角与弧度（八大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

7.1角与弧度

学习目标

课程标准学习目标

(1)知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出

以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角(1)掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角

是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定的意义.

义的合理性；能说出两种度量制之间的换算关系(2)熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会

是180°=〃rad,并能准确进行角的两种度量之间用集合符号表示这些角.

相互转化：了解其中蕴含的数形结合的数学思想(3)理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角

方法，和数学知识之间的联系性；度进行正确的转换.

(2)能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使(4)掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面

积公式.

弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁.

思维导图

正角

任意角的概念负角

零角

终边相同的角

角与弧度

象限角

弧度制的定义

角度与弧度的换算

弧度制

-弧长公式

一扇形面积公式

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知识清单

知识点01任意角的概念

1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

正角：按逆时针方向旋转所形成的角.

负角：按顺时针方向旋转所形成的角.

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.

知识点诠释：

角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，

从而得到正角、负角和零角的定义.

2、终边相同的角、象限角

终边相同的角为〃=2版■+0,ZeZ}

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我

们就说这个角是第几象限角.

知识点诠释：

（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同；

（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

（3）终边相同的角有无数多个，它们相差360。的整数倍.

3、常用的象限角

角的终边所在位置角的集合

X轴正半轴{a|a=Ax360。，keZ]

），轴正半轴{々|々=0360。+90。，keZ}

X轴负半轴{a|a=Zx3600+180°,keZ}

），轴负半轴{0|々=-360。+270。，keZ}

A轴[a\a-kx180°,X:eZj

了轴ja|a=^xl80°+90°,keZ}

坐标轴{a\a=A：x90°,AcZ}

a是第一象限角，所以］。|2女乃<a<244+3彳（&€2）,

a是第二象限角，所以1a|2k7r+]<a<2%r+/r(Z€Z)-

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a是第三象限角，所以｛a12k兀+乃<a<2匕r+'|;r（后eZ）■

a是第四象限角，所以1a|2k;r+g;r<a<2A;r+2;r（Z;eZ）｝

【即学即练1］（2023•高一校考课时练习）已知集合4=｛例，为锐角｝,B=｛6|6为小于90。的角｝,C=｛0\

。为第一象限角｝,氏（例6为小于90。的正角｝,则下列等式中成立的是（）

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

【答案】D

【解析】因为A=｛例。为锐角｝=收|。°<，<90。｝,

D=［例。为小于90。的正角｝=｛。|0’<0<90°｝,

对干集合。，小于90。的角包括零角与负角，

对于集合C,。=｛例。为第-象限角｝=｛。360*<0<90+360%«€Z｝,

所以A=O,

故选：D

知识点（）2弧度制

1、弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做I弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.

2、角度与弧度的换算

弧度与角度互换公式：180=Trracl

（Ion\°

\rad=\—巧7.30°=57°18\1°=—^）.01745（rad）

\7T）180

3、弧长公式：l=\a\r（a是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：S=—/r=—1<71r2.

22

知识点诠释：

（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-m-2不等等，一般地，正角的弧度数

是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

（2）角。的弧度数的绝对值是：|a|=:,其中，/是圆心角所对的弧长，「是半径.

【即学即练2］（2023•全国•高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化.

（1）72°；

⑵-3（X）。：

⑶2；

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题型一：角的概念

题型一：角的概念

例1.（2023•新疆塔城・高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.锐角是第一象限角B.终边相等的角必相等

C.小于90的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角

【答案】A

【解析】锐角是指大于0小于90的角，故其在第一象限，即A正确；

选项B.终边相等的角必相等，两角可以相差360整数倍，故错误；

选项C.小于90的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；

选项D.根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一

象限角，故错误.

故选：A

例2.（2023•高一校考课时练习）下列各命题正确的是（）

A.第一象限角都是锐角

B.三角形的内角必是第一，二象限角

C.不相等的角终边必不相同

D.相等的角终边相同

【答案】D

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【解析】390。为第一象限角，显然不是锐角，A错误；

90。为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误；

30。与390。的终边相同，C错误；

两角相等终边相同，D正确.

