电场力的性质（培优资料）

电场力的性质重难点1、电荷均匀分布的对称性带电体的电场叠加2、电像法、阿波罗尼斯圆及其叠加3、电场强度的分解与合成1．均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着大小为Q的正电荷，在过球心O的直线上有A、B、C三个点，OB=BA=R，CO=2R。若以(1)球体单位体积的带电量q0为多少？(2)挖去部分的体积V0和电荷量q为多少？(3)画出未挖前带电球体在A和C处的电场强度EQA和EQC的方向，并求解对应的大小；(4)画出挖去部分的带电球体在A和C处的电场强度EqA和EqC的方向，并求解对应的大小；(5)求挖去后剩余部分带电体在A和C处的电场强度EA和EC的大小；(6)若挖去球形部分半径Δr非常小，且位于球心O的正上方的表面，画出挖去部分在A和C两处的电场强度EΔA和EΔC的方向；(7)接（6）问，挖去部分的带电球体的电荷量为qΔ为多少？(8)接（6）问，挖去部分的带电球体在A和C两处的电场强度EΔA和EΔC的大小分别为多少？【答案】(1)q(2)V0=1(3)，EQA=kQ4(4)，EqA=kQ(5)EA=(6)(7)q(8)EΔA【知识点】点电荷与均匀球体（球壳）周围的场强、割补法求电场强度【详解】（1）球体单位体积的带电量q0为q（2）挖去部分的体积V0为V0挖去部分的电荷量q为q（3）未挖前带电球体在A和C处的电场强度EQA和EQC的方向如图所示未挖前带电球体在A和C处的电场强度EQA和EQC的大小分别为EQA=k（4）挖去部分的带电球体在A和C处的电场强度EqA和EqC的方向如图所示挖去部分的带电球体在A处的电场强度EqA的大小为E挖去部分的带电球体在C处的电场强度EqC的大小为E（5）挖去后剩余部分带电体在A处的电场强度EA的大小E挖去后剩余部分带电体在C处的电场强度EC的大小E（6）挖去部分在A和C两处的电场强度EΔA和EΔC的方向如图所示（7）挖去部分的带电球体的电荷量为qΔ为q（8）挖去部分的带电球体在A和C两处的电场强度EΔA和EΔC的大小分别为EΔA=2．研究表明静电场中有如下一些重要的结论：①均匀带电球壳（或球体）在球的外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同；②均匀带电球壳在空腔内部的电场强度处处为零；③电场线与等势面总是垂直的，沿电场线方向电势越来越低。利用上述结论，结合物理思想方法可以探究某些未知电场的问题。（1）如图1所示，一个静止的均匀带正电球体，其单位体积的电荷量为ρ，半径为R，静电力常量为k。a．在图1中求距球心r处电场强度的大小（分E内、E外解答）；b．在图1球体中挖掉一个球心为O′的小球体，如图2所示。已知OO′=d，求空腔体内OO′连线上某点的电场强度大小。

（2）一球壳均匀带有正电荷，O为球心，A、B为直径上的两点，OA=OB。现垂直于AB将球壳均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去右半球壳，左半球壳所带电荷仍均匀分布，如图a．分析判断O、C两点电势关系；b．分析判断A、B两点的电场强度及电势的关系。

【答案】（1）a．E内=43kπρr，E外=4kπρR33r2；b．E=【知识点】点电荷与均匀球体（球壳）周围的场强【详解】（1）a．球外距球心r处电场强度大小E球内距离球心为r处的电场强度Eb．将此带电体看作带+ρ的完整大球体和带-ρ的小球体的组合，在空腔体内OO′连线上任取一点，设其距离O点为r，+ρ在该点的电场强度大小为E方向向右；-ρ在该点的电场强度大小为E方向向右。所以该点的电场强度为E=E（2）a．由于球壳内部的场强为零，补全以后可知左右侧球壳在C点的合场强为零，因左右球壳的电场具有对称性，要想合场强为零只能是两部分球壳在C点的场强都是水平方向，则可以知道左侧球壳在C点的合场强水平向右，同理OC上其他点的场强都是水平向右，因此OC是等势线，两点电势相等。b．将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2；由题干可知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则有E根据对称性，左右半球在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，且E在图示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向右，B的电场强度大小为E1，方向向右，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同。