数4,从集合｛245｝中随机抽取一个数,则向量小=5，b)

的可能情况有(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(4,2),(4,4),(4,5),共9个.若〃2=3,协与〃=(2,

2

一1)垂直，则2〃一〃=0,即匕=2否则(1,2),(2,4)符合条件，配以所求概率故选B.

13.四名数学老师相约到定点医院接种新冠疫苗，若他们一起登记后，等待电脑系统随机叫号进入接

种室，则甲不被第一个叫到，且乙、丙被相邻叫到的概率为()

【答案】D

【解析】四名教师总的进入接种室的顺序有用=24种，则：①甲第二个被叫到，且乙、丙被相邻

叫到的方法数有A*=2种；②甲第三个被叫到，且乙、丙被相邻叫到的方法数有A9=2种；③甲第四个被

叫到，且乙、丙被相邻叫到的方法数有2A3=4种，所以“甲不被第一个叫到，且乙、丙被相邻叫到”的

2+2+4I

概率为24=亍故选D.

14.在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果

一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为()

【答案】B

【解析】一次随机取出2人球，样本点总数为以=15,至少有1个红球包含的样本点个数为C1C1+

o3

C—9,所以至少有1个红球的概率2=怖=]

15.根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等4位专家对3个县区进行

调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为()

A.1B.1

C,3D,2

【答案】A

【解析】甲、乙等4位专家分到3个县区，每个县区至少派一位专家，等可能的情况共有气抖A,

=36(种)，其中甲、乙两位专家派遣至同一县区等可能的情况有甯Ag=6(种)，所以甲、乙两位专家派遣

至同一县区的概率故选A.

16.某市质监部门严把食品质量关，在2022年3月15日前夕，根据质量管理考核指标对本地的500

家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家企业，统计其考核成绩(单位：分)制成如图频率

分布直方图.

则这50家食品生产企业考核成绩的平均数x=()

(其中，同一组中的数据用该组区间的中点值代替)

A.84.80B.84.90

C.83.80D.83.90

【答案】A

【解析】这50家食品生产企业考核成绩的平均数工=74X0.04+78X0.12+82X0.28+86X0.36+

90X0.10+94X0.06+98X0.04=84.80（分）.

二、解答题

17.某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表

所示：

人数管理技术开发营轮生产共计

老年40404080200

中年80120160240600

青年401602807201200

共计16032048010402000

(I)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？

(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？

(3)若要抽20人调查对卡塔尔世界杯举办情况的了解，则应怎样抽样？

【解析】(1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，抽取比例为湍5=点.故老年人、中年人、青

年人各抽取4人，12人，24人.

(2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，抽取比例为2血5=点1，

故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人.

(3)用系统抽样.

对全部2000人随机编号，号码从0001〜2000,每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一

个号码，然后将这个号码分别加100,200,…，1900,共20人组成一个样本.

18.某城市实现了市区5G信号全覆盖，为了检查网络的质量，测试人员在市区随机选取了100个地点，

测试这些地点处5G网络的平均速度(单位：Mbps),测试结果整理成频数分布表如卜.：

平