故选:D

例3.（2023・高一课时练习）射线04绕端点。逆时针旋转120。到达08位置，由08位置绕端点O旋转到

达。。位置，得NAOC=-150。，则射线。8旋转的方向与角度分别为（）

A.逆时针，270。B.顺时针，270°

C.逆时针，30°D.顺时针，30。

【答案】B

【解析】由题意可得408=120°,设N90C=。，则

40C=NA08+N80C=120°+e=-150°,

解得〃二一270。，

所以射线OB绕端点。顺时针旋转270°,

故选：B

变式1.（2023・高一课时练习）下列说法正确的有几个（）

（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角：（3）锐角是大于0。小于90。的角；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】第一象限角的集合为｛。［0。+八360。＜。＜90。+h360。《€刁，

锐角是大于0。小于90。的角，锐角的集合为｛a|0°va＜90。｝,所以（I）错误，（2）正确，（3）正确，

故选：C.

变式2.（2023・高一课时练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（）

A.-660B.140C.-140D.660

【答案】A

【解析】50-60=-,则360。乂』=300。，

66

因为时针都是顺时针旋转，

所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是-660。.

故选:A

变式3.（2023・高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（）

A.60°B,-60°C.30°D.-30°

【答案】B

【解析】时针每小时转过的角度为30。,由于时针顺时针旋转.

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因此时针转过的角度为负数.

所以手表走过2小时，时针转过的角度为-30。*2=~60°.

故选:B

【方法技巧与总结】

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向

与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反

例即可.

题型二：终边相同的角的表示

例4.(2023・全国•高一课堂例题)在区间［0。,360。)内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限

角.

⑴-80。；

(2)1600°；

(3)-819°36\

【解析】(1)因为-80。=280。—360。，所以在区间［0。,360。)内，与—80。角终边相同的角是280。，它是第四

象限角.

(2)因为1600。=160。+4、360。，所以在区间360。)内，与1600。角终边相同的角是16()。，它是第二象

限角.

(3)因为一819。36'=260。24'-3乂360。.所以在区间［0。,360。)内，与一819。36'角终边相同的角是260。24',

它是第三象限角.

例5.(2023・全国•高一随堂练习)写出与卜列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式

-720</7<360的元素。写出来:

⑴60；

(2)-45:

(3)130318';

(4)-225.

【解析】(1)与60终边相同的角的集合为伊忸=60+k-360,&wZ},

135

由一720<60+H360<360,可得一7«&<5，

66

当上二-2时，0=60-2x360=-660,

当上=一1时，6=60-360=-300,

当k二0时-，/?=60,

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所以，适合不等式-720</7<360的元素夕为-660、-300、60.

(2)因为T5=315-360,

所以，与T5终边相同的角的集合为{//=315+H360次"},

231

由一720<315+&-360<360,

OO

当人=-2时，尸=315-2x360=-405,

当上=-1时，n二315—360=-45,

当)=0时,/?=315,

所以，适合不等式-720<//<360的元素£为T05、-45、315.

(3)因为130318'=2231843x360，

所以，与13031W终边相同的角的集合为伊忸=2231—60%Z},

由一720K223.3+h360<360(&eZ),可得k=一2、—1、0,

当上二一2时，/=22318'-2x360=-49642',

当上=一1时，夕=22318'-360=73642',

当)=0时,夕=22318',

所以，适合不等式-7204夕<360的元素夕为T9642'、-13642'、22318'.

(4)因为-225=135-360,

所以，与-225终边相同的角的集合为{尸忸=135+Q360McZ},

195

由一720<135+h360<360,可得一不工攵<三，

OO

当上=一2时，万=135-2x360=-585,

当上=一1时，^=135-360=-225,

当k=0时，£=135.

所以，适合不等式-720<fi<360的元素夕为-585、-225、135.

例6.(2023・全国•高一随堂练习)在0。~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个

象限的角：

(1)-5418';

(2)3958';

(3)-119030';

(4)1563.

【解析】(1)一5418'=30542.-360,

所以，在0"~360"范围内，与-5418'终边相同的角为30542，且-5418'为第四象限角.