根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向均向右，则从A到B电势降低，故A点电势高于B点电势。3．均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着总电荷量为q的正电荷，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=3R，已知M点的电场强度大小为E(1)图中半球面AB能否等效为位于球心O点处的电荷？说明原因；(2)将半球面AB的右侧补一个不带电的绝缘半球壳，能否等效为位于球心O点处的电荷？说明原因；(3)将半球面AB的右侧补一个与左半球完全相同的半球面，能否等效为位于球心O点处的电荷？说明原因；(4)接（3）问，补全后的整个球壳的带电量为多少？画出补全后的球壳在N点的电场强度E1的方向并求解E(5)接（3）问，画出左半球壳在M点场强的方向和右半球壳在N点场强的方向，并说明这两个场强的大小关系；(6)说明N点的场强是哪几部分电场强度叠加而成？求解N的点场强EN【答案】(1)不能，见解析(2)不能，见解析(3)可以，见解析(4)见解析，2(5)见解析，相等(6)N点的场强相当于电荷量为2q的整个球壳的电场和带电荷量为−q的右半球面电场的合场强，2kq9R2【知识点】割补法求电场强度【详解】（1）半球面不是一个完整的均匀带电球壳，故不能将其等效为位于球心O点处的电荷；（2）将半球面AB的右侧补一个不带电的绝缘半球壳，尽管此时是一个完整的球壳，但由于绝缘体不带电，同样不能将其等效为位于球心O点处的电荷；（3）将半球面AB的右侧补一个与左半球完全相同的半球面，这样就可以看成一个均匀带电的球壳，可以等效为电荷集中于球心处产生的电场；（4）补全后的球壳如图所示所带的电荷量为2q，在N点的电场强度方向如图所示，大小为（5）左半球壳在M点场强的方向和右半球壳在N点场强的方向分别如下两图二者大小相等，方向相反；（6）N点的场强相当于电荷量为2q的整个球壳的电场和带电荷量为-q的右半球面电场的合场强，设带电荷量为-q的右半球面在M点的电场强度大小为E'解得E由于带电荷量为-q的右半球面在M点的场强与带电荷量为q的左半球面在N点的场强大小相等，所以N点的场强大小为方向从O指向N。4．如图所示，一个半径为R的不导电薄球壳均匀带正电，电荷量为Q。它在球外某点产生场强的方向沿球心O与此点的连线向外。将它在空间某点产生场强的大小用E表示，则其电场强度在空间的分布可表示为：E=0r<RkQ（1）在如图所示球壳外的一点A处放置一个带正电、电荷量为q的试探电荷，已知点A到球心O的距离为l，求：a．试探电荷所受电场力的大小FAb．若将该试探电荷从A点向远离球心的方向移动一段非常小的距离ΔR，求电势能的变化量Δ（2）球壳表面上的电荷之间也有着相互作用的静电力，因而球壳自身就具有能量，称为静电能。已知半径为R，电荷量为Q的均匀带电薄球壳，所具有的静电能的表达式为Epa．请分析并说明带正电球壳表面单位面积上电荷所受电场力的方向；b．将球壳表面单位面积上电荷所受电场力的大小用f表示，请根据电场力做功与电势能变化的关系W=-ΔE【答案】（1）a．FA=kQql2；b．ΔE【知识点】电场力做功和电势能变化的关系【详解】（1）a．试探电荷所受电场力的大小为Fb．试探电荷移动一段非常小的距离ΔRΔ（2）a．根据对称性可知，球面单位面积上电荷所受的电场力指向沿半径向外的方向b．假设球壳半径从R变为表面积为R+Δ电场力对单位面积上的电荷所做的功为f球面上的所有电荷受电场力做功的和为f对应过程中电势能从kQ2由W=-ΔEP得到f由于ΔR很小，于是有5．如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C．M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为q2．已知正三角形ABC的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A．23kqa2 B．kqa2【答案】D【知识点】电场强度的叠加法则【详解】B点C点的电荷在M的场强的合场强为E因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强EM=E，由对称性可知带电细杆在A点的场强为EE故选D。6．如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷为+q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z=h2A．k4qhC．