沪科版九年级数学上册期末复习考点 专题01 二次函数（7个考点清单+10种题型解读）

专题01二次函数（7个考点清单+10种题型解读）

年多支侪单

目录

【考点题型一】二次函数的定义...................................................................3

【考点题型二】把广数2+/u*+c化成顶点式.........................................................3

【考点题型三】二次函数的图象和性质.............................................................3

【考点题型四】画二次函数y^Lx2+bx+c的图象....................................................4

【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题............................................6

【考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集..........................7

【考点题型七】二次函数的平移...................................................................8

【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式.....................................................9

【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题.........................................10

【考点题型十】根据二次函数度of+班+。的图象判断有关的信息...................................12

【知识点01】二次函数的概念

一般地，形如）=。必+力大+c（小b,。是常数，〃火））的函数，叫做二次函数

【知识点02】二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：产©2+队+c（a,b,c为常数，。却）.

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,A为常数，«#））,顶点坐标是（力，k）.

（3）交点式：y=a（x-ri）（x-xz）»其中xi,X2是二次函数与x轴的交点的横坐标，存0.

【知识点03】二次函数的图象及性质

解析式二次函数严办2+力x+c（4,b,C是常数，存0）

b

对称轴A2a

,b4ac-b'、

顶点

2a4a

a的符号a>0fl<0

­

图象

开口方向开口向上开口向下

%b,4ac-b2士b4ac-b2

最值当x=--B'J,y最小优=-------当工=一二-时，y------

2a4a2a4。

1

最点抛物线有最低点效物线有最高点

当欢-(时，y随x的增大而减小；当X＜_与时，y随工的增大而增

2a

增减性当心＞_乌时，y随X的增大而增大

大；当■时，)，随工的增大而

2a

减小

【知识点04】抛物线的平移

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后

的解析式：二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.

向上侬＞0)［或下(k0)1平移圉个单位一叵回

向右(方＞0)向右供＞0)

［或左(方＜0)］［或左8＜0)］

平移㈤个单位平移同个单位

尸代研向上(BO)［或下依0)］平移坳个单位］产g-杼+%

【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系

1)二次函数产aH+Zu+c(存0),当),=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=O(a/0).

2)cu:2+bx+c=O("0)的解是抛物线产*+/)x+c(HO)的图象与x轴交点的横坐标.

3)(1)〃Uac＞0=方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

(2)岳Tac=0=方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

(3)〃-4ac4)o方程没有实数根，抛物线与上轴没有交点.

【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题

利用二次函数的性质解决许多生活和牛•产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是:

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围

(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值

【知识点07】用二次函数图象解决几何问题

二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、

最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标

和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利

用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题FI中的一些隐含条件，以达到解题目的

反强型帐单

2

【考点题型一】二次函数的定义

【例1】（23-24九年级上•上海奉贤・期末）下列函数中是二次函数的是（）

A.y=2x+l13.y=—C.y=x2+2D.y=&+2

'2x'

【变式1-1]（23-24九年级上•上超松江•期末）下列函数中，属于二次函数的是（）

■2

A.y=x-2B.y=x2C.y=x2-（x+l）:D.y=—

'x~

【变式1-2]（23-24九年级上•上每浦东新•期末）下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=2x+lB.y=x2+1

C.y=（x-l）2-x2D.>'=-V

AT

【变式1-3]（23-24九年级上•上每杨浦・期末）下列函数中，属于二次函数的是（）

,2

A.y=ax1+/?,v+cB.y=（x-l）2-x2C.y-5x2D.y=—

''"x'

【变式1-4]（23-24九年级上.上鬼嘉定•期末）如果函数尸依-1）丁+6-1（人是常数）是二次函数，那

么上的取值范围是.

（考点题型二】把产ax2+b/c化成顶点式

【例2】（23-24九年级上.甘肃的银•期末）用配方法将函数.丫=：/-2]+1写成），=。"—〃）2+太的形式

是.