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(2)因为3958'=358'+360，

所以，在0°~360°范围内,与3958'终边相同的角为358',且3958'为第一象限角.

(3)因为T19030r=24930—4x360，

所以,在0°~360°范围内,与-119030'终边相同的角为24930'，且-119030'为第三象限角.

(4)因为1563=123+4x360，

所以,在0。~360"范围内，与1563终边相同的角为123,且1563为第二象限角.

变式4.(2023•全国•高一随堂练习)下列角中哪些角与30角的终边相同：

(1)210;

(2)-330;

⑶390;

(4)750.

【解析】(1)•・•与30。角的终边相同的角为{。,=30+h360,4eZ},

当a=210时，30+6360=210，解得&一(尾2,

:,210角与30。角的终边不相同.

(2)•・・与30。角的终边相同的角为{a|a=30+h360次ez},

当。二一330时，30+匕360=-330,解得我=-lwZ,

A-330角与30。角的终边相同.

(3)•・♦与30。角的终边相同的角为{a|a=30+Q360次tZ},

当。=390时，3()+&-360=390,解得攵=lwZ,

390角与30。角的终边相同.

(4)•・•与30。角的终边相同的角为{。［。=30+h360次eZ},

当1=750时，3()+人360=750,解得A=2wZ,

/.750角与30。角的终边相同.

变式5.(2023・全国•高一随堂练习)写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式

-720。477工360。的元素/?：

(1)130318';

(2)-225.

【解析】(I)根据题意可知130318'=22313+3x360,

所以与130318'终边相同的角的集合为{闭耳=22318'+2360},*2,

易知当％=0时，/=22318'；当戈=-1时，6=-13642'；当％=-2时,尸=—49642'；

所以适合不等式-720。4万4360。的元素/有：22318',-13642',-49642'：

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（2）与-225终边相同的角的集合为伊I4=-225+h360},ZwZ,

易知当攵=一1时，/?=-585；当A=0时，fl=-225；当左=1时，/7=135；

所以适合不等式一720。4万K360。的元素£有：—585,-225,135;

变式6.（2023•全国•高一随堂练习）分别写出终边在y轴正半轴、了轴负半轴和），轴上的角的集合.

【解析】终边在），轴正半轴上的最小正角为

则终边在轴正半轴匕的角的集合为{xIx=5+2E,A£Z}.

终边在》轴负半轴上的最小正角为日，

则终边在y轴负半轴上的角的集合为{小弯+2E.&CZ}.

故终边在）'轴轴上的角的集合为{刈]=]+依次£©.

变式7.（2023•全国•高一课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重

合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在。。~360。范围内与其终边相同的角.

（1）405°；

⑵Y5。；

（3）495°；

（4）-520°.

405。角是第一象限角，405。=45。+360°,所以在0°〜360。范围内，与405。角终边相同的角是45。角;

(2)

T5。角是第四象限角，-45°=315°-360°,所以在0°〜360。范BI内，与T5。角终边相同的角是315。角;

（3）

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495。角是第二象限角，495。=135。+360。，所以在0。~360。范围内，与495。角终边相同的角是135。角;

(4)

-520。角是第三象限角，一520。=200。-2x360。，所以在0。~360。范围内，与-520。角终边相同的角是

200。角:

综上，（1）第一象限，与45。角终边相同，（2）第四象限，与315。角终边相同，（3）第二象限，与135。角

终边相同，（4）第三象限，与200。角终边相同.

变式8.（2023・高一校考课时练习）已知药=-570。,4=750。,用=120,尾=-60.

（1）?旨出四，见各自终边所在的象限；

⑵在-720。7）。内找出与%△终边相同的所有角.

【解析】（1）=-570=-360-210,在第二象限；

%=750=2x360+30在第一象限；

（2）/?,=120,与从终边相同的角为人360。+120。次wZ,取―

一720。〜0。范围内与它们终边相同的所有角有-240,-600.

与庆二-60终边相同的角为匕360-60,取2=-1,0,

则-720。〜0。范围内与它们终边相同的所有角有-420。,-60。.

