【小升初专项训练】6幻方

第6讲幻方

第一关。完全幻方

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完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等.

【例2】在下表的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.

【例3】如图所示，一个方格内每行、每列及对角线，的三个整数的和都相等，求X。

【答案】11

【例4】如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数

字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中星号处代表的数字是多少？

【答案】1

【例5】“数独”是目前非常流行的一种数字游戏，二阶数独是在一个4X4的方格表内让行的.在此

游戏完成时，在4X4方格表内的每一行、每一列及每个在角落上的2X2方格表上的数字都恰好有

数字1,2,3,4各一个.当将图中的方格表完成后，在4X4方格表四个角上.的数字之和是多少？

【答案】10

【例6】图中的4X4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4,使得方格中

的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四

个数字之和为多少？

【答案】12

【例7】在幻方中，每行、每列和每条主对角线上的数字的和都相同.那么在如图所示的未完成的幻方

中x应该是多少？

【答案】12

【例8】将数字1-9填在如图口，使横加、竖加、斜加的和都是15.

【例10】将1-16（已填上的数除外）分别填入下面空格中,使每一横行、竖行、斜行上4个数的和都等

于34

144

127

105

132

61594

121714

310165

138211

【答案】

【例11】将自然数I到16排成4X4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶

幻方.南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出

两个不同的4阶幻方。

【例12】将I〜9九个数字填入“O”内，使每条直线上三个数相加的和是15（数不能重复使用）.

【例13】大禹治水时，从洛水里出来一个乌龟，背上有一个图表每行每列及两条对角线上的三个数字之

和都.是15,这种图称为三阶幻方.

用数1,2,3,4,5,6,8,9,10能否组成一个三阶幻方？试说明理由.

【答案】不能，三阶幻方中的9个数字之和必须是9的倍数，而数1,2,3,4,5,6,8,9,10的

和为48,不是9,的倍数，不满足要求

【例14】用2,4,6,12,14,16,22,24.,26九个偶数编制一个幻方.

[答案]I12[26]41

【例15】找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都

等于60。

【例16］在如图所示的方格中，填入1〜9这9个数字，使每个“田”字形方格中的4个.数字之和都相

等，并且大方格两条对角线上的3个数字之和相等.

【例17】从1〜13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使得横行的四数之和相等，每竖行的

三数之和相等，则没有被选上的那个数是多少？

【答案】7

【例18］如图所示的方格中每行、,每列及每条对角线上的5个数字之和都等于20,而图中未填数的空格

中只能填3个不同的数字〔这3个数字可以被多次使用），那这三个数字之和是多少？

【例19】将数字1〜6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复.灰色粗线两侧格内数

字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1.

2

23

64

45

13

1

【例20】在方格中分别填入1〜5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5

这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的

结果等.于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数ABC等于多少？

B

【答案】455

【例21］如图，在5X5的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连

的两个方格必须有公共边）现在已经给出了1、2、3、4各两个，那么，表格中所有数的和是多少？

【答案】

【例22］在如图所示的5X5方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数

的和都是30.要求：填入的数字只有两种不同的大小，且一种是另一种的2倍.

617

51

6

14

513

86817

58881

48644

444414

【答案】544134

【例23］在如图的每个方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7中一个数，使得每行、每列的7个数各不

相同；并且圆圈中的数等于与它相邻的四个数的乘枳.那么★处所填的数是多少？

【答案】6

【例24］如图，将1-9填入3X3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,

你一共可以得到多少种填法？

【答案】388

第二关完全幻方的变形

乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等.

【例25】将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图的6个圆圈中，使.每条线上三个数之和相等

【例26】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在图中的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直

线上的三个数之和相等.应怎样填？

【例27】把1〜12,12个自然数填入图中的小圆内，使每边上四个数的和相等，并使这个和最小？最大？

（答案不唯一）

【例28】将2,4,6,8,10这5个数填入图中的圆圈中，使每条对角线上的三个数之和相等且等于正

方形四个顶点上的数之和

【例29】只用2,3,5三个数（可重复使用）填在右图中的O内，使得每个三角形三个顶点上的三个数

的和都相等.