I13

【变式2-1]（23-24八年级下.云南昆明・期末）抛物线丁=//7的顶点坐标是.

【变式2-2]（23-24九年级上.四川广元.期末）若把二次函数），=/-2工-2化为y=（.L〃『+A的形式，其

中方M为常数，则〃+攵=.

【变式2-3]（23-24九年级上.四川眉山・期末）已知二次函数y=2/+队+c可以写成）,=2（x则

〃十c的取值范围是.

【变式2-4]（23-24九年级上•北京东城•期末）用配方法将二次函数旷=3/一21一4化为），=。（工—/?『十4

的形式为.

【考点题型三】二次函数的图象和性质

【例3】（23-24九年级上.上海长宁•期末）下列关于抛物线y=2/+x—3的描述正确的是（）

3

题.

(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线;

-5

-

-

_

_

_

(2)请根据图像直接写出：当〉W0时，自变量x的取值范围

【变式4-2](23-24九年级上.河南南阳・期末)【操作与探究】已知点P(x,y)在抛物线)，=/+4x+3上移

(1)在下图的平面直角坐标系北川中画出函数y=V+4X+3的图象；

⑵认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：

①函数)，＜0时，工的取值范围是:

②方程K+—=-4的根是；

x

③若无＜力时，y随x的增大而减小，则力的取值范围是；

④若当时，函数y的最小值是-1,最大值是3,直接写出/〃的取值范围.

【变式4-3](22-23八年级下•福建福州•期末)已知二次函数产-』一2-3.

5

T■

—

X—

3

…

T

七

.p

JLr

s

SL

T.*

-J

«41

■

（1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；

⑵若点。（乂），）在该函数图象上

①当y>0时，则式的取值范围为；

②当"1WXV7（/为常数）时，），随X的增大而减小，则，的取值范围是

X........-3-2-101........

y........03430........

【变式4-4]（23-24九年级上.河南南阳.期末）已知二次函数y=f-41+5.

（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=（x-〃>+女的形式，并写出顶点坐标;

（2）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象：

（3）结合图象直接回答：当0c<3时，则y的取值范围是.

【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题

【例5】（24-25九年级上•四川•期末）已知抛物线y=x2+（2«-l）x-3,若当时，函数的最大值

为I,则a的值为.

6

【变式5-1]（23-24九年级」:♦浙江杭州・期末）已知函数），=3公—以+1,当工=_时，该函数V的最小值

是_.

【变式5-2]（23-24八年级下•重庆江北・期末）当x取一切实数时，二次函数y=2/+4x+/〃的最小4,则

常数机的值为

【变式5-3]（23-24九年级上.陕西西安・期末）已知二次函数），=以2_4以+3〃（其中a>0）,31<x<4

时，3'的最大值是4,则。的值为

【变式5・4】（23-24九年级上.浙江杭州・期末）已知二次函数y=ad-4aY+4q+l（awO）,则此函数的顶点

坐标是；若a<0,当时，函数有最小值则”

【考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集

【例6】（23・24力年级上•四川雅安•期末）表格对应值加下表:判断关于x的方程/+/“+。=0的一个解

x的范围是（）

X1234

ax2+bx+c-0.5512.522

A.0cx<1B,1<x<2C.2<x<3D.3<x<4

【变式6-1]（23-24九年级卜.•广东东莞•期末）如图是二次函数M=aF+饭+c和一次函数％=〃〃'+〃的图

)

x>-2D.x<1

【变式6-2]（23-24八年级下.浙江宁波・期末）如图是二次函数），=双2+灰+。的部分图像，由图像可知不

等式a^+Ar+oO的解是.

7

o

【变式6-3］（23-24九年级上.广东茂名.期末）根据下面的表格请你写出方程⑪2+以+。=0

（。工0,a,b,c为常数）的一个近似解：.（精确到0.1）

X22.52.62.652.73

ax2+bx+c-1-0.25-0.040.07250.191

【考点题型七】二次函数的平移

【例7】（24-25九年级上•全国•期末）将抛物线y=f—4x先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单

位长度，得到的抛物线的解析式是.

