广东省佛山市听音湖实验中学2024-2025学年高二上学期10月段考数学试卷（含答案）

第第页广东省佛山市听音湖实验中学2024-2025学年高二上学期10月段考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不小于5}，B={出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（）A．A⊆B B．A∩B={出现的点数为6}C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件2．已知MA，MB是空间两个不共线的向量，MC=3A．MA，MC共线 B．MB，MC共线C．MA，MB，MC共面 D．MA，MB，MC不共面3．若直线l的方向向量为a=(1，−2，3)，平面α的法向量为n=(−3，6，A．l⊥α B．lC．1⊂α D．l与α位置关系不确定4．设M，N为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（）A．若PM=12，PN=1B．若PM=12，PN=1C．若PM=12，PN=1D．若PM=12，PN=15．a,b,c为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa+ybA．0，0，1 B．0，0，0 C．1，0，1 D．0，1，06．设x,y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),cA．22 B．10 C．3 D．47．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A．15 B．25 C．358．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则直线AC,FB所成角的余弦值为（）A．63 B．53 C．104二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全得部分分）.9．已知PA=0.5，A．如果B⊆A，那么PA∪B=0.5 B．如果B⊆AC．如果A,B互斥，那么PA∪B=0.8 D．如果A,B10．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．BM=12C．AC1的长为5 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为面A1A．B1D⊥平面A1EF B．平面C．点O到直线D1C1的距离为52 D．点O三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知k∈R，若直线l：y=kx+1经过点1,0，则直线l的倾斜角为13．如图所示，电路原件R1，R2，R3正常工作的概率分别为34，1214．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<2)，则当a=时，四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E（1）用a，b，c表示A1（2）用a，b，c表示EF.16．小欣和小敏打算利用节假日在内江游玩，其中4个景点分别是：A“张大千纪念馆”､B“重龙山”､C“罗泉古镇”和D“古宇湖”.他们各自在这4个景点中任意选择一个游览，每个被选择的可能性相同.（1）小欣选择C“罗泉古镇”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小欣和小敏恰好选择同一景点的概率.17．某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．18．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面ACC1A1为正方形，（1）求证：DE//平面B（2）求直线AC与平面B119．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面CDE⊥平面ABCD，AF//DE，DE⊥CD，（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求平面BEF与平面BDE夹角的余弦值；（3）线段CE上是否存在点P，使得AP//平面BEF？若存在，指出点P

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为A={出现的点数不小于5}={出现的点数为5,6}，

B={出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6}，则A∩B={出现的点数为6}，故选项B正确、选项A错误；因为事件A与事件B可以同时发生，

所以事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故选项C、选项D错误.故答案为：B．【分析】利用两个事件的关系、交事件的定义，从而逐项判断找出正确的事件A与事件B的关系.2．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，MA，MB是空间两个不共线的向量，MC=3由共线向量定理知，A，B，C三点共线，由共面向量定理知，MA，MB，MC共面.故答案为：C.【分析】根据向量共线定理和向量共面定理，从而逐项判断找出正确的选项.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为直线l的方向向量为a=(1，−2，3)，平面α的法向量为n=(−3，6，又因为n=-3a，

所以直线l与平面的法向量共线，

所以故答案为：A．【分析】根据已知条件得出直线l的方向向量与平面α的法向量共线，从而找出正确的选项.4．【答案】D【解析】【解答】解：对于A：由PM=12，则由相互独立事件乘法公式，知M，N为相互独立事件，故选项A正确；对于B：由PM=1对于C：由PM=12⇒PM得出PMN=13=PM⋅P对于D：由PM=12⇒PM=12，又因为PM·N=56，

所以M与N不相互独立，故答案为：D.