2

【答案】（答案不唯一）

【例30】将1至8这8个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的。内，并使每个面上的四个。内

的数字之和都相等.

【例31】201。年是虎年，请把1,3,5,…21这11个数不重复的填入虎额上的“王”字中，使三行,

一行的和都等于35

【例32】六边形填空，19个数字，同一条直线上数字和38。

【答案】

【例33】请将1,2,3,4,…，11,12共12个数填入下列“井”字图形的12个。内，要求:

（1）每个数都用一次;

（2）每个“口”字四个角上四个数之和均相等，四条直线上四个数之和也相等，且等于各“口”

字四个角上四个数之和.

（答案不唯一）

【例34】请将数字I至9分别填入图中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的差（大

减小）均为3或4.请给出一种填法，并求出共有多少种填法.

・第三关乘幻方

乘幻方指一个幻方行列、对角方各数乘积相等.

【例35］在图示的方格中，每行、每列以及对角线方向上的三个数相乘的积都相等.那么，两个空方格

中所填数的和是多少？

【答案】38

【例36】小华需要构造一个3X3的乘枳魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘枳都相

等；现在他已经填入了2,3,6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于多少？

【答案】36

【例37】小明需要构造一个3X3的“乘积”幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个正整数的乘

积都相等，现在已填入1、8、9三个数，那当乘积幻方构造完毕后，等于多少？

【例38】将10、15、20、30、40和60填入图中的圆圈中，使A,B,C三个小三角形顶点上的3个数

的积都相等.那么相等的积最大为多少？

25,50,100填入图，构成一个幻积为1000的三阶幻方.

【例40】请将1〜9这9个数填入右图3X3表格中，使得第I,2行三数的乘积分别是70,24,第1,2

列三数的乘积分别是21,72

70

【例41］你能在3X3的方格表（如图）中填入彼此不同的9个自然数（每个格子里只填一个数），使得

每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗？若能，请填出一例，若不能，请说明理由.

【答案】2005的正约数只有4个，如果使得每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005,

那么需要2005有9个不同的正约数，所以不能填出.

第四关反幻方

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等,

具有这种性质的图表，称为“反幻方”

【例42】将数I,2,3各三个分别填入3义3表格中，使各行、各列及两条对角线上的三个数互不相同，

请问，有没有满足条件的填数方法，若有，请给出一种填数方法.

【答案】没有

【例43】将数1,2,3,4各四个分别填入4X4表格中，使各行、各列及两条对角线上的四个数互不相

同，请问，有没有满足条件的填数方法，请在“没有”和“有”中勾选合适的答案.若选“有”，请

给出一种填数方法.

【答案】没有

【例44】将1〜9这9个数填入图中的9个方格中，使得任一行，任一列以及两条斜线上的三个数之和

互不相同，并且相邻的两个数在图中的位置相邻.

【例45］在图（a）中的5X5的方格表中填入A、B、C、D、E五个字母各5次，使得每行、每列及两

条对角线上的五个字母均不相同。

【答案】⑻

【例46】在4X4的方格纸的16个小方格内，从1,3,5三个数中任选一个数填入.能不能使得4X4

的方格纸的每行、每列以,及两条对角线上的四个数的和均不相同.如果能，请在如图的小方格内填

上满足要求的数；如果不能，请说明理由.

【答案】4X4的方格纸共有4行，4列及2条对角线，一共有10个数:

由于只能从I、3、5中任选一个数填入，而4个奇数之和为偶数，这就是说，四个小方格内的四数之

和能是4到20中的偶数.

从4到20（包括4和20）不同的偶数只有9个，但要使4X4方格纸的每行、每列及两条对角线四数

之和均不相同，需要10个不同的数.

因此，不能使得4X4的方格纸的每行每列及两条对角线上的9个和数均不相同

第五