两个三角形相似的判定 同步练习（提升版）（附答案）-浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定同步练习(提升版)

夯实基础联，黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

一、选择题

1.已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法

只有①相似D.只有②相似

2.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4,2),B(3,0),以原点为位似中心，NBz与AB的

3.如图，在四边形A8C0中，AD||BC,AC与BD相交于点0,则下列三角形中，与△AOD一定相似的是

()

A.△BOCB.△AOBC.△DOCD.△ABC

4.如图，在△ABC中，点P在边力B上，则在下列四个条件中：①44cp=48;@^APC=^ACB;

2

®AC=AP-AB;@AB-CP=AP-CBf能满足△APC与△4C8相似的条件以及性质的是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

5.下列判断中，正确的是（）

A.各有一个角是76。的两个等腰三角形相似

B.邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似

C.各有一个角是45。的两个等腰三角形相似

D.邻边之比为2:3的两个芋腰三角形相似

6.一个钢筋三脚架三边长分别为30cm,60cm,80cm,现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长

为40cm和90cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两

边，则不同的截法有（）

A.一种B.两种

C.三种D.四种或四种以上

7.已知在中，乙4=78。，A8=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原448C不相似的是

()

A

1

BL----------------

AB

AA?、B・产、

BL----、-------^CAt_____________XC

B

A

C/XD

B』-----L——_Xc

4

8.如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图,△ABC的三个顶点和线段DE的两个端点都在等

边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使ADE/与△48C相似的点F有（）个.

A.C.

.\/、，5/、，、，

，、/\，、/、，\/

/%/、/、，、/

9\/、/9\\/、/\/

A/\</、•/\•/、•/,卜、/

■f\\//、、//、、//、、//、/L

*\▲，\.//5/■、一，、/»

D

9.如图,在aABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE〃BC,NACD=NB,那么下列判断中，错误的是

)

A.AADE^AABCB.ACDE^ABCD

C.AADt^AAUDD.△ADt^ADBU

10.如图，已知等边△ABC,点D,E分别是边BC,AC上的动点、,BD=CE,则图中相似的三角形的对数

是（）

0.5对D.6对

巩固积宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

二、填空题

11.如图，在△ABC中，AOAB,过AB上一点、D作直线DF交AC于点F,使所得的三角形与原三角

形相似，这样的直线可以作出的条数为.

12.如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是△E8C,ACDB,ADEB,其中与△ABC相似的

是__________

CDE

B

13.如图，在四边形48co中/EAC=々ADC=90。，添加一个条件,可

以利用定理''斜边和宜角边对应成比例，两个直角三角形相似"证明/^△OCAsRtAABC.

AD

14.如图，点E在^ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G.图中相似的两

15.如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果AD=1,那么

当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与公ABC相似.

16.如图，NACB二NBDC二90°,我们知道图中两个直角三角杉不一定会相似.请你添加一个条件，使这两

个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是.

优尖拔高淤，书山有路■勤为径，学海元涯苦作舟。

三、解答题

17.如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1,当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上

时，我们称三角形为格点三角形.

(1)如图1,请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角舫的相似比为

V2：1.

(2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形

相似比.相似比为：.

18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△48C和么0E”的顶点都在格点上，P〉。2，。3，

P4,P5是△OEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

(1)判断△48C和△△£)£>?是否相似，并说明理由；

(2)画一个三角膨，它的三个顶点为P],22,23,P”，％中的3个格点，并且与A/BC相似.(要

求：不写作法与证明)

19,已知：如图，在中，/_BAC=90°,4D1BC于D,E为直角边4C的中点，江D,E作直线交

的延长线于F.求i正：ADBFfADF.

20.如图，在矩形ABGD中，卜为CD上的点，A卜J_BD且A卜，BD相交于点J

AD

BC

(1)求证：△ABDs△DAF；

(2)若AB=8,BG=3AD,求AG的长.

