专题7.4 直线、平面垂直的判定与性质（五类核心）-2026年高考《数学》一轮复习考点精讲

专题7.4直线、平面垂直的判定与性质目录目录 1一、5年高考•真题感悟 2二、课程标准•考情分析 15【课程标准】 15【考情分析】 15【2026考向预测】 16三、知识点•逐点夯实 16知识点1、直线与平面垂直的定义 16知识点2、判定定理 16知识点3、性质定理 17知识点4、平面与平面垂直的定义 17知识点5、判定定理 18知识点6、性质定理 18四、重点难点•分类突破 18考点1垂直关系的简单判定 18考点2线线垂直的证明 21考点3线面垂直的证明 29考点4面面垂直的证明 36考点5面面垂直的综合应用 43五、必考题型•分层训练 55A、基础保分 55B、综合提升 61TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考•真题感悟1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【难度】0.65【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可；（3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.【详解】（1）法一、在正方形中，由条件易知，所以，则，故，即，在正方体中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的一个法向量，则，令，则，所以，易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；（2）同上法二建立的空间直角坐标系，所以，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即，设平面与平面的夹角为，则；（3）由（1）知平面，平面，∴，易知，又，则D到平面的距离为，由棱锥的体积公式知：.2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．(1)证明：平面平面；(2)设，且点，，，均在球的球面上．（i）证明：点在平面内；（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）.【难度】0.65【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直；（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论；法二：作出的边和的垂直平分线，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距离相等，得出外心即为，，，所在球的球心，即可证明结论；（ii）法一：写出直线和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，在中由余弦定理求出，即可求出直线与直线所成角的余弦值.【详解】（1）由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）由题意及（1）证明如下，法一：在四棱锥中，，，，∥，，，建立空间直角坐标系如下图所示，∴，若，，，在同一个球面上，则，在平面中，∴，∴线段中点坐标，直线的斜率：，直线的垂直平分线斜率：，∴直线的方程：，即，当时，，解得：，∴在立体几何中，，∵解得：，∴点在平面上.法二：∵，，，在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，作出和的垂直平分线，如下图所示，由几何知识得，，，，∴，∴点是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴点即为点，，，所在球的球心，此时点在线段上，平面，∴点在平面上.（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，，设直线与直线所成角为，∴.法2：由几何知识得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，则，直线与直线所成角即为中或其补角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直线与直线所成角的余弦值为：.3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出．【详解】（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面．（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．【答案】(1)证明见解析.(2)【难度】0.65【知识点】求点面距离、证明面面垂直【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2)过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【详解】（1）证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.（2）如图，

过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.6．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.二、课程标准•考情分析【课程标准】（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．