【变式7-1］（23-24九年级上•江苏泰州•期末）在平面直角坐标系中，将函数y=2V的图像先向右平移2

个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得图像的函数解析式为.

【变式7-2］（23-24九年级上•西藏・期末）将抛物线），=2（x-3『+/向左平移2个单位长度，耳向下平移3

个单位长度，则平移后抛物线解析式是.

【变式7-3］（23-24九年级上•山东潍坊・期末）二次函数产/一公-3的图象先向左平移2个单位长度，再

向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为.

【变式7-4］（23-24九年级上•山东威海・期末）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一效物线y=W

及一点、P，夕的坐标（2,4）.若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为（7,2）,则此时P

8

【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式

【例8】（23-24九年级上.江苏南京•期末）如图是二次函数），=-工2+云+。的图象.

（1）求该二次函数的关系式及顶点坐标；

（2）当）〉。时x的取值范围是.

【变式8-1］（23-24八年级下•福建福州•期末）已知二次函数>，=加+饭+c自变量x与函数），的部分对应

值如卜表：

X・・・-2-1023・・・

y•・•50-3-30••・

（1）求二次函数解析式及顶点坐标；

⑵点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、8两点，若5^=12,求出此时点P的坐标.

【变式8-2］（22-23九年级上•江苏盐城•期末）如图，二次函数的图象经过点（1,0）,顶点坐标为（T-4）.

⑴求这个二次函数的表达式；

（2）直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点;

⑶当0<x<3时，y的取值范围为.

【变式8-3］（23-24八年级下•福建福州•期末）二次函数户"+6•+，•图象上部分点的横纵坐标XV的对

9

应伟如表:

X•••-5-4-3-2-1012rn…

y•・・-19-12-7-4-3-4-7n-19・・・

⑴这个二次函数的表达式为,对称轴是

（2）表中的〃?=,〃=：

（3）若是这个函数图象上的两点，且大〈再〈T，则y%（填，'或或"〈”）；

（4）写出这个函数的一条性质.

【变式8-4］（23-24八年级下.云南.期末）已知抛物线），=/+反+。经过点0,0）和点（0.3）.

（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）当自变量x满足—1Kx43时，求），的取值范围；

（3）洛此抛物线沿x轴平移机个单位后，当自变量工满足1Wx<5时,），的最小值为5,求小的值.

【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题

【例9】（23-24八年级下•重庆九龙坡•期末）函数），=，/+也（〃?工0）与丁=〃氏+〃的图象可能是（）

a4以中V.书T

【变式9-1］（23-24九年级上呐蒙古巴彦淖尔•期末）二次函数丁=O?+几+C的图象如图所示，则一次函

数了=-如+。的图象大致是（）

斗

4』5

10

【变式9-2]（23-24九年级上.广东梅州.期末）函数），=辰2M与），=-与女，0）在同一直角坐标系中的图

X

【变式9-4]（23-24九年级上•四川绵阳•期末）二次函数尸公、法+c的图象如图所示，则一次函数

）,=ax+〃的图象和反比例函数丁=竺叱的图象在同一平面直角坐标系中大致为（）

x

II

【考点题型十】根据二次函数yqd+法+c•的图象判断有关的信息

【例10】（23-24九年级上.江西.期末）二次函数尸加+/»+《"0）的图象如图所示，有下列结论：①

bc<0；②%+8=0；③机为任意实数，则4+〃之卬/+初〃；④。一力+。>0.其中正确的有（）

C.①④D.②④

【变式10-1】（23-24八年级下,湖南长沙•期末）已知抛物线），=*+饭+。的图象.如图所示，则下列结

论中，正确的有（）

®abc>0；②//>4〃c；®a-b+c<()；®2a-b>0i⑤a+c<l.