k40q9【答案】C【知识点】利用静电平衡求场强【详解】在z轴上-h2处，合场强为零，该点场强为点电荷和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢量和；点电荷在-由于导体远端离-h2处很远，影响可以忽略不计，故导体在-h2处产生场强近似等于近端在-h2处产生的场强；-方向向上。根据对称性，导体近端在h2处产生的场强大小也为方向向下。点电荷在h2处产生的场强为则在z轴上z=h故选C。7．一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q,电荷Q在球心O处产生物的场强大小E0=kQ2R2,方向如图所示.把半球面分为表面积相等的上、下两部分,如图甲所示,上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2;把半球面分为表面积相等的左、右两部分A．E1>kQ4R2 B．E【答案】A【知识点】电场强度的叠加法则【详解】根据点电荷电场强度公式E=kQr2，且电荷只分布球的表面，对于图甲，虽表面积相同，但由于间距的不同，则上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为E1＞E2，因电荷Q在球心O处产生物的场强大小EO=kQ2R2，则E1>12【点睛】根据电场的叠加原理，分析半球壳在O点的场强方向，再比较场强的大小关系．根据E=kQ8．现有一些大小一样的均匀带电正方形板块，所有板块单位面积上所带的电荷量相等，将它们组合成如下几种情形的大正方形，带电性质已在图中标出，不考虑板块之间的相互影响．AO、BP、CQ分别垂直于三个大正方形，并交于正方形的中点，且AO=BP=CQ，图1中A点的电场强度大小为E1，图2中B点的电场强度大小为E2．图3中的空白正方形板块不带电，则C点的电场强度大小为A．22E1 B．22E2【答案】B【知识点】电场强度的叠加法则【详解】图1中A点的电场强度可看成由左右两部分产生，根据对称性和电场叠加原理可知每部分产生的电场在竖直方向上的分量的大小为12E1．图2也看成左右两部分，同理每部分产生的电场在水平方向的分量大小为12两部分产生的电场强度在竖直方向上的分量抵消，水平方向上的分量相互垂直并且都为12E2，所以CACD.由上分析可知，C点的电场强度为22E2，B.由上分析可知，C点的电场强度为22E29．如图1所示，半径为R且位置固定的细圆环上，均匀分布着总电荷量为Q(Q>0)的电荷，O点为圆环的圆心，x轴通过O点且垂直于环面，P点在x轴上，它与O点的距离为d。x轴上电势φ的分布图如图2所示，图线上三点的坐标已在图2中标出。静电力常量为kA．圆心O点处的电势最高且电场强度最大B．圆心O点的电场强度大小为kQC．x轴上P点的电场强度大小为kQdD．电荷量为-q(q>0)、质量为m的点电荷从O点以初速度v0【答案】C【知识点】电场力做功和电势能变化的关系、电场强度的叠加法则【详解】AB．由题图2可知，圆心O点的电势为kQR，将圆环分成n个微元，每个微元均能视为点电荷，根据对称性可知，圆心O点的电场强度大小为0，故ABC．根据上述，令每个微元的电荷量为Δq，微元与P点的间距为r，微元与P点连线和x轴的夹角为θ，则根据对称性可知，P点电场强度又由于nΔq=Q解得EC正确；D．根据-其中φO=解得φ根据图2可知，此点电荷运动位移为3R时，其速度减为零，D故选C。10．已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为+Q，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立Ox轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为2R，静电力常量为k，下列说法正确的是（A．将+q的试探电荷由壳内A点移到OB．在圆心O处放一个电量为-2QC．在+R处取走极小的一块面积ΔS，OD．在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS，B点场强大小为【答案】C【知识点】电场强度的叠加法则、割补法求电场强度【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A错误；B．在圆心O处放一个电量为-2Q的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出+2Q的电荷，则球壳外表面的电荷量为-C．在+R处取走极小一块面积ΔS，根据对称性，在EC正确；D．整个球壳在B点的电场E水平向右，在圆心O正上方处取走极小一块面积ΔS在B点的场强为方向斜向右下，E1与E2矢量作差即为B点电场强度，故选C。11．