【5年考情分析】5年考情分析考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）2024年新I卷，第17题,15分证明面面垂直一般2024年新Ⅱ卷，第17题,15分证明线面垂直线面垂直证明线线垂直一般2023年新Ⅱ卷，第20题,12分证明线面垂直线面垂直证明线线垂直较难2021年新I卷，第20题,12分线面垂直证明线线垂直面面垂直证线面垂直一般2021年新Ⅱ卷，第10题,5分证明线面垂直线面垂直证明线线垂直简单2021年新Ⅱ卷，第19题,12分证明面面垂直简单【2026考向预测】选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题．三、知识点•逐点夯实知识点1：直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直知识点4：平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a四、重点难点•分类突破考点1垂直性质的简单判定例1、（25-26高三上·河北衡水·开学考试）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断【分析】根据空间中点、线、面的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,若，则可能平行，也可能相交或者异面，故A错误，对于B,若，则，故B错误，对于C,,则可能平行，可能异面，也可能相交，故C错误，对于D,，又，故，故D正确，故选：D例2、（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，下列四个正方体中，E，F，G均为所在棱的中点，则直线平面EFG的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求异面直线所成的角、判断线面是否垂直、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直【分析】补全截面，由正方体性质及线面垂直的判定定理可判断ABD正确，由与所成的角可判断错误.【详解】如图，在正方体中，设M，N，Q均为所在棱的中点，则E，F，M，N，Q，G共面，平面EFG与平面EFMNQG重合，因为⊥平面，平面，所以，因为四边形是正方形，所以，又分别为中点，所以，所以，又所以平面，所以.同理可得.又，所以直线平面EFMNQG，则直线平面EFG，A正确；同理可得，B，D正确；因为E，F分别为AB，中点，所以，所以是异面直线EF与所成的角，则，故，即EF与不垂直，故直线与平面EFG不垂直，C错误．故选：ABD.【变式训练1】、（多选题）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【难度】0.65【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直、线面平行的性质【分析】根据线线，线面的平行和垂直关系，即可判断选项.【详解】A选项：根据线面平行的判断定理，可知A正确；B选项：若，则直线只与平面的一条直线垂直，不满足线面垂直的判断定理，所以直线不垂直于平面，故B错误；C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确；D选项：若，因为，所以，则，故D正确.故选：ACD.【变式训练2】、（2025高三·全国·专题练习）已知为不同的两点，是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列结论错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则直线【答案】D【难度】0.85【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若，则，且，又，所以，故A正确；对于B，若，则，又，所以，故B正确；对于C，若，则，又，所以，所以，故C正确；对于D，若，则直线，又，所以直线或直线与相交，故D错误．故选：D．考点2线线垂直的证明例3、（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，，.(1)求证：；(2)若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法【分析】(1)根据勾股定理证得,由平面推得，根据线面垂直的判定定理可得平面，进而得到．(2)由三棱锥的外接球表面积为，求得的长度，建立恰当的空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，即可求得两个平面夹角的余弦值．【详解】（1）因为，所以四边形为平行四边形，.在中，，.由余弦定理可得，DB所以，所以为直角三角形，所以.因为平面平面，所以，因为平面平面，且，所以平面，因为平面，所以．（2）由(1)知，两两垂直，所以三棱锥的外接球的直径长为DA2+DB故π⋅DD1因为A1D1=1,由平面，知点在底面的投影是的中点．以为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，则B10,所以B1设为平面的一个法向量，则n⋅B1令，则为平面的一个法向量.易知平面的一个法向量为，则cosm即平面与平面夹角的余弦值为.例4、（2025·广东·模拟预测）如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点.(1)证明：；(2)若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的概念可得线线垂直.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值.【详解】（1）连接，因为是线段的中点，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.又因为平面，所以.又因为平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）取中点，连接.因为为正三角形，为中点，所以.又因为平面平面，平面平面平面，所以平面.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.取中点，则为外接圆的圆心.又因为在同一个球面上，所以平面.因为为正方形，为正三角形，，所以，设，则，.因为，所以，解得，所以..平面的法向量为.因为.所以直线与平面所成角正弦值为.【变式训练3】、（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足．将沿翻折至，使得．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.85【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法【分析】

（1）根据题意先计算，利用余弦定理可得，结合勾股定理有，根据翻折的不变关系和线面垂直的判定定理证得线面垂直，进而得到线线垂直；（2）利用空间向量法计算线面夹角；【详解】（1）由题意可知，，又，所以由余弦定理得，故．又，所以．由及翻折的性质知，又，平面，所以平面，又平面，所以（2）如图所示，连接，由题可知，，故．又，所以，故．又平面，所以平面．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则．由得，则，，．设平面的法向量为，则，即,令，则．设直线与平面所成角为，，则．故直线与平面所成角的余弦值为．【变式训练4】、（2025·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.

(1)求证：；(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【难度】0.65【知识点】面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【分析】（1）连接，过作，垂足为，过作，垂足为，由题意得到，利用面面垂直的性质得到平面，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设等边的边长为2，写出各点坐标，通过证明即可证得；（2）由（1）求得的坐标，进而求得平面ACE的一个法向量的坐标，根据即可求得结果.【详解】（1）连接，过作，垂足为，过作，垂足为，∵为等边三角形，N分别为BE的中点，∴∵平面平面平面平面平面，∴平面以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设等边的边长为2，则设则∵四边形ABCD为平行四边形，M为AD的中点，所以.,,∵，所以，即.