【分析】根据对立事件概率公式和相互独立事件乘法求概率公式以及已知条件，从而逐项判断找出假命题的选项.5．【答案】B【解析】【解答】解：假设x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则由xa+yb∴由向量共面的充要条件知向量a,这与a,则x，y，z中不存在一个不为0的数，∴x=y=z=0.故答案为：B.【分析】根据空间向量基底的定义、向量共面的充要条件以及反证法运算分析，从而得出x，y，z的值.6．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−4,2)，

由b由a⊥b，得a⋅b=x+y+1=0，解得x=1所以|a故答案为：C.【分析】利用空间向量共线的坐标表示和垂直的坐标表示，从而求出x,y的值，再利用向量的模的坐标表示，从而得出|a7．【答案】C【解析】【解答】解：因为事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)∴1−PA−PB=1−2PB∴P(A)=2P(B)=2则PA故答案为：C．【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式，从而得出PB的值，再利用已知条件求出PA的值，再根据对立事件求出8．【答案】D【解析】【解答】解：取AB的中点O，连接OD，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，所以DO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面ABEF，且两平面交线为AB，DO⊥AB，DO⊂平面ABCD，所以DO⊥平面ABEF，又因为四边形ABEF为正方形，则以O为坐标原点，AB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形ABEF的边长为2，

则A(0,−1,0),B(0,1,0),F(2,−1,0),C(0,2,3所以AC=(0,3,则cos〈所以，直线AC，FB所成角的余弦值64故答案为：D．

【分析】利用已知条件结合菱形的结构特征得出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理得出线面垂直，根据正方形的结构特征，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线AC,FB所成角的余弦值．9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A、B，由B⊆A，可得A∪B=A,A∩B=B，所以P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3，故选项A、选项B正确；对于C、D，由A,B互斥，可得A∩B=∅，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8,P(AB)=0，故选项C正确、选项D错误.故答案为：ABC.【分析】由B⊆A可得A∪B=A,A∩B=B，则判断出选项A和选项B；由A,B互斥可得A∩B=∅，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.10．【答案】B,D【解析】【解答】解：根据题意，对于选项A，

因为BM=对于选项B，因为AC对于选项C，因为AC1=a+则AC1对于选项D，因为AB⋅AC1=故答案为：BD.

【分析】利用空间向量基本定理判断出选项A和选项B；在选项B的基础上，平方后计算出AC1211．【答案】B,C【解析】【解答】解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A1,0,0B1设平面A1EF的法向量为由A1F=−1,1令x=2，则y=4,z=3，所以n=设平面ACD1的法向量为由AC=−1,1,0,CD令a=1，则b=c=1，所以m=对于A，∵DB1=1,1,1，则21≠4∴B1D与平面对于B，∵21≠41≠∴平面ACD1与平面对于C：因为OF=所以OF⋅D1C1所以线段OF的长度为点O到直线D1则OF=所以点O到直线D1C1对于D：因为A1所以点O到平面A1EF的距离为故答案为：BC.【分析】先建系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面A1EF的法向量和平面ACD1的法向量，再利用向量共线的坐标表示得出B1D与平面A1EF不垂直，则判断出选项A；利用向量共线的坐标表示得出平面ACD1与平面A1EF相交，则判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出OF⊥D12．【答案】3【解析】【解答】解：将1,0代入，可得k+1=0，解得k=−1，

所以直线方程为y=−x+1，设直线l的倾斜角为θ，

则tanθ=−1，且θ∈0,π，则θ=34【分析】根据题意，将点1,0代入直线方程，从而得出k的值，进而得出直线的方程，则得出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，从而得出直线l的倾斜角.13．【答案】7【解析】【解答】解：由题意，电路能正常工作的条件是：R3必须正常工作，R1，所以电路能正常工作的概率为12故答案为：716【分析】根据电路能正常工作的条件是：R3必须正常工作，R1，14．【答案】2【解析】【解答】解：因为面ABCD⊥面ABEF，

又因为面ABCD∩面ABEF=AB，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，所以CB⊥面ABEF，

又因为AB⊥BE，如图，以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则A1,0,0因为CM=BN=a，

所以CM=a2CA=同理可得N2所以MN又因为0<a<2，

所以，当a=22时，MN故答案为：22【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，从而求出M，N两点的坐标，再利用空间两点间的距离公式和二次函数求最值的方法，从而得出当a=22时，MN的长最小，最小值为15．【答案】（1）解：A1（2）解：因为A1E=2ED又因为A1F=23则EF【解析】【分析】（1）利用已知条件结合空间向量基本定理，再根据空间向量的线性运算，从而用a，b，c表示A1（2）利用已知条件结合空间向量基本定理，再根据空间向量的线性运算，从而用a，b，c表示EF.（1）A1（2）因为A1E=2因为A1F=则EF=16．【答案】（1）解：在这四个景点中任选一个，每个被选中的可能性相同，