如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为q，其轴线上距离圆心为x的任意一点A的电场强度E=2πkq1-xR2+x2，方向沿x轴方向（其中kA．2πkq0C．2πkq0x【答案】A【知识点】电场强度的叠加法则【详解】根据题意可知，半径为R，单位面积带电荷量为q0的均匀带电圆形平板在其轴线上距离圆心为x的任意一点B的电场强度为E当半径R取无限大时，根据数学极限规律可知，在B点产生的场强E根据题意可知，单位面积带电荷量为q0、半径为r的均匀带电圆板在B点产生的场强E从无限大均匀带电平板中间挖去一半径为r的圆板后，其在B点的场强E是以上两个场强的矢量差，可知E解得E故选A。12．如图所受，三根完全相同的细绝缘棒连接成等边三角形，P点为三角形的内心，Q点与三角形共面且与P点相对AC棒对称，三棒带有均匀分布的正电荷，此时测得P、Q两点的电势各为φP、φQ．现将BC棒取走，而AB、AC棒的电荷分布不变，则下列说法正确的是（A．P点的电势变为2B．P点的电场强度方向由P指向AC．P点的电场强度增大D．在没有把BC棒取走时，把+q检验电荷由P点移到Q点，电场力做正功【答案】ACD【知识点】电场强度的叠加法则、点电荷周围电势及叠加计算【分析】三个电棒完全相同，相对P点位置对称，故三带电棒在P点产生的电场强度大小相同，产生的电势也相等，根据矢量和标量的合成原则分析即可求解．【详解】三根棒在三角形中心P处产生的电势都相等，总的电势值为φP，将BC棒取走后，电势变为23φP．故A正确．三带电棒完全相同，相对P点位置对称，故三带电棒在P点产生的电场强度大小相同，合场强为零；另由于每个带电棒关于P点轴对称，所以每个带正电的棒在P点的电场方向都是沿着棒的垂直平分线从P点向外方向，三个电场方向互成120°角，所以将BC棒取走后，P点的电场强度不再为零，方向由A指向P，故B错误，C正确．在没有把BC棒取走时，P点的场强为零，PQ间的场强方向由P指向Q，把+q检验电荷由P点移到Q点，电场力做正功，故D正确．故选ACD13．如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放有带电量为-q的点电荷．（1）试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度.（2）试求感应电荷在导体外P'点产生的电场强度(P与P'点对导体板右表面是对称的)；（3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直；（4）试求导体上的感应电荷对点电荷-q的作用力．【答案】见解析所示【知识点】利用静电平衡求场强【详解】(1)导体板静电平衡后有E感=E点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P点产生的场强E其中r为AP间距离，方向沿AP，如图甲所示．甲(2)因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P点和P'点的电场具有对称性，因此有：E方向如图所示．(3)考查导体板在表面两侧很靠近表面的两点P1点和P1'．如前述分析，感应电荷在导体外P1'点产生的场强大小为:Ei点电荷-q在P1'点产生的场强大小与之相同，它们的方向如图乙所示．从图乙看出，P1'点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直．乙(4)重复(2)的分析可知，感应电荷在-q所在处A点的场强为:E方向垂直于导体板指向右方该场作用于点电荷-q的电场力为：F负号表示力的方向垂直于导体板指向左方。14．两个正点电荷Q1=+Q和Q2=+4Q分别固定在光滑绝缘水平面上的A、B两点，A、B两点相距（1）在A、B连线上，由A点到B点，电势如何变化？（2）将一正检验电荷置于A、B连线上靠近A处由静止释放，求它在A、B连线上运动的过程中能达到最大速度的位置离A点的距离；（3）若把另一正检验电荷放于绝缘管内靠近A点处由静止释放，试确定它在管内运动过程中速度为最大值时的位置P，即求出图中PA和AB连线的夹角θ。【答案】（1）先降低再升高；（2）13L；（3）【知识点】电场线、等势面和运动轨迹的定性分析、含静电力作用下的直线运动、电场强度的叠加法则【详解】（1）AB都带正电，连线上存在某处场强为零的位置，故连线上电场方向先向右再向左，则电势先降低再升高；（2）设在AB连线上运动过程中能达到最大速度的位置离A点的距离为x，正电荷在A、B连线上速度最大处应该是电荷所受合力为零，即kQ1qx2=（3）若点电荷在P点处受到的受到的库仑力的合力沿OP的方向，则它在P点处速度最大，即此时满足tan解得θ15．如图所示，真空中有两个固定的点电荷，电荷量分别为+2Q和-Q，两点电荷与O、A两点在同一直线上，虚线是以O点为圆心的圆，圆上各点的电势均为零，A、B两点在圆上，取无穷远电势为零，则（）A．