（2）由（1）知,设平面的一个法向量为，取则，所以是平面的一个法向量..所以直线MN与平面ACE所成角的正弦值为.考点3线面垂直的证明例5、（2025·四川达州·模拟预测）在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，称为完全四边形.如图，在完全四边形中，，.将和分别沿BD，DF翻折至和，使得.

(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）根据全等得到，结合可得，，从而，得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两个平面的法向量，计算出两个法向量的余弦值，进而求出二面角的正弦值【详解】（1）因为，所以.因，所以，从而.即，，因为，所以.因为，平面，故平面；（2）由（1）知，平面，又平面，所以，，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图.设，因为，则，则，，，.所以，，设平面的一个法向量为，则，令得，所以平面的一个法向量可取为.又因，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为.所以，设二面角的大小为，则，从而二面角的正弦值为.

例6、（2025·全国·模拟预测）我国古代著作《九章算术》中记载了一种几何体“刍薨（méng）”，中国传统房屋的顶部大多都是“刍薨”，如图所示的五面体为一个刍薨，其六个顶点分别为.四边形为矩形，，，，为的中点，平面平面.(1)求证：平面；(2)若平面平面，且与直线所成角为，求二面角所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）根据面面垂直性质定理可得线面垂直，由线面垂直性质定理可得线线垂直，根据向量垂直的数量积可得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.【详解】（1）因为在中，，且为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，在矩形中，，，由，，，即，则，所以，因为，平面，所以平面.（2）在矩形中，，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，即，由与的夹角为，则，在中，易知，则，在矩形中，，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，取的中点为，连接，易知两两垂直，由，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得，取，设平面的法向量，则，令，则，所以平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，则，所以平面的一个法向量；设二面角的平面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角，则.【变式训练5】、（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．(1)求证：平面；(2)若二面角的正切值为，求四棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的余弦值的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【难度】0.65【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求线面角【分析】（1）延长交于点，连接，推导出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由二面角的定义可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，根据二面角的正切值可求出的长，即可得出点到平面的距离，再利用锥体体积公式可求得四棱锥的体积；（3）过点在平面内作，垂足为点，分析可知与平面所成的角为，再结合正弦定理可得出的正弦值的最大值，进而可得出直线与平面所成角的余弦值的最小值.【详解】（1）因为，为的中点，所以，延长交于点，连接，因为，则，所以，所以，因为，则，在底面中，，，所以，因为为的中点，故为的中点，因为，即为的中点，所以，因为，即，故，因为，、平面，故平面.（2）由（1）可知，因为平面，、平面，故，，所以，二面角的平面角为，因为，，所以，过点在平面内作，垂足为点，则，故，由勾股定理可得，解得，所以点到平面的距离为.由（1）可知，因为，因此.（3）因为，故直线与平面所成角等于与平面所成的角，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，平面，所以，又因为，，、平面，故平面，所以，与平面所成的角为，在中，，，由正弦定理得，故，当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦值的最大值为，即直线与平面所成角的余弦值的最小值为.【变式训练6】、如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用三角形相似证得，结合线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可.【详解】（1）因为，为的中点，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，所以与相似，故，因为，所以，故，因为底面，底面，所以，因为，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，，因为四棱锥的底面是矩形，所以.

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.因为平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则即令，则，，此时，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.考点4面面垂直的证明例7、（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点.

(1)证明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案；（2）连接，取的中点，以为原点，所在的直线分别为，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为四棱锥中，底面是边长为3的菱形，所以，因为平面，平面，所以，由，平面，得平面，又平面，所以平面平面；（2）连接，取的中点，连接，因为，所以，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设为平面的一个法向量，则，令，则，，设为平面的一个法向量，则，令，则，，所以，所以二面角的余弦值为.