21.如图，将一个Rt/kBPE与正方形ABC。叠放在一起,并使其直角顶点P落在线段CD上(不与C,D两

点重合)，斜边的一部分与线段,48重合.

£

4----

P

B

(1)图中与RtZkBCP相似的三角形共有个，分别是

(2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与ABCP相似的证明.

22.如图，在ZkABC中，AB=AC,以48为直径的O。交4C于点E,交BC于点。，连

B

求证:

(1)点D是BC的中点.

(2)ABECfADC.

23.如图1,四边形4BC0中,LABD=/-BCD=90°,平分N4DC,若CD=6,AD=8.

(1)求8。的长.

(2)如图2,过点8作8Mlic。交力。于M,连接CM交08于N,求ON的长.

24.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，4。=6,若04、0B的长是关于

x的一元二次方程%2-7%+12=0的两个根，且04>0B.

(1)求。4、0B的长.

(2)若点E为x轴正半轴上的点,乳500£=竽，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反

比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似.

(3)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点且AC、

AF为邻边的四边形为菱形？若存在,写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.

答案与解析

1.【答案】A

【解析】【解答】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°,35°,180°-75°-35°=

70°：

第二个三角形的两个角分别为：75°,70°;

故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相以;

在大图团②中山：••"加。=可4BCO=86=4V

.40_CO

••9一物

VZA0C=ZB0D,

AAAOC^ADOB,

故都相似.

故答案为：A.

【分析】在图①中，利用内角和定理求出另一个内角的度数，然后根据两个角分别相等的两个三角形相

似进行判断；在图②中，根据对顶角的性质可得NAOC=NBOD,然后根据两边对应成比例且夹角相等的

两个三角形相似进行判断.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：画出图形，如图所示：

故选D

【分析】根据题意分两种情况四出满足题意的线段A'B',即可做出判断.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：-AD||BC,

:.Z.OBC=Z.ODA,Z.OCB=Z.OAD,,:Z.AOD=Z.BOC,BOCDOA,

故答案为：A.

【分析】根据平行线的性质可得NOBC二NODA,NOCB二NOAD.由对顶角的性质可得NAOD=NBOC,然后根

据相似三角形的判定定理进行解答.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、・.・乙48=48,^APC=^ACBf

/.△APCACB,

.AC_AP_PC

*，AB=AC=CB,

:・ABCP=AC,CB牛AP，CB,不符合题意：

2

B、VAC=AP-ABf

.AC_AP

••南=而

'：CA=Z/l,

△APCACB,

：.LACP=乙B,

.AC_PC

••通二西

­CP=AC-CBAP-CB.不符合题意；

2

C、'：AC=AP-ABf

.AC_AP

••南一痔

*：LA=乙4,

•e•AAPC*,,△ACDy

：.LAPC=/.AC8,

.4C_PC

••亚=帚

：.ABCP=AC-CB^AP-CB.不符合题意；

D、*：LACP=Z-B,LAPC=Z.ACB,

△APCsxACB,

.AC_AP

••丽二痔

：.AC2=AP-AB,符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意.

B.因为比值为2:1,所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意.

C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意.

D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

6.【答案】B

【解•析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两

段，设从90cm的钢筋上载下的两段分别长xsn,ycm,

当40cm长的边对应30cm长的边时，

30_60_80而俎2

4Q==~y>解得：x—8on0,y—106

此时x+y>90,

所以此截法不可行；

当40cm长的边对应60cm长的边时，

306080会…”“I

-^~=而=歹，解付：%=20,y=53

此时久+y<90,

所以此截法可行；

当40cm长的边对应80cm长的边时，

306080M同"OA

—=—=40，解得：x=15,y=30,

此时x+yV90,

所以此截法可行，

综上所述，截法有两种，

故答案为：B.

