2023年高考数学一轮复习（学生版）：解答题题型突破六 概率与统计

解答题题型突破六概率与统计

（对应答案分册第60硬页）

通过对近几年高考试题分析，在高考解答题中，概率与回归分析、独立性检验、随机变量及

其分布列相结合的综合问题既是考查的热点又是重点，设计成包含概率、随机变量的数学期望与

方差统计图表的识别与应用等知识的综合题，以实际应用问题为载体，考查考生应用数学知识和

基本方法分析问题和解决问题的能力.

I突破点。概率知识的综合应用

考向1频率与概率的综合问题

倒&年二匕京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案:方案一、

方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

男生文生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生有寺方案一的概率；

⑵从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人估计这3人中恰有2人支持

方案一的概率；

⑶将该校学生支持方案二的概率估计值记为A.假设该校一年级有500名男生和300名女

牛,除一年级外其他年级学牛支持方案二的概率估计值记为"，试比较外与。的大小.（结论不要

求证明）

频率是事件力发生的次数0与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.

频率本身是随机变量，当〃很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.解

此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.

【突破训练1】⑵必•北京期末某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，

销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：

牙膏品牌ABCDE

销售价格152552035

市场份额15%10%25%20%30%

⑴从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管,估计其销售价格低于25元的概率.

⑵依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中1和8共抽取了〃管.

空〃的值；

②从这〃管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测.记/为抽到品牌8的牙膏数量，求Y的分

布列和数学期望.

⑶品牌，'的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额.原有5个品牌的

牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变.设本月牙膏的平均销售价为每管小元，下月牙膏的

平均销售价为每管4元，比较〃”4的大小.（只需写出结论）

考向2独立事件与独立事件的概率综合问题

^0(年全卜甲、乙、内三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者

被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,

负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰,

另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为去

(1)求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

⑶求丙最终获胜的概率.

解决这类问题的关犍是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆

分，以及对立事件概率的求法，即三个公式的联用:WU历文①硝⑸（48互斥）/公）=1-

凡o尺/的文①・H历（46相互独立）.

【突破训练2]匕京市n三模拟工作人员需送入核电站完成某项具有高辐射危险

的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次.每人工作时间均不超过10分钟，如具10分

钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人;如果10分钟内已完成任务则不再派人.现在一共只有

甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为以看也日也号假定各人能否完成任

务相互独立.

⑴计划依次派甲、乙、丙执行任务，

Q型能完成任务的概率；

期派出人员数I的分布列和数学期望可力.

⑵欲使完成任务的概率尽可能大，且所需派出人员数才的数学期望尽可能小,你认为应该按

什么次序派出甲、乙、丙?（直接写出答案即可）

俚破点⑥样本分布与概率的综合应用

考向1统计图与概率的结合

甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如

下:甲公司规定底薪80元,每相售T牛产品提成1元;乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45

件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.

⑴请将两家公司各一名推销员的日工资M单位:元)分别表示为日销售件数〃的函数关系式;

(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计彳导到妇图所

示的条形图.若记甲公司的推销员的日工资为％乙公司的推销员的日工资为将频率视为概率.

若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度考虑，请你利用所

学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.

频数

45

40□甲

35

30□乙

25

20

15

150

4244464850日销售件数

。

■♦统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”

破解此类条形图、离散型随机变量的分布列与期望、分段函数相交汇的开放性问题的关键:

一是会识图获取数据，能从条形图中读出频数，进而求出频率;二是会运用分段函数式表示所求;三

是会转化，会对开放性问题进行转化，如本题才巴对两公司的选择转化为匕匕较两公司推销员的日均

收入的高低，从而作出选择.

【突破训练3](2022•湖南第一次月考今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体

内某种自身免疫力指标,从在本院休检的人群中随机抽取了10()人,按其免疫力指标分成如下五

组：(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50,60].其频率分布直方图如图1所示.今年六月,某医药研究所

研发了一种疫苗,对提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分

为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标J，与疫苗注射量x个单位具有相关关系,

样本数据的散点图如图2所示.

)频率

0.026

0.024-----------------

0.008----------------------

0.002---------------------------,免疫力指标

0102030405060

图1

免疫力指标义

90

70

60

50

30

[：]；：疫苗注射明#

01030507090

图2

⑴健管中心从自身免疫力才旨标在（40,60］内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记/表示

这3人中免疫力指标在（40,50］内的人数，求¥的分布列和数学期望.

⑵由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定:自身免疫力指标较低的

成年人注射疫苗后,其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以健管

中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位.

AA八

附对于一组样本数据（xMOM,…其回归直线y=b户a的斜率和截距的最小二乘估

*古八斗：」配丛日田）上阳3行八-1一

计值分别为bY~———,a=y-bx.