【方法技巧与总结】

在0。〜360。范围内找与给定角终边相同的角的方法

（1）把任意角化为。十七360。（攵£2且0。＜。〈360。）的形式，关键是确定上可以用观察法（a的绝

对值较小），也可用除法.

（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,

再依条件构建不等式求出k的值.

题型三：角色所在象限的研究

n

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例7.（2023・全国•高一课堂例题）若角。是第二象限角，试确定角2c,言是第几象限角.

【解析】因为。是第二象限角,所以90。+人360。<。<180。+h360。伏£2）,

可得180。+2々•360。v2av360。+2〃•360。/eZ,

所以2a可能是第三象限角、第四象限角或终边在），轴非正半轴上的角.

Cf

又由^120o+300<j<^120°+60°,jleZ,

当上=3〃,ReZ时，w360o+30o<-<n-360o+60°,^€Z,此时与是第一象限角;

33

当/:=3〃+l,AwZ时，/7.3600+1500<-</?-3600+180°^GZ,此时区是第二象限角；

33

当/:=3〃+2MeZ时，n-360°+270°<-<n-360°+300°,A:GZ,此时二是第四象限角.

33

综上所述，言可能是第•象限角、第二象限角或第四象限角.

例8.（2023・高一课时练习）若角二是第二象限角，试确定2a,1的终边所在位置.

【解析】由于角1是第二象限角，

所以2E+—<a<2E+7i,

2

71aTi

所以4E+7i<<4E+2兀，E+—<一<E+一,

422

所以角2a的终边落在第三象限、第四象限或丁轴的负半轴，

角3的终边落在第一象限、第三象限.

例九（2023•高一课时练习）若a4360+24,kwZ,试确定2a,3分别是第几象限角.

【解析】由a=h360+24得：2a=2h360+48（&eZ）,「.2。为第一象限角；

由a=&360+24得：+12（kwZ）,

当，:=2〃（〃eZ）时，^-H-360+12（neZ）,则擀为第象限角；

当々=2〃+15wZ）时，|=,/-360+192（neZ）,则今为第三象限角；

综上所述：2。为第一象限角；3为第一或第三象限角.

变式9.（2023・高一课时练习）设。是第一象限角，试探究：

（1）2。一定不是第几象限角？

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(2)g是第几象限角？

【解析】(1)因为。是第一象限角，即2版■<0<2k兀嗅k?Z,

所,以4k兀<20<4k冗、冗,keZ,

所以2。一定不是第三、四象限角；

7T

(2)因为。是第一象限角，UP2k7T<e<2kA5，k?z,

所以2女乃<2<2左"+工,〃wz,

3336

当k=0时，。〈襄/是第一象限；

363

当先=1时，，是第二象限；

3363

当±=2时，??是第三象限；

当上=3时，?兀<?<丝、4是第一象限；

363

综上：三是第一、二、三象限角.

变式10.(2023・高一课时练习)已知角a的终边在第四象限.

(1)试分别判断［、2a是哪个象限的角；

(2)求上的范围.

【解析】Qa是第四象限的角,

3凡

2k7r+—<a<2k7r+27r(keZ),

2

,3冗Ctr、

K7T4--<—<k^+^(KeZ),

42

当上=2〃(〃？Z)时，

c34ac.

2n7r+—<y<2H7T+7T(flEZ)

此时］是第二象限;

当A=2〃+l(〃eZ)时，

2n7r+<^-<2HTT+2乃(〃eZ)

此时三是第四象限；

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又,2左乃+弓-<a<24乃+2乃(ksZ)

4k7r+3%v2。v+4联keZ)

此时2。是第三象限或第四象限或y轴的非正半轴；

(2)24乃+耳<a<24乃+2乃(AcZ)

2k7r7ia2k,兀2万八

/.-----+—<—<-----4-(kGZ)

32333

变式11.(2023・全国•高一随堂练习)己知角a的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限:

ry

⑴万；

(3)1；

(4)3a.