C.3个O.4个

【变式10-2]（23-24九年级上•北京大兴・期末）如图，在平面直角坐标系宜方中，二次函数

y=a$+云+4々<0）的图象经过点（o,[）,（2,1）.给出下面三个结论：①为-〃=0；②a+b+c>l；③关

于x的一元二次方程52+以+。-〃，=0（〃{1）有两个异号实数根.上述结论中，所有正确结论的序号

是

12

【变式1。-3]（23-24九年级上•山东聊城•期末）已知二次函数），=加+云+c（〃¥0）的图象如图所示，并

且关于x的一元二次方程法+c-〃?=0有两个不相等的实数根，下列结论：①〃2-4址<0；②

而c>0；③a—A+cvO；®m>-2f⑤加+法+。+3=0无实数解，写出正确的序号.

【变式10-4]（23-24九年级上.湖南长沙.期末）如图，二次函数），="+加+《〃工0）的图象与％轴交于

A,B两点，与），轴交于C点，且对称轴为x=l,点4坐标为（-1，0）.则下面的四个结论：①2〃+/?=0；

②加一2/?+c<0；®abc>0；④当><0时，x<l或x>2,其中正确的是

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专题01二次函数(7个考点清单+10种题型解读)

年多支侪单

目录

【考点题型一】二次函数的定义...................................................................3

【考点题型二】把产d+bx+c化成顶点式.........................................................3

【考点题型三】二次函数的图象和性质.............................................................3

【考点题型四】画二次函数/or2+加+。的图象....................................................4

【考点题型五】根据二次函数增减性求某区域的最值问题............................................6

［考点题型六】图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集..........................7

【考点题型七】二次函数的平移...................................................................8

【考点题型八】待定系数法求二次函数的表达式.....................................................9

【考点题型九】二次函数与一次函数或反比例函数共存问题.........................................10

【考点题型十】根据二次函数+以+。的图象判断有关的信息...................................12

【知识点01】二次函数的概念

一般地，形如尸aH+bx+c(67,b,c是常数，的出)的函数，叫做二次函数

【知识点02】二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：尸以2+区+。(。，b,c为常数，＜#0).

(2)顶点式：y=aCx-h)2+k(mh,2为常数，,顶点坐标是(力，k).

(3)交点式：y=a(X-A-|)(.x-xi),其中xi,X2是二次函数与x轴的交点的横坐标，存0.

【知识点03】二次函数的图象及性质

解析式二次函数产加+法+c(a,b,c,是常数，a和)

b

对称轴「五

bAac-b2、

顶点v-■—,------)

2a4a

。的符号a>0«<0

y[/

\

图象/X

开口方向开口向上开口向下

%b4ac-b2当―2时，),“4…2

最值当工=一丁时，y收小°产-------二1八rj，，嫉人a

2a4a2a4。

14

最点抛物线有最低点效物线有最高点

当欢-(时，y随x的增大而减小；当X＜_与时，y随工的增大而增

2a

增减性当心＞_乌时，y随X的增大而增大

大；当■时，)，随工的增大而

2a

减小

【知识点04】抛物线的平移

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后

的解析式：二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.

向上侬＞0)［或下(k0)1平移圉个单位一叵回

向右(方＞0)向右供＞0)

［或左(方＜0)］［或左8＜0)］

平移㈤个单位平移同个单位

尸代研向上(BO)［或下依0)］平移坳个单位］产g-杼+%

【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系

1)二次函数产aH+Zu+c(存0),当),=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=O(a/0).

2)cu:2+bx+c=O("0)的解是抛物线产*+/)x+c(HO)的图象与x轴交点的横坐标.

3)(1)〃Uac＞0=方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

(2)岳Tac=0=方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

(3)〃-4ac4)o方程没有实数根，抛物线与上轴没有交点.

