二次函数与一元二次方程重难点专项练习（六大题型）

22.2《二次函数与一元二次方程》

分层练习

基础练

考查题型一利用函数图象确定不等式的解集

1.（2023•山东济宁•统考一模）如图是二次函数必=。/+队+。和一次函数为=，址+〃的图像，观察图像写

A.x>0B.0<x<lC.-2<x<lD.x<l

【答案】C

【分析】根据图像解答即可.

【详解】解：由图象可.知，当％之乂时，x的取值范围

故选C.

【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键.

2.12023春•四川内江•九年级校考阶段练习）抛物线尸cM+bx+c的部分图象如图所示，则当了>0时，x的

取值范围是（）

【答案】C

【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与X轴的另一个交点坐标为（3,0）,然后结合二次函数图象，”出

抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】解：,•・抛物线与x轴的一个交点坐标为（7,0），对称轴是直线x=l,

.,・抛物线与％轴的另一个交点坐标为（3,0）,

;抛物线开口向下，

.,.当-l<x<3时，y>0.

故选:C.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数》=U/+&+《《”。是常数，aw。）与x轴的交点

坐标问题转化为解关于x的•元二次方程.也考查了二次函数的性质以及图象法解•元二次方程.

3.（2022秋•安徽蚌埠•九年级校考期末）如图，由二次函数y=a/+6+c的图象可知，不等式/+队+c>0

的解集是（）

A.-6<x<2B.x>2C.x<-6或x>2D.x<-6

【答案】A

【分析】由求不等式/+云+0。的解集即求二次函数尸以2+HC•的图象在x轴上方时x的取值范围，再

结合图象即可得出答案.

【详解】解：•••求不等式ad+bx+c>0的解集即求二次函数y=依2+人+。的图象在戈轴上方时x的取值范围,

乂；当-6cx<2时，二次函数》=0?+狂。的图象在x轴上方，

.,.不等式ax'++c>（）的解集为-6<x<2.

故选：A.

【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式.利用数形结合的思想是解题关键.

4.（2022•辽宁葫芦岛•统考二模）图示为抛物线》=纨2+队+c的一部分，其对称轴为直线x=2,若其与x轴

的一交点为8（6,0）,则由图象可知，不等式a/+bx+c>0的解集是（）

A.x>6B.0<x<6C.-2<x<6D.x<-2"kx>6

【答案】D

【分析】由抛物线与x轴的一个交点（6,0）和对称轴x=2可以确定另一交点坐标为（2,0）,乂_7=4/+队+。

>。时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围.

【详解】解：•・•抛物线与x轴的一个交点（6,0）

而对称轴x=2

・••抛物线与x轴的另一交点（-2,0）

当y=a/+6x+c>0时，图象在x轴上方

此时xV-2或x>6

故选D

【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与工轴的交点，然后由图象

找出当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法.

考查题型二利用不等式求自变量或函数值的范围

1.（2023・湖南岳阳•统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线G：y=2/-（m+l）x+机绕原点旋转180。后

得到抛物线G，在抛物线G上，当戈<1时，V随X的增大而增大，则”的取值范围是（）

A.m>5B.m<5C.m>-5D.m<I-5

【答案】D

【分析】根据题意先求得旋转后的抛物线的解析式，然后确定旋转后的抛物线的开口方向和对称轴，最后

根据在旋转后的抛物线上，当X<1时，V随X的增大而增大，可得到关于〃?的不等式，从而求解得〃，的取

值范围.

2

【详解】•・•由题意得旋转后的抛物线G的解析式为：y=-2x-（m+\）X-m,

，抛物线C,的开口向下，对称轴为直线工=一4，

4

•・•在抛物线G上，当工<1时，v随x的增大而增大,

••可得：一一

4

解得：〃区-5,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及函数图象的变换，确定旋转后的函数解析式是解题的关键.

2.（2023•福建福州•福建省福州杨桥中学校考模拟预测）点力（〃?-1,苗），4（〃?,必）都在抛物线》=（》-1）2+〃

上.若必<必，则川的取值范围为（）

33

A.m>2B.m>—C.m<1D.-<m<2

22

【答案】B

【分析】根据必<必列出关于加的不等式即可解得答案.