【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两段，设从90cm

的钢筋上栽下的两段分别长xczn,ycm(x>y),分三种情况讨论：①当40cm长的边对应30cm长的边

时，②当40cm长的边对应60cm长的边时，③当40cm长的边对应80cm长的边时，利用相似三角形的性质

分别求解即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符

合题意；

B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；

C、阴影部分的三角形与原三角杉有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；

D、两三角形对应边成比例且夹南相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

8.【答案】D

【解析】【解答】解:

当乙EDF,=90°,=60°时，4OE&〜ACBA

当乙EDF2=90°,乙DEF?=60。时，ADEF2〜ACAB

当乙OEF3=90°,LDF3E=60。时，ADEF3〜AACB

当乙0£自=90。，乙0OE=60。时，ADEF4-ABCA

一共有4个点F符合题意，

故答案为：D

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

9.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•点D、E分别在边AB、AC上，DE/7BC,

.'.△ADE^AABC,故A不符合题意；

VDE/7BC,

AZBCD=ZEDC,

•JNB=NDCE,

/.△UDt^ABCD,故B不符合懑意；

TNACD二NB,NA=NA,

AAACD^AABC,

.'.△ADE^AACD,故C不符合题意;

△ADE与ADBC不一定相似，故D符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

10.【答案】D

【解析】【解答】解：•••△A8C是等边三角形，

：-AB=BC,4ABD=ZC=60°,

又,：BD=CE,

:山ABD"BCE(SAS),

A△ABDBCE且乙DBF=LBAD,乙BDF=乙BEC.

义♦:乙BDF=(ADB,乙DBF=LEBC,

**•△BDFADB,△BDFBEC;

=乙CBE,4BAC=乙ABC,

：.LABE=乙CAO,

又・・・48=C4,Z-BAE=ZC,

A△ABECAD(SAS),

J.LABE八CAD^AEF=4ADC,

文・.・zE4F=^DACf

△AEFADC,

LEAF=Z.ABE,4AEF=^BEA,

/.AAEFBEA,

综上所述，图中相似的三角形的对数是6对.

故答案为：D.

【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可O

11.【答案】2

【解析】【解答】解：如图

作乙4DF=4C,则△ADF〜△/C8;

过D作OEIIBC,则△40F〜ZkABC,

所以，这样的直线可作2条.

【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。

12.【答案】ADEB

【解析】【解答】解：•「△ABC的三边之比是48：ACtBC-1：V2：瓜

△EBC的三边之比是8C：EC：BE=V5：3：2遍，

△CDB的三边之比是CD：BC：BD=1：遥：2鱼，

△DEB的三边之比是DE：BD：BE=2：2VLV20=1：企：V5.

.,.△DEB与aABC相似，

故答案为：ADEB.

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

13.【答案】第=铝(答案不唯一)

【解析】【解答】解：添加“墓=器”，理由：

设第二券=匕则8c=/G4C,AB=kCD,

'：cBAC=Z-ADC=90°,

A.4C=y/BC2-AB2=yj(kAC)2-(kCD)2=ky/AC2-CD2=kAD,

・AC_必_BC_AB

，,AD~k~AC~CD,

：.Rt△DCA~Rt△ABC.

故答案为：喋=综(答案不唯一)

ACCD

［分析］利用相似三角形的判定方法求解即可。

14.【答案】6

【解析】【解答】解：vABCD是平行四边形，

AD//BC,AB//DC,

•%AABG-ACEG,AAGF-ACGB,AEFD-AEBC,AABF-ADEF,AABF-AEBC五对，还

有一对特殊的相似三角形即AABCACDA,

共6对，

故答案是：6.