【解析】(1)由于a为第四象限角，所以¥+2E<a<27r+2E,k€Z,

2

所以包+人兀<甩<兀+〃兀,&wZ,

42

当上二2〃时，—+2nn<-<n+2nn.neZ,终边在第二象限，

42

当七=2〃+1时，—+2/wc<-<27r+2wt,«eZ,终边在第四象限，

42

所以多的终边在第二或第四象限；

(2)由(1)得3兀+4E<2a<47t+4E,keZ,

所以2a的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴匕

/-、।/.、/口冗,27cct2n,27i,_

(3)由(1)得一+&•一<—<一+k•—JeZ,

23333

当上=3〃时，-+2rni<-<—+2jinjiGZt终边在第二象限，

233

当上=3〃+1时，—+2/m<-<—+2/27T,HGZ,终边在第三象限，

633

当上=3〃+2时，—+2/?n<-<27r+2^/2eZ,终边在第四象限，

63

所以］的终边在第二、第三或第四象限；

(4)由(I)得史+6E<3a<6兀+6E,kwZ,即互+4兀+6E<3a<2兀+4兀+6E,ZeZ,

22

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所以3。的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.

【方法技巧与总结】

已知a的范围，确定:的范围，一般应先将a的范围用不笔式表示，然后再两边同除以〃，根据々的取

值进行分类讨论，以确定区的范围，讨论角的范围时要做到不亘不漏，尤其对象限界角应引起注意.

n

题型四：象限角的判定

例1U.（2U23•甘肃天水•高一秦安县第一中学校考期末）若夕是第二象限角，则180,+。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【解析】由题意a是第二象限角，

所以不妨设360M+90<a<180+360•k（Z金Z）,

所以360°•k+270c<a+180°<3605+360°-k\keZ）,

由象限角的定义可知180,+a是第四象限角.

故选:D.

例11,（2023•高一单元测试）若。为第二象限角，则&/80。+。伏cZ）的终边所在的象限是（）

A.第二象限B.第一、二象限

C.第一、三象限D.第二、四象限

【答案】D

【解析】因为&为第二象限角,M2n-1800+90°<a<In-180°+180°,w€Z,

因此（2〃+&）180。+90。<匕180。+0<（2〃+攵）180。+180。,〃次£2,

而2〃为偶数，当k为奇数时，2〃+左为奇数，则-180。+。（女£2）为第四象限角，

当」为偶数时,2〃+2为偶数，则-180。+。伙EZ）为第二象限角，

所以A・l80o+a（AeZ）的终边所在的象限是第二、四象限.

故选:D

例12.（2023•辽宁辽阳•高一统考期末）若。是第二象限角，则-。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【脩析】由。与-。的终边关于x釉对称，可知若。是第二象限的，则一0是第三象限角，

所以是第二象限角.

故选：B.

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变式12.（2023•内蒙古呼和浩特高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若角夕是第二象限角，则角

a-27（）。的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】角。是第二象限角，则90+360鞍vavl80+360?%,々？Z,

所以—180+360%<a-270°<-90°+360°A,keZ,故角a—270。的终边在第三象限，

故选：C

变式13.（2023•江西景德镇•高一统考期中）角-2023。是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】因为-2023。=1370-6x360。，根据终边相同角的集合知,-2023。与137。终边相同，又137。是第

二象限角.

故选:B.

变式14.（2023•辽宁大连•高一大连二十四中校考期中）若。=T,则。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因为—曰<-4<-兀，故7是第二象限角，

故选:B.

变式15.（2023・高一课时练习）已知角的顶点与原点重合，始边落在入轴的非负半轴上，855c是第几象限

角（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因为8550=2x3600+135）,

所以855。是第二象限角.

故选：B.

【方法技巧与总结】

判断一个角。在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法

（1）若a的绝对值比较大，可通过加上或减去360。的整数倍得到0°〜360。内或一360。〜0°内的一个角

（2）判断£所在象限，则户在第几象限,a就在第几象限.