【详解】解：•・•点力（〃?-1，y）,8（%为）都在二次函数y=a-lf+〃的图象上，

y]=（m-1-1）“+〃=（tn-2J+〃»

2

y2=（rn-l）+n»

,：为<必，

/.im-2）-+n<（m-1）-+n,

A（W-2）2-（W-1）2<0,

即-2m+3<0,

3

・••阳>5，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于加的不等式.

3.（2023•江苏镇江•校联考一模）在二次函数尸V-4x+c图像上的两点力&加）、以/+4,〃），若〃?<〃，

则/的取值范围是（）

A.t>2B./>0C.0</<2D.t<2

【答案】B

【分析】将令（5）、5（f+4,〃）代入二次函数y=f-4x+c求解即可.

【详解】将』&〃?）、8（f+4,〃）代入二次函数y=）-4x+c,

2

/.ffj=t-4/+c>zz=(r+4)--4(r+4)+c,

,:m<n,

：.t2-4t+c<（t+4）~-4（t+4yc,

故选:B.

【点睛】本题考查了二次函数与不等式.

4.（2022秋・浙江温州•九年级统考期末）二次函数），=纨2+瓜+（;的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y

的取值范围是（）

A.VB.p<2C.v<2D.y<3

4'

【答案】A

【分析】根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即V的最大值，进而即可求得答案

【详解】解：•・•二次函数y=ax2+5x+c图象的对称轴为x，与V轴的交点为，（0,2）与x轴的一个交点为

（2，。），

・•・另一交点为（一1,0）

设抛物线解析式为y=a（x+l）（."2）,将点（0,2）代入得

2=-2a

解得。=-1

二•抛物线解析式为y=-（x+l）（A2）=r2+x+2=/x」［+2

则顶点坐标为d

9

.•.当x>0时，函数值y的取值范围是

故选A

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键.

考查题型三根据交点确定不等式的解集

1.（2023•云南昆明•统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线歹+瓜（。>0）和直线》二区（々>0）交

于点。和点A»则不等式or?+bx</cx的解集为.

【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案.

【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3,

当0<x<3时，直线在抛物线上方，

，不等式〃.，+取<去的解集为0<x<3,

故答案为：0<x<3.

【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.

2.（2023・吉林长春•校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，物物线必=口-一2内（。>0）和直线

必=去住>0）交于点。和点A.若点A的横坐标是3,则-米+24〉公2一2迎的解集为.

【答案】-1<X<2/2>X>-1

［分析］根据题意可得x=3是方程a?_2G二b的一个解，据此求出k=a,则不等式-kx+2k>a^-2or可

以化简为/一工一2<0,由此求解即可.

【详解】解：•・•抛物线%=以2-2⑪(。>())和直线％=米(4>0：|交广点O和点A,点A的横坐标是3,

・二I=3是方程or2-2ax=kx1勺一个解，

/.9。-6〃=3A,

:•k=a，

-kx+2k>ax2-lax即为-ax+2a>ax2-lax，

:.ax2-ax-2a<0

•・•抛物线开口向上，

<7>0,

x2-x-2<0>即(x+l)(x-2)<0,

-1<x<2,

故答案为：-l<x<2.

【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，正确推出％=4是解题的关键.

3.(2023•广西梧州•统考一模)如图，直线)，二履+刀与抛物线y=a/+bx+c交于力(-2,〃)阳6.〃)两点，则

关于x的不等式h<ax2^(b-k)x+c的解集是.

【答案】-2<x<6

【分析】根据题意得出当履+。<〃2+以+«.时，则/?<仆2+。-土)工+。,进而结合函数图象得出x的取值范

围.

【详解】解：根据题意得出当依+。<3+瓜+c时，则力<ar，(b-k)x+c,

则从图象看，关于x的不等式力<+(6-k)x+c的解集为-2<x<6,

故答案为：-2<x<6.

【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力.

4.(2022秋•河南信阳•九年级校考阶段练习)如图，一次函数,=依+〃/工0)与二次函数

%=ad+bx+c(a。0)的图象相交于力(-1,5)、8(9,2)两点,则关于》的不等式kx+〃>ax2+bx+c的解集

为.

【答案】-14x49

【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可.

