高考数学解题秘籍-统计概率8

高考数学解题秘籍——统计概率8第二章概率【同源练习】①甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4：1获胜的概率是___.解:记事件M为甲队以4:1获胜,则甲队共比赛五场,且第五场甲队获胜,前四场甲队胜三场负一场,所以PM讲解:负的情况有四种:第一场或第二场或第三场或第四场,主场负为一类情况,客场负为一类情况,共四种情况,第五场主场胜,故上式易理解。②投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解:P③甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为1解:设Ak,Bk记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式P==【题型二:深入理解】有6个相同的球,分别标有数字1,A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立解:有6个相同的球,分别标有数字1,PPA项,P甲B项,P甲C项,P乙D项,P丙【题型三:应用】甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛,比赛采取三局二胜制,甲队每局取胜的概率为12。甲队有一名核心球员,如果核心球员在比赛中受伤,将不能参加后续比赛,甲队每局取胜的概率降为14。若核心球员在每局比赛受伤的概率为（1）第一局甲胜，第二局甲胜①两局核心球员均未受伤:1②第一局未受伤,第二局受伤:1③第一局受伤,第二局受伤中(未上场):1（2）第一局甲胜，第二局甲败，第三局甲胜①三局核心球员均未受伤:1②第一局未受伤，第二局未受伤，第三局受伤：1③第一局未受伤,第二局受伤,第三局受伤中(未上场):1④第一局受伤，第二局、第三局受伤中(未上场):1（3）第一局甲败，第二局甲胜，第三局甲胜①三局核心球员均未受伤:1②第一局未受伤，第二局未受伤，第三局受伤：1③第一局未受伤,第二局受伤,第三局受伤中(未上场):1④第一局受伤，第二局、第三局受伤中(未上场):1综上,甲队获胜冠军的概率为上述式子相加得1【同源练习】①学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:教师评分（满分12分）11109各分数所占比例111某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”,求甲同学此题得分X的分布列及数学期望EX(2)本次数学考试有6个解答题,每题满分均为12分,同学乙6个题的解答均为“B类解答”,记该同学6个题中得分为xix1<x2<解:(1)随机变量X的可能取值为9、9.5、10、10.5、11,设一评、二评、仲裁所打分数分别为x,P=PPP=P=所以X分布列如下表:X可能取值99.51010.511概率31153数学期望EX（2）由（1）得随机变量X的可能取值为9、9.5、10、10.5、11∵即得分为9.5、10共两道的概率.∵PPP=15②一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然ξ所有可能取的值为0当ξ=0当ξ=1当ξ=2当ξ=Pξξ0123P3991∴【题型四:公式拓展】甲,乙,丙三人独立的去译一个密码,分别译出的概率为15A.160B.15C.3解:设事件A为“密码译出”,正面分析问题情况较多,所以考虑利用对立面,A为“没有人译出密码”,则PA=（1）当事件A,①A,B②A,B③A,B④A,B⑤A,B⑥A,B（2）当事件A,①A,B②A,B③A,B④A,B⑤A,B（2）5个射击选手击中目标的概率都是23解:设所求事件为事件A,则A为“射击三次没有一次五人均命中目标”射击一次五人没有全命中目标的概率为1−2得P好题精练【例1】（全国卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜概率.解:(1)记事件M:甲连胜四场,则PM（2）记事件A为甲输,事件B为乙输,事件C为丙输,则四局内结束比赛的概率为P所以,需要进行第五场比赛的概率为P=（3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M:甲赢，记事件N:丙赢,则甲赢的基本事件包括:BCBC、BABCC、所以,甲赢的概率为PM由对称性知,乙赢的概率和甲赢的概率相等,丙赢的概率为PN【例2】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备,i=0,1(1)D=又PBP=(2)X的可能取值为0,PP==PPP=∴数学期望EX=【例3】乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(I)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(II)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.解:记Ai表示事件:第1次和第2次这2次发球,甲共得i分,iA表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.(I)B=P=(II)PA2=PξPPEξ=【例4】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是2(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.解:(I)记事件A:“甲第一