​​​​​​​所以小欣选择C“罗泉古镇”的概率是14（2）解：画树状图如下：

​​​​​​​共有16种等可能的结果，小欣和小敏恰好选择同一景点的结果有4种，则小欣和小敏恰好选择同一景点的概率概率为416【解析】【分析】（1）根据小欣有4种选择，去罗泉古镇的情况有1种，再利用古典概率公式得出小欣选择C“罗泉古镇”的概率.（2）先根据已知条件画树状图得到所有可能出现的情况，再计算两人都去同一景点的情况数，最后用古典概率公式得出小欣和小敏恰好选择同一景点的概率.（1）在这四个景点中任选一个，每个被选中的可能性相同，所以小欣选择C“罗泉古镇”的概率是14（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，小欣和小敏恰好选择同一景点的结果有4种，则小欣和小敏恰好选择同一景点的概率概率为41617．【答案】（1）解：因为甲家庭回答正确这道题的概率是34，

甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，

乙、丙两个家庭都回答正确的概率是13，

记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，

则P(A)=34，P(A)⋅P(C)=112，P(B)⋅P(C)=13，

所以[1−P(A)]⋅[1−P(C)]=112（2）解：有0个家庭回答正确的概率为：P0有1个家庭回答正确的概率为：P所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：P=1−P【解析】【分析】（1）根据独立事件乘法求概率公式，从而可得P(A)，P(A)⋅P(C（2）先分别求出有0个家庭回答正确的概率和有1个家庭回答正确的概率，再利用对立事件求概率公式，从而求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．（1）由于甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)=34，P(A即[1−P(A)]⋅[1−P(C)]=112，所以P(B)=12，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为12和2（2）有0个家庭回答正确的概率为：P0有1个家庭回答正确的概率为：P1所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=1−P18．【答案】（1）证明：连接BC1，在△ABC1中，因为D，E分别为所以DE//BC1，

又因为DE⊄平面BB所以DE//平面B（2）解：建立空间直角坐标系C−ABC则C0,0,0，A2,0,0，B10,2,2，因此B1E=(1,−2,−1)，DE设平面B1DE的法向量为则n⋅B1E=x−2y−z=0n⋅DE=−y+z=0所以n=(3,1,1)为平面B设直线AC与平面B1DE所成角为所以sin【解析】【分析】（1）连接BC1，利用中位线定理得出DE//BC（2）先建立空间直角坐标系，则写出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得到平面B1DE的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线AC与平面（1）连接BC在△ABC1中，因为D，E分别为AB，所以DE//BC1，又DE⊄平面BB所以DE//平面B（2）建立空间直角坐标系C−ABC则C0,0,0，A2,0,0，B10,2,2，因此B1E=(1,−2,−1)，DE设平面B1DE的法向量为则n⋅B1E=x−2y−z=0n⋅所以n=(3,1,1)为平面B设直线AC与平面B1DE所成角为所以sinθ=19．【答案】（1）证明：因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，

DE⊥CD，DE⊂平面CDE，所以DE⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，

所以DE⊥AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为BD∩DE=D，DB⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，所以AC⊥平面BDE.（2）解：由（1）得DE⊥平面ABCD，

因为DA,DC⊂平面ABCD，

所以DA，DC，DE两两垂直，以B为原点，DA,DC,DE为x轴、因为DE=3AF=36，AD=3所以BD=32，AF=则A3,0,0，F3,0,6，E0,0,36所以BF=0,−3,6设平面BEF的一个法向量为n=则n⋅BF=−3y+6z=0n⋅因为AC⊥平面BDE，

所以CA为平面BDE的一个法向量，

则CA=所以cosCA设平面BEF与平面BDE夹角为θ，所以cosθ=所以平面BEF与平面BDE夹角的余弦值1313​​​​​​​（3）解：线段CE上存在点P，点P为CE中点，满足AP//平面BEF.

设CP=λCE因为CE=0,−3,36所以CP=则AP=由（2）知，平面BEF的一个法向量为n=因为AP//平面BEF所以AP⋅n=−3×4+所以线段CE上存在点P，点P为CE中点，满足AP//平面BEF【解