例8、（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后．(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的正切值；(3)若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【难度】0.65【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、求二面角【分析】（1）由图翻折可知，，再利用面面垂直的判定证明即可；（2）过点作交于，通过证明平面，得到为二面角的平面角，再求正切值即可；（3）设和的外心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，可知四边形为矩形，设，通过计算可得外接球半径，当时，球的半径最小，此时点与点重合即可证明.【详解】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由题意，又，故，过点作交于，则，连接，，因为平面平面，面面，平面，且，所以平面．因为平面，所以，同理，因为，，，所以由余弦定理得，所以，因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以，所以为二面角的平面角．所以在中，，所以平面与平面夹角的正切值为．（3）由（1）知平面平面，设和的外心分别和，因为、、、均在以为球心的球面上，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，设，显然四边形为矩形，所以．在中，设（），由及余弦定理得，再由正弦定理得的外接圆半径．在中，，，，由余弦定理得，再由正弦定理得的外接圆半径．所以，即，所以，故当时，球的半径最小，此时点与点重合，所以点在平面内．【变式训练7】、（2025·海南三亚·一模）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)已知多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；（2）由，利用锥体的体积公式，求得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为平面且面，所以，又因为，可得因为且面，则平面又因平面面，所以平面平面.（2）解：因为，由（1）可知三棱锥中，由面，则解得，由（1）可知，，两两相互垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由（1）可知，，可得，则，设面的法向量，则，令，可得，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.【变式训练8】、（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点．(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量【分析】（1）取AC的中点O，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质得，再结合余弦定理，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量求法列式求解.【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形，得，，又平面，则平面，而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线，即为与底面的夹角，，由正边长为4，，得，，在中，由余弦定理得，而，解，因此，，又平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设，，，，设平面的法向量为，则，取，得，由与平面所成角的正弦值为，得，整理得，而，解得，所以考点5面面垂直的综合应用例9、（2023·北京·三模）如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，．

(1)求证：平面平面；(2)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求二面角的大小．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析；(2)．【难度】0.4【知识点】证明面面垂直、求二面角、面面角的向量求法【分析】（1）由平面平面，可得平面，进而可得平面平面；（2）选条件②或③：取中点，连接，过点作交于点，进而可证得，，，据此建立空间直角坐标系，可求得平面和平面的法向量，再根据二面角的计算公式即可求解.【详解】（1）因为四边形是矩形，所以．又平面平面，且平面与平面相交于，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）选条件①由（1）知，，在等腰中，顶角不确定，由无法求出，则都不确定，因此不能求出二面角的大小，即①不可选.选条件②取中点，连接，过点作交于点，由（1）知，平面，所以．因为矩形中，，所以平面，所以，所以和都是直角三角形．因为，所以．因为，所以．因为，为中点，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，所以如图以为原点建立空间直角坐标系，

则，因为，所以．因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，所以平面一个法向量为．设平面法向量，，，由，可以取．设二面角为，则．由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为．选条件③取中点，连接，过点作交于点，由（1）知，平面，因为矩形中，，，所以平面，所以和都是直角三角形，因为，，所以，又，，所以，所以在直角三角形中，，所以如图以为原点建立空间直角坐标系，

则，因为，所以．因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，所以平面一个法向量为．设平面法向量，，，由，可以取．设二面角为，则．由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为．例10、（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点．(1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC；(2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由；(3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比．【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析(3)．【难度】0.4【知识点】锥体体积的有关计算、补全线面平行的条件、证明面面垂直、空间向量共面求参数【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面PBC；（2）连接AC，BD交于点O，得到O为BD的中点，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面ACE，进而得到点F与点C重合时，直线平面AEF，得到结论；（3）连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥，利用锥体的体积公式，求得四棱锥的体积，再由点G为PC的靠近C的三等分点，分别求得和，根据，求得即可得到答案．【详解】（1）证明：在中，因为，且E为线段PB的中点，所以，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，因为，，且AB，平面PAB，所以平面PAB，又因为平面PAB，所以，因为，且PB，平面PBC，所以平面PBC，因为平面AEF，所以平面平面PBC；（2）存在，理由如下：如图所示，连接AC，BD交于点O，可得O为BD的中点，因为E为PB的中点，所以，又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，当点F与点C重合时，此时平面AEF，即在BC上存在点F，使得平面AEF．（3）如图所示，连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥，因为，且底面ABCD，所以四棱锥的体积为，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，，，，设，其中，则，因为A，E，G，F共面，则存在实数x，y使得，即，可得，解得，即，所以G为PC的靠近C的三等分点，因为F为线段DC的中点，可得，即，又因设E到平面PCD的距离为d，B到平面PCD的距离为d1，则，所以，又因为F为线段DC的中点，且平面PAB，因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，所以F到平面PAB的距离等于C到平面PAB的距离，此时距离为，则，所以，所以．【变式训练9】、（2025·山东淄博·三模）在直四棱柱中，底面为平行四边形，，在上，，在上，,在上，，为棱上的动点，、分别是二面角和二面角的平面角.(1)当为棱的中点时，