【详解】解：由图象可知，关于x的不等式h+〃2ar2+bx+c的解集为-1WXW9,

故答案为：-l<x<9.

【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟

练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小.

考查题型四抛物线与X轴的交点问题

1.已知二次函数y=/-2x-5,其与x轴有个交点.

【答案】2/两

【分析】二次函数)，=/一2工-5的图象与工轴交点个数只需要判断方程V—2》-5=0根的情况，也就是判

断A=万-4ac即可.

【详解】当八。时，/一2.”5=0

VA=Z>2-4«c=(-2)2-4xlx(-5)=24>0

.••方程/-2X-5=0有两个不相等的实数根

，二次函数y=/—2x-5与x轴有两个交点

故答案为：2

【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程得关系，二次函数与x轴交点问题转换成求A=〃-4"是解题

的关键.

2.(2023•江苏镇江•统考二模)二次函数^=〃二一2工+1的图像与x轴只有一个交点，则加=

【答案】1

【分析】根据二次函数歹=〃7一2x+l的图像与x轴只有一个交点，得△=(-2/-4仆1=(),求解即可.

【详解】解：•・•二次函数^二〃a2一2'+1的图像与x轴只有一个交点，

:.A=(-2)'-4mx1=0.即4-4/r=0,

解得：/〃=1

故答案为：1.

【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，熟练掌握“二次函数与X轴有两个交点，则A>0；二次函数与

x轴只有一个交点，则△=();二次函数与彳轴无交点，则△<()'’是解题的关键.

3.：2023•山东青岛•统考三模)已知关于x的函数卜=(加+6)/+2(〃一1).丫+〃?+1的图象与％轴有交点，则机

的取值范围是.

【答案】w<

【分析】由于函数是二次函数还是一次函数不能确定，故应分类讨论，即当m+6=0时，此函数是一次函数,

由一次函数的性质可知函数图象与x轴有交点：当机+6工()时，根据△的取值范围即可判断.

【详解】解：当机+6=0,即〃?=-6时，此函数可化为，=-14l-5,此函数为一次函数与x轴必有交点；

当m+6H0,即加工一6时，A=4|w-l)~-4(w+6)(w+l)=-20-36/〃>0,

解得小W-g且mw-6,综上所述，机的取值范围是加4-

故答案为：

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及一次函数的性质，解答此题时一定要分函数是一次函数

与二次函数两种情况讨论.

4.(2023•山东淄博•校考二模)若函数丁=(〃?+1)/-3*+2的图象与x轴只有一个交点，则〃?的值为.

【答案】T或)

O

【分析】根据机+1=0和机+1工0两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答.

【详解】解：当机+1=0,即州=7时，函数解析式为：y=-3x+2是一次函数，图象与X轴有且只有一个

交点，

当〃?+1工0即mw-l时，函数为二次函数，

•・•函数)，=W+l)x2-3x+2的图象与x轴有且只有一个交点，

・・・。+1）炉一3工+2=0有1个实数根,

AA=9-8（w+l）=0,

解得〃包.

o

故答案为：T或:.

O

【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及二次函数与X轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的

关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

考查题型五求抛物线与X粕的交点坐标

1.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨德强学校校考一模）抛物线y=2（x-3）2-4与x轴交点坐标为.

【答案】（3+后,0）,（3-6,0）

【分析】令P=0,求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标.

【详解】解：令y=。，BP0=2（X-3）2-4,

解得$=3+五,x1=3-姓,

则抛物线与x轴的交点坐标为（3+右,0）,（3-60）,

故答案为：（3+©0）,（3-6,0）.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题

的关键.

2.（2022秋•广东肇庆•九年级校考期中）抛物线y=--3x-4与x轴的交点坐标为.

【答案】（-1,0）或（4Q）

【分析】把y=。代入y=/一3工一4,即可求出与;v轴的交点坐标.

【详解】解：令，=。代入y=/一3工一4,

得0=X2-3X-4

解得演=4,x2=-1,

所以抛物线与x轴的交点坐标为（7,0）或（4,0）,

故答案为：（-L0）或（4Q）.

【点睛】本题是对二次函数与坐标轴交点的考查，令y=0,可求抛物线与x轴的交点坐标，掌握交点的求

法是解题关键.

