2023年高考数学概率与统计部分知识点梳理

高考数学概率与记录部分知识点梳理

一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率附近似值.

1.随机事件口日勺概率口，其中当口时称为必然事件；当口时称为不也许事件P（A）=O；

注：求随机概率的三种措施:

（一）枚举法

例1加图1所示，有一电路口是由图示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个

开关中的任意两个开关，使电路形成通路.则使电路形成通路的概率

是

分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个也诧出现的成果总数，从中找出能使电路形成通路的成

果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中口勺两个，也许出现的成果数有10种，分别是ab、ac、ac、ae、be、bd、be,cd、ce、de,其中能形成通路的

有6种，因此p（通路）=口=口

评注:枚举法是求概率的一种重要措施，这种措施一般应用于也许出现的成果比较少的事件的概率计算.

（二）树形图法

例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同步各出一张牌定胜败，其中象胜虎、虎

胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相似，则为平局.例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，

两人同步出象牌，则两人平局.假如用A.B.C分别表达小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1.B1.C1分别表达小明的象、虎、鼠三张牌,

那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

分析：为了清晰地看出小亮胜小刚的就率，可用树状图列出所有也许出现日勺成果，并从中找出小刚胜小明也许出现的成果数。

解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，也许出现的成果有9种，并且每种成果出现B勺也许性相似，其中小刚

胜小明的成果有3种.因此P（一次出牌个刚胜小明）=□

点评：当一事件要波及两个或更多的原因时，为了不重不漏地列出所有也许的成果，通过画树形图的措施来计算概率

（三）列表法

例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字构成一种两位数.请你用画树形

（状）图或列表的措施求：（1）构成的两位数是偶数的概率；（2）构成的两位数是6的倍数的概率.

分析：本题可通过列表的措施，列出所有也许构成的两位数的也许状况，然后再找出构成的两位数是偶数的也许状况和构成两位数

是6的倍数的也许状况。

解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23,24,32,34,42,43.因此（1）两位数是偶数的概率为口.（2）两位数是6

的倍数的概率为□.

点评：当一事件要波及两个或更多的原因时，为了不重不漏地列出所有也许叼成果，通过画树形图口勺措施来计算械率

2.等也许事件的概率（古典概率）：p（A）=n0

3.互斥事件：（A.B互斥，即事件A.B不也许同步发生）。计算公式：P（A+B）=P（A）+P（B）。

4.对立事件：（A、B对立，即事件A、B不也许同步发生，但A、B中必然有一种发生）。计算公式是：P（A）+P（B）=1；P（U）=1

—P（A）;

5、独立事件：（事件A、B的发生互相独立，互不影响）P（A・B）=P（A）・P（B）。提醒：（1）假如事件A、B独立，那么事件A

与口、口与口及事件□与□也都是独立事件；（2）假如事件A、B互相独立，那么事件A、B至少有一种不发生的概率是l-P（AEJB）

=1-P（A）P（B）；（3）假如事件A、B互相独立，那么事件A、B至少有一种发生的概率是1-P（□□□）=1-P（口）P（匚I）。

6、独立事件反复试验：事件A在n次独立反复试验中恰好发生了口次的概率Z）（是二项展开式□的第k+1项），其中□为在一次独

立反复试验中事件A发生的概率。

提矍：（1）探求一种事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解（分类或分步）转化思想

处理，把所求的事件：转化为等也许事件的概率（常常采用排列组合的知识）；转化为若干个互斥事件中有一种发生日勺概率；运用对

立事件的概率，转化为互相独立事件同步发生的概率；看作某一事件在n次试脸中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

（2）事件互斥是事件独立的必要非充足条件，反之,事件对立是事件互斥的充足非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设

事件A=，B=；②列式计算；③作答。

二、随机变量.

1.随机试验的构造应当是不确定的.试验假如满足下述条件：

①试验可以在相似的情形下反复进行；②试验的所有也许成果是明确可知的，并且不止一种；③每次试验总是恰好出现这些成果中

的一种,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一种成果。它就被称为一种随机试验.

2.离散型随机变量：假如对于随机变量也许取的值，可以按一定次序一一列出，这样日勺随机变量叫做离散型做机变量.若&是一种

随机变量，a,b是常数.则□也是一种随机变量.一般地，若刍是随机变量，□是持续函数或单调函数，则口也是随机变量.也就是

说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量&也许取时值为：口

士取每一种•••

•n，

值□的榜率

口，则表称

为随机变量

&的概率分

布，简称自

日勺分布列.