【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题

利用二次函数的性质解决许多生活和牛•产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是:

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围

(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值

【知识点07】用二次函数图象解决几何问题

二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、

最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标

和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利

用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题FI中的一些隐含条件，以达到解题目的

反强型帐单

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【考点题型一】二次函数的定义

【例1】（23-24九年级上•上海奉贤・期末）下列函数中是二次函数的是（）

A.y=2x+l13.y=—C.y=x2+2D.y=&+2

'2x'

【答案】C

【知识点】二次函数的识别

【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的

关键.

【详解】4.y=2x+l是一次函数，故不符合题意；

B.-是反比例函数，故不符合题意；

2x

C.y=d+2是二次函数，故符合题意；

D.丁=际豆不是二次函数，故不符合题意；

故选：C.

【变式1-1]（23-24九年级上•上海松江•期末）下列函数中，属于二次函数的是（）

■2

A.y=x-2B.y=x2C.>»=x2-（x+l）'D.y=—

x

【答案】B

【知识点】二次函数的识别

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ad+云+c（a、b、c•是常

数，。工0）的函数，叫做二次函数.

根据二次函数的定义选择正确的选项即可.

【详解】4、y=x-2是••次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B、）=/符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；

C、），=丁一。+1）2=一2工-1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

2

。、y不是二次函数，故此选项不符合题意.

X

故选：B.

【变式1-2]（23-24九年级上.上海浦东新•期末）下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=2x+lB.y=x2+\

16

C.y=（x-\）2-x2D.y=—

x~

【答案】B

【知识点】二次函数的识别

【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如丁:以、尿+c（a、

。、。为常数，〃工。）的函数，叫二次函数.根据二次函数的定义逐个判断即可.

【详解】解：人）=21+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.），=/+1是二次函数，故此选项符合题意；

C.=+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.），=二不是二次函数，故此选项不符合题意；

x

故选:B.

【变式1-3］（23-24九年级上•上海杨浦•期末）下列函数中，属于二次函数的是（）

,,2

A.y=ax1+bx+cB.y=（x-l）2-x2C.y=5x2D.y=—

【答案】C

【知识点】二次函数的识别

【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐•判断即可求解，熟记：“形如+

bx+c（a，0,其中6、「为常数）的函数是二次函数”是解题的关键.

【详解】解：A、当。=0时，原函数化为：y=〃x+c,则不是二次函数，故不符合题意；

B、y=（x-l）2-X2=X2-2X+1-X2=-2X+1,是一次函数，故不符合题意：

C、y=5/是二次函数，故符合题意；

2

。、y=r，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意；

x~

故选C.

【变式1-4］（23-24九年级上.上海嘉定•期末）如果函数）=（4-1）V+依（人是常数）是二次函数，那

么上的取值范围是.

【答案】k^\

【知识点】根据二次函数的定义求参数

【分析】根据：“形如丁=奴2+云+4。¥0）,这样的函数叫做二次函数”，得至此-IHO,即可.

17

【详解】解：由题意，得："1H0,

・•・2"；

故答案为：2.

【考点题型二】把产4X2+Z?X+C,化成顶点式

【例2】（23-24九年级上.甘肃白银.期末）用配方法将函数y=；i-2x+l写成），=〃（..犷+女的形式

是_________________

【答案】y=i（x-2）2-l

【知识点】把y=ax^bx+c化成顶点式

【分析】本题主要考查了配方法，将），=g-—2x+l化为顶点式即可.

【详解】解：）,=#-2x+l

^(x2-4x)+1

-以+4)-2+1

/if-1

故答案为：y=1（x-2）2-l

113

【变式2-1］（23-24八年级下.云南昆明・期末）抛物线y二-万丁-1-5的顶点坐标是

【答案】（-1T）

【知识点】把y=ax2+bx+c化成顶点式

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.必须牢记二次函数的三种

形式：①一般式：y=ax2+bx+c-②顶点式：），=（工一〃『+攵：③两根式：y=a（x-xj（x-%）.

利用配方法将抛物线的解析式），=-3--％-£转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标.

【详解】解：•・1y=-gx2-x-¥=-g（x+iy-6,

.*抛物线丁=-1x2-X-y的顶点坐标是（-1,-6）,

故答案为：（—1,-6）.