高（卬x）Z/f-nx

考向2统计表与概率的结合

^0(年全国某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：/)和使

用了节水龙头50天的日用水量数据彳导到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用[0,[0.1,[0.2,[0.3,[0.4,[0.5,[0.6,

水量0.1)0.2)0.3)0.4)0.5)0.6)0.7)

频数13249265

使用了廿水龙头30天的日用水量频数分布表

日用[0,[0.1,[0.2,[0.3,[0.5,

水量0.1)0.2)0.3)0.4)0.5)0.6)

艘151310165

⑴作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.

34TT

3・2TT

・.

30I++

2•8+

2・6X4-

L4.

2•±L

LL

・4l1

22.I

•I

2GLTT

1•8r

一T

1•GL-TT

・4

1-+-

1•4l2L+4

1•2i.XL

L±

0•0ot&L

-±

•8t6

0LIr

・4

0LTr

0・2rT

・r

o

0.20.30.40.50.6日用水量加

⑵估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m的概率.

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?(一年按365天计算，同一组中的数据以

这组数据所在区间中点的值作代表)

一求解决概率与统计综合问题的一般步骤

第一步:弄清题意，理原条件和结论,找到；

审清楚题意送第数苴冬丹.......:

第二步_:把图形语言转化为数字，将图表中

找数量关系:电教由投传九公式中的字母

二找准公式，根据图表教给代入公式

第aJ

建解决方案二M算数值

第四步

判断得结论

【突破训练4],山西高考凌拟某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解新员工对工

作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，并统计他们的日加工零件数彳导到以下数据：

日加工零[80,[120,[160,[200,[240,[280,

件数（个）120)160)200)240)280)320]

人数51025202020

（1）已知日加工零件数在[80,120）范围内的5名员工中，有3名男工,2名女工，现从中任取

2名进行指导求他们性别不司的概率；

⑵完成频率分布直方图，并估计全体新员工每天加工零件数的平均数（同一组中的数据用该

组所在区间的中点值为代表）.

一率t

W-----丁

0.00625-------1

0.00500-------T

0.00375-------T

0.00250-------1

0.00125-------T

-A/vC.H加工零件数/个

080120160200240280320

［突破点❸回归分析与概率的综合应用

010（「•中庆模某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售

数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示（M吨）为该商品进货量,M天）为销售天数）:

X/吨2345689n

j，/天12334568

0234567891011«/l^

⑴根据上表数据在网格中绘制散点图.

AAA

⑵根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程丫=bwa.

⑶在该商品进货量M吨)不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量M吨)恰有一个值

不超过3吨的概率.

An__n一一A

芍

X(xi-x)(yry)Xy,・nxy__88

参考公式和数据:b鼻-_2，a^y—bx，N呼」56,2之41.

."(x「x)2Xxj-nx1=11=1

|=J1=1

二.回归分析问题的类型及解题方法

⑴求回归方程

首先根据散点图判断两变量是否线性相关，如果是线性相关，那么可利用公式,求出回归系数

b,然后利用回归直线过样本点的中心求出系数a.

(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值.

A

⑶利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b.

(4)回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当"越趋近于1时,两变量的线性相关性

越强.

【突破训练5］某单位对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从

2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下(人均年纯收入)：

年份2015年2016年2017年2018年

年份代码x1234

收入M百元)25283235

⑴请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出P关于*的线性回归方程y二b"a,并估计甲户

在2019年能否脱贫.(注:国家规定2019年脱贫标准:人均年纯收入为3747元)

(2)2019年初,根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫,现从这5户中

抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率.

An■■八A

参考公式:b庠答,a0TK,其中工，为数据相，的平均数.

Nxf-nx

（突破点独立性检验与概率的综合应用

1

0J0--广东阶段）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生

作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究

团队统计了某地区1000名患者的相关信息彳导到如下表格：

潜伏期[0,(2,(4,⑹(8,(10,(12,

（单位:天）2]4]6]8]10]12]川

人数85205310250130155

（I）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值“同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

⑵该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超

过6天为标准进行分层抽样从上述1000名患者中抽取200人彳导到如下列联表.请将列联表补

充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

潜伏期潜伏用—

一总计

W6天用天

50岁以上（含50）100

50岁以下55

总计200

⑶以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的

概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患

者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少?

，其中n=a+b+c+d.

附片…黑熏…

0.050.0250.010

3.8415.0246.635

独立性检验问题的解题步骤：(1)假设两个分类变量才与Y无关系;(2)找相关数据，列出

2X2列联表;⑶由公式K”6)黑(辑…(其中"和We地计算出十的观测值;(4)将4的观测

值与临界值进行对比，进而得出统计推断，这些临界值，在考题中常会附在题后.

【突破训练6】在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助

学生在线学习.复课后进行了摸底考试,某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成

绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有

25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的彳导到了如下的等高条形图：

数学成绩超

过】20分

数学成绩不

超过120分

超过1小时过1小时

(1)是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”？

(2)将频率视为概率,从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽

取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.

/</2九)0.0500.0100.001

E3.8416.63510.828

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)・

(突破点❺概率与函数、数列、不等式的综合应用

初①日二•辽，沈阳金拟某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件,每一箱产品在交付用

户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件

作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检睑设每件产品为不合格品的概率都为

/X07<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有