3.12023秋•河南信阳•九年级统考期末）二次函数歹二9-4工+3的图象与直线y=7的交点坐标是

【答案】（2,-1）

【分析】联立两个函数解析式求解即可.

【详解】解：由题意，得

y=x2-4x+3

x=2

解得一

卜=-1

・••次函数—4%+3的图象与直线y=T的交点坐标是⑵-1）.

故答案为：（2,7）.

【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键.

4.（2023•山东枣庄•校考模拟预测）二次函数产-#+女+肉的图象交工轴于点儿B.则点4E的距离

JJ

为.

【答案】10

【分析】令y=0,可得方程-#+2x+?=o,解方程即可求解.

【详解】解：令y=。，则一:r+2x+?=0,

解得玉=-2,X2=8,

.・・彳（-2,0）,3（8,0）,

:.”=8-（-2）=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键.

考查题型六求X轴与抛物线的截线长

1.（2023秋•浙江金华•九年级统考期末）已知抛物线、=-2/+八+。经过点4（-2,4）和点8（1,-2）,

⑴求这个抛物线的解析式及顶点坐标.

⑵求抛物线与x轴两个交点之间的距离.

【答案】⑴歹=一2/一4工+4,（-L6）

(2)2x/3

【分析】(1)利用待定系数法求;H抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；

(2)令y=0,可得—2/-4工+4=0,即可求解.

【详解】(1)解：把点4(-2,4)和点5(1,-2)代入得:

-2X(-2)2-2/>+C=4

-2x12+b+c=—2

b=-4

解得：/,

c=4

・••这个抛物线的解析式为y=-2xJ4x+4,

Vy=-2x2-4x+4=-2(x+1)2+6,

・•・这个抛物线的顶点坐标为(T.6)；

⑵解：当y=。时，-2x2-4x+4=0,

解得：X|=-1+5/3,x2=-1—5/3»

工抛物线与x轴两个交点坐标为(-1+百,o),(-1-6,0)，

・••抛物线与x轴两个交点之间的距离为(-1+百)-(-1-6)=25.

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的

解析式是解题的关键.

2.(2022秋•山东德州•九年级统考期中)抛物线y=-r+l与x轴交于力、B两点、(4在4的右侧)，与y轴

交于点C.

⑴求线段48的长；

(2)判断-18c的形状.

【答案】⑴2

(2)等腰直角三角形

【分析】(1)根据题意，可以求出点A和点4的坐标，从而可以得到力3的长；

(2)先求出点。的坐标，再根据勾股定理可以得到力。和BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断“BC

的形状.

【详解】（1）解：•••抛物线y=—f+i,

"iy=O时，x=±l,

;抛物线y=-/+l与％轴交于A、8两点（/在8的右侧），

点A的坐标为（1,0），点B的坐标为（-1,0）,

48=1-（-1）=1+1=2,

即线段48的长为2；

（2）•••抛物线y=—/+l,

，当x=0时，y=1,

•••抛物线y=—x?+i与y轴交于点。，

.••点C的坐标为（0,1）,

又•••点A的坐标为（1,0），点B的坐标为（7,0）,

AB=2,,C=J『+12,BC=6+12=6，

r.AC2+BC2=AB2,AC=BC,

.•.△48C是等腰直角三角形.

【点睛】本题考杳抛物线与x轴的交点、一次函数的性垢、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键

是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理的逆定理解答.

3.（2022秋•广东东莞•九年级校考阶段练习）已知抛物线歹=/一2丫-3.

⑴求出它的顶点坐标和对称轴；

⑵若抛物线与x轴的两个交点为/、B,求线段48的长.

【答案】（1）0，4）,对称轴为x=l

⑵4

【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解.；

（2）令y=0,解方程得交点坐标，进而即可求解.

【详解】（1）解：y=x~-2x-3=（X-1）2-4

・•・顶点坐标为(1，4)；对称轴为41；

(2)解：令y=0,BPX2-2X-3=0,

解得菁=3%=7，

・•・”的长为3-(-1)=4.

【点睛】本题考杳了二次函数的性质，抛物线与工轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键.

4.(2022秋•安徽蚌埠•九年级校考阶段练习)已知二次函数y=2x24x6.

(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B,且它的顶点为点P,求4ABP的面积.