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题型五：区域角的表示

例13,（2023・高一课时练习）已知角。的终边在如图所示的阴影区域内，则角1的取值范围是

【答案】•£15。+上90。吟＜52.5。+-90。,人2»

【解析】终边在30。角的终边所在直线上的角的集合为£={©々=30。+匕180。,攵62},

终边在180。-75。=105。角的终边所在直线上的角的集合为5：=k|。=105。+-180。,&£2},

因此终边在题图中的阴影区域内的角。的取值范围是{。|30。+-180。工。〈105。+"80。,标2},

所以角券的取值范围是将15。+h90。K0<52.5。+h90°,&eZ

2

故答案为:y15°+A:-90o<-<52.5o+^-90o,A:eZ

例14.（2023・高一课时练习）已知角a的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角a的范围

【解析】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为

71—.37rCf.r

〈a—+2K7T<a<—+2仇攵£Z}5a—+2E<a<——+2An,keZ>

4444

-+2k-n<a<——+2k-n,keZ>u<a：+（2&+1）五＜。＜m+（22+1）兀,&£2

44

71,3兀,,）

=<a—+A7T<a<—+E,ZwZ>.

44

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故答案为：（桁+：,桁+篇（ZeZ）

例15.（2023•安徽芜湖•高一校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角"的集合

是.

【答案】{0—50。+k-360。<«<40°+k-360°,Aez}

【解析】因为终边落在射线04上的角的集合是为{。|。=-50。+h360。,丘耳，

终边落在射线（用上的角的集合为{0c=40。+上360。,左£2}.

所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角。的集合是{©-50。+4・360。工。440。+&-360。«£2}.

故答案为：卜50。+k-3600<ct<40°+k-360。,&wZ}

变式16.（2023・山东烟台•高一校考期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角。的集合

是.

【解析】因为终边落在了轴上的角为90°+h180。,大eZ,

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终边落在图中直线上的角为120+k,360°=120+2h180°,keZ；

300°+n-360°=120°+180°+2/?180°=120°+(2〃+1)180°,z?eZ,

即终边在直线上的角为120°+h180。，keZ,

所以终边落在阴影部分的角为90。+-180。4。《120。+&48（）。,林2,

故答案为：{。|90°+4•180。WaW120。+h1800MeZ}

变式17.（2023•黑龙江哈尔滨・高一尚志市尚志中学校考阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x

轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合.

A75°

\0

Ox

8330。

【答案】{斗-360°-3()°<0<七360°+75。入2}

【解析】阴影部分内的角的集合为{平•360。-30。＜。＜6360。+75。,丘2}

故答案为：{。|七360。-30°〈8＜匕360。+75。,k£2}.

变式18.（2023・高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合:

【解析】因为75。=75乂T而T=三5TT，-30°=-^TT

结合图像可看作号范围内的角，结合任意角的概念可表示为

o12

a2kn--<a<2kn+—^kGZ>.

612I

故答案为:,a2E-四Wo42E+型#eZ

612

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变式19.（2023・山西太原•高一太原五中校考阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边

【解析】由题图，终边。8对应角为2人列kZ,终边以对应角为泉"与且壮Z,

所以阴影部分角。的集合是2人至2叩亍

—f兀—.3兀.

故答案为:2k兀-----,2k兀4------,AeZ

64

变式20.（2023・湖北武汉•高一武汉中学校考阶段练习）集合｛。卜180。+45。《。”-180。+90。,丘2｝中,

角所表示的取值范围（阴影部分）止确的是,（填序号）.

123

【答案】③

【解析】当2=0时，集合｛©45。Wa490。｝,当攵=1时，集合｛a|225。WaW270。｝,

则可得出角所表示的取值范围为③.

故答案为：③.

【方法技巧与总结】

区域角的写法可

（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角a,夕，写出所有与a,尸终边相同的角;

（3）用不等式表示区域内的角，组成集合.

题型六：弧度制与角度制的互化

例16.（2023•全国•高一随堂练习）把下列各角的角度化成弧度：

（1）135;

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(2)90:

(3)60；

(4)Y20•

【解析】(1)由角度制与弧度制的互化公式，可得135=135x—=4^.