18

【变式2-2](23-24九年级上•四川广元・期末)若把二次函数y=f-2.”2化为)，=(4-炉+4的形式，其

中力M为常数，则〃+k=.

【答案】-2

【知识点】把y-ax2+bx+c化成顶点式

【分析】本题考查了二次函数的顶点式.先由二次函数转化为顶点式，即可得到〃M的值，即可求解.

【详解】解：由题意得，y=x2—2x—2=x2—2.r+1—1—2=(x—1)'—3,

:.h=l,k=-3,

1.h+k=-2.

故答案为：—2.

【变式2-3](23-24九年级上•四川眉山・期末)已知二次函数丁=2/+法+。可以写成则

人+c的取俏范闱是.

【答案】b+c>-5

【知识点】把)~CLX2-^-hx+C化成顶点式

【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确

定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键.

【详解】解：y=2(x-h)2-3=2x2-4fix+2h2-3

2

.-./7=-4A,C=2/7-3

:.b+c=2h2-3-4/?=2(/?-I)2-5>-5

故答案为：b+c>-5.

【变式2-4](23-24九年级上•北京东城・期末)用配方法将二次函数)，号/筌工-的七为安心:-/炉+%

的形式为.

【答案】y=1(x-2)2-6

[知识点】把y=ax^bx+c化成顶点式

【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键.根据配方法求解即可.

【详解】解：y=^x2-2x-4

=；任一甸-4

19

=-(x2-4.r+4-4)-4

13

=-(x-2)--2-4

=^(x-2)2-6.

故答案为：y=^（x-2）2-6.

【考点题型三】二次函数的图象和性质

【例3】（23-24九年级上.上海长宁.期末）下列关于抛物线y=2/+x—3的描述正确的是（）

A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的

C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右测该抛物线是上升的

【答案】。

【知识点】y=a.x2+bx+c的图象与性质

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性

质，可以判断各个选项中的说法是否正确.

【详解】解：•・•抛物线），=2/+-3,

.,.tf=2>0,在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，

选项。正确，符合题意；

故选：D.

【变式3-1］（23-24九年级上•上海浦东新•期末）下列关于二次函数y=+3的图像与性质的描述，正

确的是（）

A.该函数图像经过原点B.该函数图像在对称轴右侧部分是上升的

C.该函数图像的开口向下D.该函数图像可由函数），=/的图像平移得到

【答案】C

【知识点】y=a.x2+hx+c的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可

得.

【详解】解：一二次函数y=-d+3,

•••抛物线开口向下，对称轴为》轴,

20

当工>0时，y随％的增大而减小，故选项8错误，选项c正确;

r=0时，y=3,

二•该函数图象经过点（。，3）,故选项4错误；

该函数图象可由函数），=-/的图象向上平移3个单位得到，故选项。错误；

故选：C.

【变式3-2］（23-24九年级上.上将嘉定.期末）抛物线）,=〃+区+。（〃工0）的对称轴是直线x=-2,那么

下列等式成立的是（）

A.h=2aB.b=-2aC.b=4aD.b=-4a

【答案】C

【知识点】y=ax2+bx+c的图象与性质

【分析1本题考查二次函数的性质.根据二次函数的对称轴为工=-与，进行求解后，判断即可.

2a

【详解】解：•••抛物线产加+加+c（"0）的对称轴是直线尸-2,

b=4a.

故选：C.

【变式3-3］（23-24九年级上•上海金山・期末）如果点A（2,。）、4（3,与在二次函数y=f一式的图像

上，那么ab填","<”或"二”）

【答案】<

【知识点】广〃炉+版的图象与性质

【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当/=2时，当x=3时的函数值即可得到答

案.

【详解】解：在y=f—3x中，当x=2时，y=22-3x2=-2,

当x=3时，J=32-3X3=0,

V-2<0,

a<b,

故答案为：<.