【答案】(1)见解析；(2)16.

【分析】(1)根据b24ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x?4x6的图象与x轴交点的个数；

(2)先求出抛物线y=2x，4xG与x釉的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据二角形的面积公

式即可得出结论.

【详解】(1)证明：△=t/4ac

=(4)"2x(6)

=64

*/A>0.

，该抛物线一定与x轴有两个交点.

(2)当y=0时得:2x24x6=0

解得:xx=l,x^=3

即A(1,0),B(3,0),

AAB=4,

Vy=2x24x6=2(x22x)6=2(xl)28

AP(1,8)

AAABP的面积・卜J=gx4x8=16

【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，当4

>0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=()时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△<(),抛物线与x

轴没有交点.

提升练

1.（2023・山西大同•校联考三模）综合与探究：如图，抛物线y=彳.6与x轴交于4,8两点（点/

在点8的左侧），与y轴交于点G点。是抛物线上一个动点，设点。的横坐标为阴（1＜加＜4）,连接

备用图

⑴求儿B,。三点的坐标；

（2）当△8CQ的面积等于“OC的面积的?时，求吠的值：

（3）在（2）的条件下，若点仍是X轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点例，使

得以点儿。，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴力（-2,0）,3（4,0）,C（O,-6）

（2）3

（3）存在,（8,0）或（0,0）或（＞/闻0）或（_/40）

【分析】（1）令＞=0和x=0求解即可；

339

（2）过点。作。交EO的延长线于凡首先求出28e=zS“w=Wx6=5,求出直线8c的函数表

达式为：y=^x-6,得到Q,然后根据5、8c=SA6G+5加；列方程求解

2142J\2

即可;

（3）首先得到0（3,一2），然后设M&0）,然后根据题意分3种情况讨论：80是平

行四边形友的边，4。是平行四边形BONN的边，80是平行四边形8M）M的对角线，分别根据平行

四边形的性质列方程求解即可.

【详解】（1）由y=o,得92_3_6=（）.

解，得马=-2,x2=4.

・••点4,8的坐标分别为力（一2,0）,5（4,0）,

由x=0,得尸-6.

・••点。的坐标为。（0,-6）.

（2）如图，过点。作。E_Lx轴于七，交BC于G,

过点。作Cr_LEZ）交ED的延长线于F.

•・•点力的坐标为（-2,0）,点C的坐标为（0,-6）.

0A=2,OC=6.

SA/iv/c=-2OA-OC=—2x2x6=6.

.339

••S,.BCD=区SJDG=W*6=5.

•点夕的坐标为（4,0）,点。的坐标为（0,-6）,

4k+b=0k=—

设直线8c的函数表达式为9=履+"则，匚.解得2

…[/,=-€

・・•直线8c的函数表达式为：y=；x-6.

,・,点D的横坐标为机（1＜加＜4）,

，33、（3

，点。的坐标为/明]〃/一”一6，点G的坐标为：

I，Z/I」

3(3,3)3

，GD=—T?Z—6——m~—ni—6=—nr+3m,CF—m,BE=4—m.

2U2J4

•*,S4BCD=S&CDG+SGBDG=QDG-CF+—DG-BE

=；DG(CF+BE)

1/32、

zzz+3m(m+4-m)

324

=——m~+oni

2

解得：/叫=1（不合题意舍去），川2=3,

m的值为3.

?，15

（3）将机=3代入），=一犬—x-6=-----

424

・•.D（3,制，

设M&0）,N（吟/一1一6）,

•••8（4,0）,

，如图所示，当BD是平行四边形8DWN的边时,

・•・由平行四边形的性质可得,

3+〃=4+，/=V14/=-V14

1533〃八八，解得或

---+一，广2—n-6=0+0«=1+V14zz=l-x/14

442

••・点M的坐标为(V14,0)或(-V14,0)；

当BD是平行I四边形BDNM的边时,

・•・由平行四边形的性质可得，

4+〃=3+f(__j_3

,323，八15八，解得｛:二或:二(不合题意，应舍去)

一〃~——〃-6+0=---+0r=0/=4

〔4241

・••点M的坐标为(0,0)；

如图所示，当8。是平行四边形8VDW的对角线时，

3+4=/+〃1r.

n=-\72=3

c15八3,3」解得，0或〈d(不合题意，应舍去)

0---=0+-w——n-6/=8/=4

1442

・••点”的坐标为(8,0)；

综上所述，点M的坐标为(8,0)或(0,0)或(加,0)或.