1804

(2)由角度制与弧度制的互化公式，可得90=90x品=5

(3)由角度制与弧度制的互化公式，可得6()=60x^=

1803

(4)由角度制与弧度制的互化公式，可得-420=-420x*=-?.

1o()3

例17.(2023♦全国•高一随堂练习)把下列各角从度化为弧度：

(1)180°；

(2)90°；

(3)45°；

(4)30°；

(5)120°；

(6)270°.

JT

【解析】(I)180°=180x——=K.

180

(2)90°=90x—=-.

1802

(3)45°=45x—=-.

1804

3QO=30X^-=—

1806

7i27r

(5)l20°=120x—=—

1803

(6)270。=270x-^-=—

1802

例I8.(2U23•甘肃武威•高一统考升学考试)将下列角度与弧度进行互化:

⑴涉

O

⑵*

(3)10°

(4)-855°

⑸等

O

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【解析】(I)—7i=—xl80=15330

66

(2)xl80=-105

1212

(3)

兀19”

(4)-855°x——=----

1804

(5)—=—xl80=690

66

【方法技巧与总结】

①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住〃。"二180。，这一关系.②用弧度作为单位时,

180

常出现乃，如果题目没有特殊的要求，应当保留"的形式，不要写成小数.③角度制与弧度制不得混用，如

a=2&乃+30。，keZ：/?=h360°+g万，%£Z都是不正确的写法.

题型七：扇形的弧长及面积公式的应用

例19.（2023•浙江宁波•高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为。仅＞0）周长为C,面积为S,弧长

为/，所在圆的半径为，•.

（1）若a=30,，r=8,求扇形的弧长；

（2）若C=16,5=16,求扇形的半径和圆心角.

【解析1（1）由已知得/=8x30x金Jr=4:7r：

1803

C=2r+/=16.

r=4

（2）由已知得。1女，解得70

5=-11=16/=8

2

/1808180360

/.a=—x---=—x---=---,

r714itn

即扇形的半径为4,圆心角为型.

n

例20.（2023•山西晋中•高三介休一中校考阶段练习）圆心角为2的扇形的周长为4,则此扇形的面积

为.

【答案】I

【解析】设扇形的半径为「，弧长为/,则/+2厂=4,又/=2几所以r=l,1=2,扇形的面积

5=-/r=l.

2

故答案为：1.

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例2L（2023•山东枣庄•高•统考期末）已知弧长为三门。的弧所对圆心角为则这条弧所在圆的半径为一

J6

【答案】2

【解析】依题意把/=代入公式/=社得9=三，解得r=2.

3663

故答案为：2.

变式21.（2023•重庆长寿•高一重庆市长寿中学校校考期中）己知扇形的面枳为2,扇形圆心角的弧度数是

2,则扇形的周长为.

【答案】4>/2

【解析】设扇形的半径为「，由题意可得gx2x/=2,解得r=&,

所以扇形的周长为2xJi+2xJI=4&.

故答案为：4x/2.

变式22.（2023•四川广元•岛一四川省也溪中学校校考期中）半径为2cm,圆心角为60。所对的弧长为—

cm.

【答案】—/—7T

【解析】由题意，圆心角。=三，则弧长/=a・R=m-2=弓（51）.

故答案为：y

变式23.（2023・上海嘉定•高•校考期中）已知扇形的半径为10cm,圆心角为60。，则该扇形的面积为一

cm*;

50乃,50

【答案】----/一冗

3--3

圆心角为。，即圆心角为女，该扇形弧长为］竽（）

【解析】60xl0=cm,

所以该扇形的面积为白手'1（）=学（cm2）.

,.4e、、50兀

故答案为：--

变式24.（2023・上海奉贤•高一校考期中）己知半径为2的扇形的圆心角为90,则扇形的面枳

为.

【答案】兀

【解析】因为半径r=2扇形的圆心角为90，则圆心角。==，

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所以弧长/=。，・=四乂2=兀，面积S=[r/=兀.

22

故答案为：7t.

变式25.（2023・甘肃定西•高一统考期末）如图I,折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨,

物纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形408,其中

//108=120,AC=20