(i)证明:平面；(ii)为底面(包括边界)内的一个动点，且到平面的距离等于到直线的距离，最大时,确定的位置；(2)当最小时，求.【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)在上，且；(2).【难度】0.4【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、证明线面垂直、求点面距离、求二面角【分析】（1）(i)建系，通过可证；(ii)确定的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界），由，结合最大时，最大即可求解；（2）作，连接，得到,.设，再由两角和的正切公式得到进而可求解.【详解】（1）(i)因为，所以，所以，又底面为平行四边形，所以底面为矩形，因为为直四棱柱，所以两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,所以,则，所以，又为平面内两条相交直线，所以平面；(ii)因为平面，平面，所以平面平面，过在底面内作，因为平面平面，所以平面，即到平面为，到直线的距离为，由题可知，由抛物线定义知的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界），以中点为原点，所在直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为：，设，，最大时，最大，，当时，，当时，，所以，所以当时，最大，即最大，此时在上，且.（2）作，连接，因为，且为平面内两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以，由直角三角形面积易得：，因为，为平面内两条相交直线，所以平面，同理，所以，所以四边形是矩形，所以，因为，所以，所以二面角的平面角即为,同理二面角的平面角即为.当与（或）重合时，，，当当不与（或）重合时，设，，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，最小时，最小，此时，综上.【变式训练10】、（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．

(1)求证：(2)当时，求直线与直线所成角的余弦值(3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【难度】0.4【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出平面，平面进而得出线面垂直；（2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解；（3）先根据线面垂直得出点到平面的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为．【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为在平面内，所以

又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以．（2）因为，所以，所以

又因为为等腰直角三角形，为的中点，所以

取的中点为，连接，则，且，所以为异面直线，所成的角或其补角

在直角中，，所以，在中，，所以，直线与直线所成角的余弦值为．（3）设，则，

设，则．过点作的垂线，垂足为，由于是确定的，所以当三棱锥的体积最大时，即为点到平面的距离最大，即点到平面的距离最大．过点向作垂线，垂足为，又因为平面，所以，平面，所以平面，所以为点到平面的距离．故，，当，即时等号成立

此时，，则点到平面的距离为，故直线与平面所成角的正弦值为．

五、分层训练1．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【难度】0.85【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可.【详解】对于A，如图，在正方体中，记为，为，为，平面为，则有，但与平面不垂直，故A错误；对于B，若，则，又，存在，满足，因为，则，所以，故B正确；对于C，如图，在正方体中，记为，平面为，记为，平面为，则有，但平面平面，故C错误；对于D，若，则或，故D错误.故选：B2．（多选题）如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（

）A．与平行B．C．直线、、中，任意两条都是异面直线D．过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为【答案】BCD【难度】0.65【知识点】判断正方体的截面形状、平面的概念及其表示、异面直线所成的角的概念及辨析【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案.【详解】由题意还图可得对于A，由，则，故A错误；对于B，由，则，故B正确；对于C，由，，则两两异面，故C正确；对于D，取的中点为，连接，如下图：由分别为的中点，则，所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面，易知，，则面积为，故D正确.故选：BCD.3．（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.【答案】(1)证明见解析(2)(3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为【难度】0.65【知识点】求cosx(型)函数的值域、证明线面垂直、求线面角、求二面角【分析】（1）由题意得到平面，即得，再由可证平面，由线面垂直可得；（2）过在平面内作于，连接，证明平面，得到为二面角的平面角，在中，利用三角函数的定义求解即得；（3）由平面得到到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积求得，设直线与平面所成的角为，求得，推得当时，最小，从而