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四

边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解

题的关键.

2.（2023・湖北武汉•统考模拟预测）抛物线），=-丁-2*+3交工轴于48两点（点4在点8的左边），交y

轴于点C.

（图1）（图2）

⑴直接写出点力，B,C的坐标；

（2）如图1,连接力C,BC,点夕在抛物线上，RZPCA=ZBCOf求点Q的坐标；

⑶如图2,直线/：y=Ax（〃<0）与抛物线交于点E,产（点E在点尸的左边），与抛物线的对称轴交于点M

直线y=f（f>0）交直线/于点M（点M在点E的左边），使器=怨恒成立，求/的值.

MNNF

【答案】⑴力（-3,0）,8（1,0）,C（O,3）

⑵（-4,-5）或卜5a

（3H

【分析】（1）分别把x=0、y=o代入解析式求解即可；

（2）①如图（1）,当2点在第三象限时记为过点4作交PCfO点，过D点作DE上AB,

证明ABEQ泌CO8,可得OE=BO=1,BE=OC=3,从而可得。（-2,-1）,利用待定系数法求得直线C。的

解析式为，=2x+3,再联立抛物线，可得-——2X+3=2X+3,进行求解即可；②如图（2）,当P点在第

二象限时记为吕，在。力上取一点凡使得09=08=1,

过点尸作/GJ.R7,且FG=FC,过点G作G〃_L4O,连接CG,证明△/GHmCFO,可得GH=O尸=1,

FH=OC=3,从而可得G（-4,l）,利用待定系数法求得直线CG的解析式为歹=；x+3,再联立抛物线，可

得—2_2x+3=9+3,再进行求解即可；

2

（3）如图，直线y=f交对称轴于“，过点E作£7_1河〃于点兀EP^LHN于点P,过F作FG工HN于点、

G，根据平行线段成比例可得黑=黑，装号,由黑=管，可得需=祟，求得从

MNMHNFFGMNNFMHFGyk）

而可得二^4二上乎整理得XFXF-；（XF+XF）=1+M，再联立方程组得x2+[2+k）x-3=0,可得

_1.£必+1kk

k

4+工尸=一（2+左），m中尸=一3,再代入求解即可.

【详解】（1）解：•・•抛物线尸T-2x+3交,轴于点C,

•••当k—0时，y-3,

AC（0,3）,

•••抛物线一2x+3交x轴于小8两点（点力在点8的左边），

・••当y=0时，一乂2—2x+3=0解得：芭=-3,x2=1,

・•・/（—3,0）,8（1,0）.

（2）解：①如图（1）,当尸点在第三象限时记为过点4作次）18。交尸C于。点，过。点作QE人45,

•・・。/=0。=3,

ZACO=45°,

•:/P\CA=/BCO,

・•・/BCD=45。,

,,,NCBD=90。,

・•・NBDC=45。=/BCD,

・•・BC=BD,

,/AEBD+ZCBO=90P,4CBO+ZBCO=90°,

J£EBD=NBCO,

〈2DEB=2B0C=90。，

UEDSB,

:・DE=BO=1,BE=OC=3,

・•・/）点坐标为（一2,-1）,

设直线CO的解析式为》=6+3（〃工0）,

将。（一2,-1）代入得，k=2,

，直线CD的解析式为y=2x+3,

联立抛物线，得：一九2_2.丫+3=2\+3,解得：*=0（舍），与二一4,

，[点坐标为（-4,-5）；

②如图（2）,当P点在第二象限时记为£,在。力上取一点凡使得。r=。占=1,

过点尸作尸G1尸C,且FG=FC，过点G作GHJL4O,连接CG,

♦:FC-FG、且77G_LR,

ZFCG=45°,

'：OB=OF,且。。J,F8,

CF=CB,

，£OCB=NOCF,

*/NFCG=NOCA=45°,

/.£GCA=NFCO=NBCO,

£GFH+zero=9（r=Z.CFO+NOCF,

/.£GFH=40CF,

tGHF=Z.COF=90°,FG=FC,

，AFGHm1cFO,

：.GH=OF=\,FH=OC=3,

・・・G点坐标为（Tl）,

设直线CG的解析式为y=A+31尸0）,

将G点坐标为（T1）代入，可得：勺=：,

，直线CG的解析式为y=夫+3,

联立抛物线，得：―一―2x+3=5工+3,解得：X]=0（舍），x;=-,

_5_7]