【分析】先求出40//BC,AB//DC,再求解即可。

15.【答案】2企或，

4

【解析】【解答】根据题意得：AD=1,AB=3,AC二6V2,

NA=NA,

，若△ADIzs△ABC时，器=爷，

而14E

即：广磁，

解得：AE=2\/2,

若△ADESAACB时,AD_AE^

~AC=ABf

即.1-AE

即：加一丁,

解得：AE=亨,

・♦・当AE=2或或辛时，以点A,D,E为顶点的三角形与4ABC相似,

故答案为：2企或冷

【分析】首先根据图，可得AD二1,AB=3,AC=6V2,然后分别从若△ADEs/iABC与若△ADEs/\ACB去

分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值

16,【答案】ZA=ZCBA（答案不唯一）

【解析】【解答】解：添加NA二NCBA,

VZA=ZCBA,ZACB=ZBDC=90,,

.,.△ACB^ABDC,

故答案为：ZA=ZCBA（答案不唯一）.

【分析】由题意可根据相似三角形的判定“①斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；②

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三甬形相似，并且分成的两个直角三角形也相

似；③有两个角对应相等的两个三由形相似”并结合已知条件可判断求解.

17.【答案】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为1,V2,V5,

所画三角形与原三角形的相似比为鱼：1,则所画三角形的各边长分别为四、2、V10,如下图所示

(2)解：所画三角形的各边长为V2,2,<10,如下图所示:

1：V2

【解析】【解答】(2)解：由勾投定理可得原三角形的各边长分别为2,2金，2后，

有一个边为公共边，假设公共边为2,并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为2四边相对应，此

时相似比为1：V2,

故答案为：1..y[2.

【分析】(1)根据方格纸的特点及勾股定理可得原三角形的各边长分别为1,V2,瓜结合相似比的

概念可得所画三角形的各边长分别为鱼、2、V10,从而利用方格纸的特点及勾股定理画图即可；

(2)根据方格纸的特点及勾股定理可得原三角形的各边长分别为2,2V2,2遥，有一人边为公共边，

假设公共边为2,并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为2鱼边相对应，从而根据相似比的概念

可得相似比，进而得所画三南形三边长，利用方格纸作图即可.

18.【答案】(1)解：根据勾股定理得4B=742+22=2遥,AC=V124-22=V5,BC=V424-32=

5,DF=V22+22=2^2,DE=V42+42=4x/2,EF=V624-22=2710,

即AC：AB：BC=CD：DE：EF=1：2：V5,

所以△ABC〜4DEF；

(2)解：如图所示：

E

【解析】【解答】(2)根据勾股定理得P2P5=2/，P2P4=、泣,。2「5=5,

所以P2P4：P2P5：P2P5=1：2:V^=AC:AB:BC,

所以2P4P5和△ABC相似，连接P2P4,P2P5，P4P5・

【分析】(1)利用勾股定理求出P2P5=2或,P2P4=四，P2P5=同,再结合AC：AB:BC=

CD：DE：EF=1：2：Vs,即可得到△ABC〜△DEF:

(2)根据相似三角形的判定方法求解即可。

19.【答案】证明NBAC=90。，AD1BC,

LBAC=乙ADB=90°,

:LABC+/-BAD=90°,乙ABC+zC=90°,

LC=^BAD,即乙。=4尸4。，

又YE为AC的中点，AD1BC,

ED=EC=^ACt

乙

•••LC=乙EDC,

又；乙EDC=乙FDB,

:.LFAD=乙FDB,

vLF=Z-F,

DBFADF

【解析】【分析】由余角的性质可得NC=NFAD,由直角三角形斜边中线的性质可得ED=EC=^AC,

利用等边对等角可得NONEDC,再利用对等角相等及等量代换可得4凡40=乙尸。8,由/F为公共角,

^Tii△DBF〜△4DF.