A、B两点场强大小相等B．A、B两点场强均沿半径指向O点C．沿直线从A到O电势先升高后降低D．试探电荷-q在A点的电势能大于在O点的电势能【答案】B【知识点】电势和电场线的关系【详解】A．根据异种电荷电场线分布特点，可知A、B两点场强大小不相等。故A错误；B．根据电场线与等势线相互垂直，可知A、B两点场强方向均沿半径指向O点。故B正确；C．-Q所在位置电势最低，且圆上各点的电场线均指向O点，则沿直线从A到O电势先降低后升高。故C错误；D．圆上各点的电场线方向均指向O点，则φA>φO，可知试探电荷-q在A点的电势能小于在故选B。16．如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1＝q2＝q，两点电荷到球心的距离均为a。由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q。空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的。由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强。但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想（等效）点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q'1与q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q'2与q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0。这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的。等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷q'1、q'（1）试根据上述条件，确定假想等效电荷q'1、（2）求空腔内部任意点A的电势U。已知A点到球心O的距离为r，OA与OP1的夹角为【答案】（1）见解析；q'1=-Raq1，【知识点】利用静电平衡求场强、电势、库伦定律电场强度【详解】（1）如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q'1的位置应位于OP1的延长线上的某点B1处，q'2的位置应位于OP2的延长线上的某点kq1Akq2A要能使（1）式成立，下面分析图1中ΔOP1若等效电荷q'1的位置B1使下式成立，即OP即OP1O则△有A1P1由（1）式和（5）式便可求得等效电荷q'1

，q'由（3）式知，等效电荷q'1的位置B1到原球壳中心位置O的距离OB同理，B2的位置应使△OP2A1等效电荷q'2的位置B2到原球壳中心O位置的距离OB解法Ⅱ：在图1中，设A1P1=r1，A1B1=kq1rr1=Rr'1=由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得q12(（4＇）式是以cosθ为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意θq12(q12d由（5＇）、（6＇）式得ad2-解得d=(a由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得d=R2由（6＇）、（9＇）式有q'12考虑到（1＇）式，有q'1=-同理可求得OB2=R2a（（2）A点的位置如图2所示A的电势由q1、q'1、q2、q'2共同产生，即因PBPB代入（10）式得UA=17．一无限长均匀带电细线弯成如图所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA'平行于BB'，试求圆心【答案】0【知识点】库伦定律电场强度【详解】设细线单位长度带正电荷η，在半圆弧AB上任取一小段弧ab=RΔθ，可看作点电荷，它在圆心O方向如图所示.延长aO、bO，分别交细线的直线部分于a'、b'.把a'b'也看作点电荷，带电ηa'b'，距圆心O的距离用r表示（Δθ越小，以上考虑越准确）.作a'a''点电荷a'b'在方向与ΔE相反.因此ab与a'b'在O点产生的场强之和为零，根据同样的分析可知，AB上各小段电荷与细线直线部分各小段电荷一一对应地在O点产生的场强相消，故细线电荷在18．一带电细线弯成半径为R的半圆环，均匀带电，电量为Q。试求环心O处的电场强度。【答案】-【知识点】库伦定律电场强度【详解】在处取电荷元，其电荷为dq=dl它在O点产生的场强为dE在x、y轴