即:6点坐标为

EPtHN于点P,过F作FGLHN

-EMMTENEP

于占G,n则il---=----,——=——

.......MNMHNFFG

..EM_EN

・加一赤’

.MT_EP

••而一方’

♦・•直线'=小>0)交直线歹=去(〃<0)于点忆

•・•对称轴k—1,

It

加与-7（&+与）=1+7

•••联江方程组得：一/一2》+3=京，即f+（2+%）x-3=0,

AxE+xF=-（2+Zr）,xE-xF=-3,

.・.一3一：（一2—%）=1+：,解得：f=4.

KK

【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、

解一元二次方程、平行线分线段成比例定理、一次函数与二次函数交点、一元二次方程的系数与根的关系,

熟练掌握相关知识是解题的关键.

1

3.（2023・四川南充•四川省南充高级中学校考二模）如图，抛物线y=^x-bx+c与x轴交于掰-1,0）,

例4,0）两点，与轴交于点。，点P是抛物线上一动点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点P在直线8C下方运动，且满足/尸。8=2/44。时，求点P的坐标；

⑶设的面积为S,当S为某值时，满足条件的点。有且只有三个，不妨设为6，鸟，鸟，求△片勺4的

面积.

【答案】⑴/产一夕-2

⑵P的坐标为（2,-3）

⑶12月

【分析1（1）待定系数法求解析式：

（2）作C关于1轴的对称点C',连接BC',根据C,C'关于4轴对称，则NC6C=24BC,结合已知条

件得出NPC4=NCBC,得出C尸〃8C',求得直线5c的解析式为y=—；x+2,直线CP解析式为

y=~x-2,联立抛物线解析式，进而即可求解.

（3）过点尸作轴交直线8C于点〃，过[作P%_Lx轴交「沙，求得直线8c解析式为y=gx-2,

设户（〃?,；1刖213/〃-2）,贝1]“（"〃；〃?一2，当P在BC卜.方时，夕〃=（；1桃-2-％7吁212c

—m+2〃?

222)U22

।3/1।

此时小2,-3),当P在8c上方时，PH-2J=-/n2-2m,得出

6（2行+2,6+3），4（—S+2,d+W，进而求得直线44解析式为y=；x+2,得出K（2,3）.则甲胃=6,

进而根据三角形面枳公式即可求解.

【详解】（1）解:把4T0）,8（4,0）代入”白？-云+c得:

,

—+/?+C=0

,2,

8-4/）+c=0

b=-

解得2,

c=-2

Ii

・•・抛物线的解析式为y=^2-1x-2；

（2）作C关于x轴的对称点C',连接8U,如图：

/.C(0,-2),

vC,。'关于x轴对称，

.••。(0、2),NCBC'=2ZABC,

•••NPCB=24ABC,

ZPCB=/CBC',

:.CP〃BC、

由8(4,0),Cr(0.2)

设直线BC的解析式为y=kiX+2,

则0=%+2,

解得:4=_；，

・•・直线6C'的解析式为》=-1x+2,

设直线。尸解析式为y=-；x+》，把。（（），-2）代入得:

b=-2,

二.直线C?解析式为y=-gx-2,

尸;x-2

联立|7得：

y=-d—x-2

I22

x=0[x=2

"或"，

"的坐标为（2,-3）；

（3）过点P作轴交直线BC于点〃，过<作尸匹_Lx轴交打与「沙，如图:

由8(4,0),C(0,-2)

设直线BC的解析式为》=k2x-2,

则0=4七-2

解得：心

・・・直线5c解析式为y=；x-2

w2—/«-2j,则Hyn,-rn-2j

当P在6c下方时，P"=（；/〃一2）-（；加2-2=-;〃J+2〃i,

/.5=—x-—/7z2+2wx4=-w?2+4m=~