【变式3-4］（23-24九年级上.上每黄浦期末）已知抛物线），=〃/I以ic开口向上，且经过点（3,4）和

21

（-2,4）,如果点（1,yJ与（2,%）在此抛物线上，那么,%.（填或“=”）

【答案】<

【知识点】）=火2+力x+c的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键.

【详解】解：・・・抛物线〉，=加+6+。经过点（3,4）和（-2,4）,

・••对称轴为x=上士a=

22

•・•开口向上，

:.对称轴右侧y随X的增大而增大，

・•・当3<1<2时，

故答案为：<.

【考点题型四】画二次函数产av2+b,r+c的图象

【例4】（23-24九年级上.江苏淮安.期末）画出函数），=/-41+3的图象，根据图象，解决下列问题:

-2-\\Q12345

r-----------------------------------1-------1---------1-------r

।।1।।।।।

、—^2-一」—,——j

（1）当），<0时，X的取值范围是；

（2）当二次函数到），轴的距离小于3时，），的取值范围是

【答案】函数图象见解析；（1）l<x<3；（2）-l<y<24

【知识点】画产以2+云+c的图象、根据交点确定不等式的解集、产ad+6+c的图象与性质

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识.

根据函数解析式求得与x轴的交点坐标，与V轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函

数图象，

22

（I）根据函数图象直接求解；

（2）根据函数图象直接求解.

【详解】解：令尸0,则/一4%+3=0，

解得：X]=1,工2=3,

・・.抛物线与K轴的交点为（1,0）,（3,0）,

令工=0,解得：y=3,

・•・抛物线与y轴的交点为（0,3）,

*.*y=x2-4x+3=（x-2）2-1,

.••抛物线开口向上，顶点坐标为（2,-1）,对称轴为直线”=2

（0,3）关于对称轴对称的点为（4,3）,

函数），=f—4x+3的图象，如图所示，

（1）根据函数图象可知，当）Y0时，x的取值范围是l<x<3.

故答案为：l<x<3.

（2）当x=-3时，），=（一3/一4乂（一3）+3=24,

当工=3时，），=32-4X3+3=0,

又1•抛物线开II向上，顶点坐标为（2,-1）,

・•・当二次函数到1y轴的距离小于3时，），的取值范围是-1<y<24,

故答案为：-i<y<24

23

【变式4-1]（23-24九年级上.宁夏吴忠.期末）根据要求画出二次函数），=f-4x+3的图象并解决相关问

题.

（1）填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线;

（2）请根据图像直接写出：当丁«0时，自变量x的取值范围

【答案】（1）填表见解析，图象见解析；

（2）l<x<3.

【知识点】画产组2+法+c的图象、根据交点确定不等式的解集

【分析】（1）取适当的x的值根据函数解析式求出丁即可填写表格，再根据表格的数值描点、连线即可画

出函数图象；

（2）根据函数图象即可求解；

本题考查了二次函数图象的画法，二次函数与不等式，掌握二次函数图象的画法是解题的关键.

【详解】（1）解：填表如下：

XL01234L

yL30-103L

描点、连线画出函数图象如图:

24

（2）解：由图象可知，当），<。时，自变精工的取值范围为1WXW3,

故答案为：1WXW3.

【变式4-2］（23-24九年级上.河南南阳・期末）【操作与探究】已知点P（%y）在抛物线），=f+4x+3上移

（1）在下图的平面直角坐标系宜万中画出困数>=%2+4%+3的图象；

（2）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：

①函数），<0时，工的取值范围是；

②方程x+—=-4的根是；

x

③若“<力时，y随式的增大而减小，则力的取值范围是；

④若当mvxvo时，函数y的最小值是-1,最大值是3,直接写出，〃的取值范围.

【答案】（1）画图见解析；

（2）®-3<x<-l：②N=-3,占=-1：@//<-2；©-4<m<-2.

［知识点】画y=ax^bx+c的图象'y=ax2+bx+c的图象与性质

【