•••♦••

PPl〃2Pi

有性质：①口；②口.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做持续型随机变量.例如：□即口可以取0〜5之间的一切数，包括

整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：假如在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立反复试验中这个事件恰好发生k次的就率是：□［其中

口.于是得到随机变量看的概率分布如下：我们称这样的随机变量自服从二项分布，记作口〜B(n・p),其中n,p为参数，并记

□.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立反熨试验.关键是看某一事件与否是进行n次独立反受，且每次试验只有两种成臭，假如不满足此

两条件，随机变馋就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试脸成果，此时可以把它看作独

立反复试验，运用二项分布求其分布列.

4.几何分布：123k•••

“口”表达在

第k次独立

反复试验时，

事件第一次

发生，假如把

k次试验时

事件A发生

记为口，事A

不发生记为

口，那么口.

根据互相独

立事件的概

率乘法分式：

□□于是得

到随机变量

&的概率分

布列.

•••

Pqqpq:pqip

我们称E服从几何分布，并记口，其中口

5.(1)超几何分布：一批产品共有N件，其中有M(MVN)件次品，今抽取□件，则其中的次品数自是一离散型随机变量，分布列为

口.1分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件时取法数，假如规定□〈□时口，则k的范围可以写为k=0,1,…，

nJ

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品构成，今抽取「件(IWnWa+b),则次品数专的分布列为口.

⑶超几何分布与二场分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品构成,刀放回抽取n件时,其中次品数《服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数□的分

布列可如下求得：把□个产品编号，则抽取n次共有口个也许成果，等也许：口含□个成果，故口，即口〜口.［我们先为k个次品

选定位置，共口种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法］可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时,

□,因此二项分布可作为超几何分布日勺近以，无放回抽样可近似看作放回抽样.

三、数学期望与方差.

L期望的含♦・・•••

义:一般地,

若离散型随机

变量占的概率

分布为

…•••

PPlPlPi

则称多=»〃1+%2〃2+.一+与〃，,+…为号的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反应了离鼓型随机变量取值

的平均水平.

2.⑴随机变量□的数学期望：.

①当口时,口，即常数的数学期望就是这个常数自身.

②当□时，口，即随机变量&与常数之和的期望等于占的期望与这个常数附和.

⑵单点分布：口其分布列为：□.

③当口时，01

□,即常数

⑶两点分布：口，其分布列为：（p+q=1）与随机变量

乘积的期望

⑷二项分布：口其分布列为（P为发生□的概率）等于这个常

数与随机变

⑸几何分布：口其分布列为□〜口.（P为发生□的概率）量期望的乘

积.

3.方差、原则差曰勺定义：当已知随机变量g日勺分布列为□时，则称口为匕E

Pqp

的方差.显然口，故口为4B勺根方差或原则差.随机变量4的方差与原则差都反应了随机变量4取值的稳定与波动，集中与离散的程

度.□越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量〃=，/+〃的方差（喈（a、b均为常数）

⑵单点分布：口其分布列为口40i

⑶两点分布：□其分布列为：（p+q=1）

pqp

⑷二项分布：口

⑸几何分布：口

5.期望与方差的关系.

⑴假如口和□都存在，则口

⑵设自和口是互相独立口勺两个随机变量，则口

⑶期望与方差的转化：口⑷口（由于口为一常数）口.

四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于持续型随机变量宫，位于x轴上方,4落在任一区间口内的程率等于它与x轴.直线口与直线口所囤

成日勺曲边梯形的面积

（如图阴影部分）日勺曲线叫勺密度曲线.以箕作为

图像的函数口叫做&的密度函数,由于

是必然事件，故密度曲线与X轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：假如随机变量2曰勺概率密度为：□.（□为常数，且口），称&服从参数为□的正态分布,用口〜口表

达.□的体现式可简记为口，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若□〜口，则&的期望与方差分别为：口.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在X轴上方，与X轴不相交.

②曲线有关直线x=〃对称.

③当□时曲线处在最高点，当x向左、向右远离时，曲线不停地减少，展现出“中间高、两边低”日勺钟形曲线.

④当□〈□时，曲线上升；当口＞口时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两