20.【答案】(1)证明：•・•在矩历ABCD中，

/.ZBAD=ZADF=ZABC=70°,

AZADB+ZABD=90°,

VAFXBD,

AZAED=90°,

.,.ZADB+ZDAF=90°,

/.ZABD=ZDAF,

又•・•ZBAD=ZADF,

.*.△ABDs△DAF

(2)解：•・•在矩形ABCD中，

AAD=BC,AB=CD=8,AD//BC,

VBG=3AD,AD=BC,BG=BC+CG,

ACG=2AD,

VAD//BC,

:・&ADFs△GCF,

.CF__

••丽一而一9/'

又・.・CD=8,

・・.CF=竽，DF=

VAABDS△DAF,

.AB_AD

••丽=丽’

8_AD

••DA8»

3

解得AD=1^3,

•J

/•BG=3AD=8\^3,

在Rt△ABG中，AG=y/AB2+BG2=82+(8A/3)2=16,

.'.AG的长为16.

【解析】【分析】(1)先证明NBAD=NADF=90°,进而可得NADB+NABD=90°,由AFJ_BD可得NADB

+ZDAF=90°,进而可得NABD=NDAF,由此可证得△ABDs△DAF：(2)根据BG=3AD,AD=BC可

8

ADFs△GCF可得益=空=2,再结合CD=AB=8可得CF=孕，--由

得CG=2AD,由△DF3

DrAD3

(1)得需=错,由此可求得AD=,进而可求得BG=3AD=8百,再利用勾股定理即可求得

AG的长.

21.【答案】(1)3;RtAEPB,Rt△PDF,Rt△EAF

(2)解•：选RtABCP〜RtAEPB,理由如下：

•・•四边形ABCD是正方形,

：.LABP+乙PBC=乙ABC=ZC=90°,

，乙PBC+乙BPC=90。,

C.LABP=乙BPC,

•・2BPE=4C=90。，

Rt△BCP〜Rt△EPB;

选RtABCP~RtAPDF,理由小，下：

;四边形A8CD是正方形，

・••乙D=ZC=90°,

，乙DPF+乙PFD=90°,

♦；乙BPE=90°,

:,乙DPF+乙BPC=90°,

J.LPFD=乙BPC,

:,Rt△BCP〜Rt△PDF:

△BCP-Rt△EAF,理由小，下：

•・•四边形48co是正方形，

：.LABP+Z.PBC=乙ABC=AEAF=zC=90°,

■:乙BPE=90°,

・"E+/48P=90。，

工乙PBC=乙E,

:,Rt△BCP〜Rt△EAF.

【解析】【解答】(1)解：图中与RtABCP相似的三角形共有3个，

分别是Rt^EPB,Rt△PDF,RtLEAF'.

故答案为：3,RtAEPB,RtAPDF,Rt△EAF

【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。

22.【答案】(1)-：AB为。。的直径，

：.LADB=90°,AD1BC.

*：AB=AC,

：.BD=CD,即D是BC的中点；

(2),：AB为O。的直径，

：.LADB=/.ADC=90°,^AEB=乙BEC=90°,

：.LADC=Z.BEC,

•：LACD=/-BCE,

/.△BECADC.

【解析】【分析】(1)由题意易得乙408=90。，然后根据等腰三角形的性质可求证；

(2)由题意得^ADB=Z.ADC=90°.Z-AEB=£.BEC=90°,则有乙ADC=^BEC，然后问题可求

证.

23.【答案】(1)解：'•08平分4ADC',

J.LADB=乙BDC,

'：LABD=乙BCD=90°,

/.△ADB〜&BDC,

.AD_BD

••前一加

":CD=6,AD=8,

.8_BD

••前=T'

解得：BD=4V3

(2)解：-：BM||CD,OB平分乙ADC,

・"MBD=乙BDC,乙BDC=乙BDM,

C.LMBD=乙BDM,

：.MB=MD,

*：LMBD+4MB4=4ABD=90°,乙BDM+=90°,

：.LMBA="

：.MB=MA,

・；M8=%0=4,

VBM||CD,

：.△MNB〜△CN。，

,BM_BN

*，DC~DN,

BN42

-_----

DN6

3J

DN3

-

D-,

5,

3